3.5.1. Сравнение средних значений

Задачи 1 и 2 решаются с помощью гипотезы об единичном среднем.

Задача 1.Сформулируем нуль-гипотезу Н₀: М_x=М_э, т.е. математическое ожидание по выборке М_xравно математическому ожиданию эталона М_э.

Решение осуществляется с помощью t-критерия Стьюдента. Для этого рассчитывается экспериментальное (эмпирическое) значение этого критерия по выражению

(3.26)

В дальнейшем определяется теоретическое значение этого критерия при заданном уровне значимости и числе степеней свободы m=n-1. Для этого опять же можно воспользоваться таблицами из статистических справочников или пакетами прикладных программ для ЭВМ. Характеристики отдельных таких программ, их возможности мы будем изучать в дальнейшем (см. главу 7), а навыки их использования осваивать на практических занятиях.

Если t_экспt_,m, то нуль гипотеза отвергается. Физически это означает, чтоне покрывается доверительным интервалом M_xс вероятностью Р=1-.

Таким образом, алгоритм решения задачи следующий:

1. По выборочным данным объема выборки находятся S_x².

2. Рассчитывается эмпирическое значение критерия Стьюдента t_эксппо выражению (3.26).

3. При =0,05 и m=n-1 определяется теоретическое значение критерия t_,m.

4. Если t_экспt_,m, то гипотеза не принимается.

Для решения подобных задач удобно использовать компьютерные пакеты прикладных программ, которые содержат разнообразные тесты по оценке статистических гипотез (см. главу 7). В частности, в пакет электронных таблиц Microsoft Excelвходит специальная функция ТТЕСТ, которая определяет вероятность, что две выборки взяты из генеральных совокупностей, имеющих одно и то же среднее.

Пример 3.5.При проверке Рh-метра с помощью эталонного раствора, имеющего Рh=9,0, получили следующие результаты: 8,7; 9,2; 9,1; 9,0; 9,4; 9,6; 9,7; 8,9; 8,8; 8,7; 9,8; 9,3; 9,8; 8,8, т.е. n=14. Обладает ли Рh-метр систематической погрешностью?

Решение задачи. Предварительно рассчитаем среднеарифметическое и выборочное среднеарифметическое отклонение S_x

В дальнейшем рассчитывается эмпирическое значение критерия

и определяется табличное значение критерия t_0,05;13=2,16. Так как t_эксп<t_,m, то с вероятностью 95% можно считать, что имеющееся различие между показаниями Рh-метра и эталонным значением вызвана случайными причинами и в частности ограниченностью числа измерений.

Аналогичный результат можно получить, если воспользоваться статистической функцией ТТЕСТ из электронных таблиц Microsoft Excel(см. п. 7.1).

Задача 2.Сравниваются показания двух рядов измерений x_i⁽¹⁾и x_i⁽²⁾, например двух приборов, измеряющих один и тот же параметр при одинаковом числе наблюдений n для каждого из приборов. Требуется определить значимо ли их различие в среднем результатов измерений?

Воспользуемся нуль-гипотезой об единичном среднем, для чего выдвигается гипотеза Н₀: "Математическое ожидание разности показаний двух приборов должно быть равно нулю".

Алгоритм решения состоит в следующем:

1. Строится новая выборка из n элементов, определяемая как разность значений первой и второй выборок: x_i=x_i⁽¹⁾-x_i⁽²⁾.

2. По выборке рассчитываются оценки математического ожидания и среднеквадратичного отклонения S_x:

3. Составляется гипотеза об единичном среднем Н₀: M_x=0.

4. Рассчитывается экспериментальное значение критерия Стьюдента. Учитывая, что M_x=0, выражение (3.26) примет вид:

(3.27)

В дальнейшем решение осуществляется так же, как и в предыдущем случае.

Пример 3.6.Проведены испытания механической прочности проб окатышей (кг/окатыш) при использовании новой и старой технологий их обжига. Всего исследовано по 8 проб. Результаты испытаний представлены в таблице 3.2.

Таблица 3.2

Результаты испытаний прочности окатышей, изготовленных по

старой и новой технологии

Новая технология xi(1), кг/окатыш	Старая технология xi(2), кг/окатыш	xi=xi(1)-xi(2), кг/окатыш
215	220	-5
217	223	-6
223	220	+3
210	205	+5
222	230	-8
217	220	-3
220	207	+13
227	218	+9
=218,9	=217,9	=1,0

1. Сформулируем нуль-гипотезу Н₀: М_х=0.

2. Оценка среднеквадратичного отклонения выборки S_xсоставит:

3. Экспериментальное значение критерия Стьюдента равно:

4. Теоретическое его значение при уровне значимости 0,05 и числе степеней свободы m=8-1=7 определяем по таблицам математических статистик t_0,05;7=2,36 (см. также функцию СТЬЮДРАСПОБР из электронных таблицMicrosoft Excelв п. 7.1).

Так как t_эксп<t_,m, то нуль-гипотеза принимается. Таким образом с вероятностью 95% можно утверждать, что новая технология по среднему значению механической прочности не лучше старой.

Решение данной задачи с использованием функции проверки статистических гипотез ТТЕСТ, входящей в электронные таблицы Microsoft Excel, рассмотрено в п.7.1.

Задача 3. Осуществляется оценка двух независимых рядов наблюдений, когда число наблюдений различно. Методику решения подобных задач поясним на примере.

Пример 3.7.В процессе проведения исследований из партии бетона, замешанной в понедельник, взято восемь проб (n₁=8) и они подвергнуты испытаниям на сжатие. Получены следующие данные прочности на сжатие, x_i⁽¹⁾, кг/см²: 305,6; 270,8; 298,0; 218,6; 273,3; 270,8; 219,4; 265,8.

Из партии бетона, замешанной в среду, имелась возможность взять 17 проб (n₂=17) и после испытаний получены следующие результаты, x_i⁽²⁾, кг/см²: 298,0; 263,4; 288,2; 300,7; 327,9; 303,1; 278,2; 296,0;316,3; 290,7; 318,0; 270,0; 305,6; 320,5; 293,2; 285,5; 316,3. Утверждается, что состав бетона и методика испытаний не изменялись. Выборки 1 и 2 независимы и не взаимосвязаны.

1. Определяются среднеарифметические значения параметра и оценки их дисперсий по каждой из выборок:

=265,3; =298,3;=1015,1;=329,1.

2. Определяется средневзвешенная дисперсия (суммарная, выборочная дисперсия) :

(3.28)

3. Проверяется нуль-гипотеза "Математические ожидания первой и второй выборок одинаковы". Н₀: M_x⁽¹⁾= M_x⁽²⁾.

4. Рассчитывается эмпирическое значение критерия Стьюдента

(3.29)

4.Число степеней свободы определятся по выражению

m_ = n₁ + n₂ - 2 = 23 (3.30)

и определяется теоретическое значений критерия Стьюдента t_0,05;23=2,07 (по статистической справочной таблице или с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР из электронных таблицMicrosoft Excel).

5. Так как t_эксп>t_,m, то с вероятность 95% гипотеза не принимается.

Таким образом, справедливость гипотезы, согласно которой обе партии бетона и методика исследования одинаковы по их средним значениям на сжатие, весьма сомнительна (с вероятностью 95%).

Решение данной задачи с использованием функции проверки статистических гипотез ТТЕСТ, входящей в электронные таблицы Microsoft Excel, рассмотрено в п. 7.1.