3.6. Определение необходимого количества измерений

Увеличение количества измерений (числа проб, образцов и т.п., как видно из выражений (3.18), (3.21) даже при неизменной их точности (_x=const, S_x=const) может увеличить надежность доверительной оценки (P) или сузить доверительный интервал для определения действительного значения измеряемой величины (математического ожидания).

Необходимое количество измерений (образцов, проб и т.п.) n для достижения требуемой точности и заданной надежности Р можно определить заранее в том случае, когда известно действительное значение среднеквадратичного отклонения_x, а экспериментальные данные (измерения) подчиняются нормальному закону распределения.

Действительно, при этих допущениях число измерений можно определить из выражения (3.18)

(3.37)

Таким образом, число измерений n определяется требуемой надежностью Р (доверительной вероятностью ) и относительным (по отношению к среднеквадратичному отклонению) значением доверительного интервала (_x/), т.е. требуемой точностью определения измеряемой величины. Так при Р=0,95,()=1,96 и при=_xчисло измерений равно 4. При увеличении необходимой точности измерений в 2 раза, т.е. сужении доверительного интервала до величины=(1/2)_x, необходимое число измерений составит 16.Нетрудно заметить, что необходимое число измерений с увеличением точности возрастает в квадратичной зависимости.

Как правило, действительное значение среднеквадратичной ошибки (_x) неизвестно, а имеется только ее оценка (S_x). В этом случае следует воспользоваться соотношением (3.21), т.е. критерием Стьюдента. Необходимое число измерений следует определять из следующего соотношения

(3.38)

При расчетах по этому уравнению следует иметь в виду, что теоретическое значение критерия Стьюдента зависит не только от доверительной вероятности , но и числа степеней свободы m, последние же определяются числом измерений. В связи с этим уравнение (3.38) следует решать методом последовательных приближений. В качестве начального приближения можно задать, в частности, число измерений, рассчитанных по формуле (3.37). Так, если решить последнее уравнение методом последовательных приближений, то можно показать, что при P=0,95 (=0,05) для определения доверительного интервала с точностью=S_xтребуется 7 измерений, а с точностью=0,5S_x – 19. С повышением необходимой точности различие в числе измерений, рассчитанных по соотношениям (3.37) и (3.38) уменьшается и, как показывают расчеты, при величине0,2S_xони практически совпадают.

Таблица 3.4

Необходимое количество измерений

/Sx	P=0,90	P=0,95	P=0,99
1	5	7 (4)	11
0,5	13	19 (16)	31
0,4	19	27 (24)	46
0,3	32	46 (48)	78
0,1	273	387 (384)	668

В порядке упражнений постарайтесь определить, какое количество проб чугуна следует отобрать, чтобы повысить надежность доверительного интервала содержания кремния в чугуне до 0,99 и понизить до 0,90? Какое количество проб следует отобрать, чтобы при той же надежности повысить точность (сократить доверительный интервал) определения содержания кремния в чугуне в два раза? Необходимое количество измерений при различных значениях величины доверительного интервала /S_xи/_x(в скобках) приведено в табл. 3.4.