§ 1΄. Аксиомы Пеано

Более глубокое представление о натуральных числах, даёт предложенная в 1889 году Дж. Пеано система аксиом:

1.Единица – натуральное число. Она обозначается символом 1.

2. Для любого натурального числа существует единственное натуральное число, за ним следующее. Оно обозначается символом.

3. Единица не является числом, следующим за каким-нибудь натуральным числом.

4. Если число, следующее за натуральным числом, равно числу, следующему за натуральным числом, то.

5. Пусть множество натуральных чисел обладает следующими свойствами:и из того, чтоследует, что. Тогда множествосовпадает с множеством натуральных чисел.

Пятая аксиома является основой метода математической индукции.

С помощью аксиом можно строго определить операцию сложения. Всякой паре натуральных чисел ставится в соответствие третье натуральное число, называемое их суммой и обозначаемое, по следующим правилам:.

С помощью аксиом можно определить также операцию умножения. Всякой паре натуральных чисел ставится в соответствие третье натуральное число, называемое их произведением и обозначаемое, либо просто, по следующим правилам:.

Для заинтересованного читателя ( мы верим, такие есть!) приведём пример доказательства одного из свойств натуральных чисел, например, равенства .

По определению умножения , . Предположив, что равенство выполнено для чиселдокажем его для чисел. Действительно,

что и требовалось доказать.

§ 2. Целые числа

Потребности в вычислениях не позволяют ограничиться только натуральными числами. Естественно дополнить натуральные числа числом 0 и отрицательными числами. Число 0 , по определению, обладает следующими свойствами: для любого натурального числа выполняются равенства.

Нетрудно доказать, что 0 определяется этими свойствами единственным образом. .В самом деле, если мы предположим, что есть два элемента, обладающих указанными свойствами, например, , то получим, что.

Точно также, для произвольного натурального числа определимпротивоположное ему число как такое, что выполняется равенство, т.е. как решение уравненияНатуральные числа, им противоположные числа и число 0 образуют новое множество, называемоемножеством целых чисел. Множество целых чисел обозначается Z.

Мы не будем подробно останавливаться на том, как операции сложения и умножения и отношение неравенства переносятся с множества натуральных чисел на множество целых чисел, считая это известным, а просто перечислим свойства целых чисел. Сложение целых чисел обладает следующими свойствами:

1. (ассоциативность, или сочетательный закон).

2. (коммутативность, или переместительный закон).

3. Существует нейтральный элемент по сложению, называемый 0, такой, что для любого целого числа выполняются равенства.

4. Для произвольного целого числа существуетпротивоположное ему число такое, что выполняется равенство.

Свойство 4 позволяет определить на множестве целых чисел операцию вычитания с помощью равенства .

С алгебраической точки зрения эти свойства означают, что множество целых чисел с введённой на нём операцией сложения образует коммутативную группу

Умножение целых чисел обладает следующими свойствами:

1. (ассоциативность, или сочетательный закон).

2. (коммутативность, или переместительный закон).

3. (дистрибутивность умножения относительно сложения, или

распределительный закон).

4. Существует нейтральный элемент по умножению такой, что для любого.

С алгебраической точки зрения эти свойства означают, что множество целых чисел с введёнными на нём операциями сложения умножения образует кольцо

Для целых чисел естественно вводится отношение порядкаменьше или равно, обозначаемое , и для любых чиселлибо, либо.

Отношение порядка обладает такими свойствами:

1. Если одновременно и, то.

2. Если и, то.

3. Если , то для всехвыполняется:.

4. Если , то для всех натуральныхвыполняется:, а для всех отрицательных целых чисел- противоположное неравенство.

Для целых чисел можно определить понятие делимости. Говорят, что целое число делится на целое число без остатка, если существует целое числотакое, что.(Обычно это обозначают следующим образом:.) Числоназывается делимым, число– делителем, число– частным от деления. Если жене делится на числобез остатка, то его можно единственным образом представить в виде, где.

Тем самым, мы получили равенство , верное при.

Зафиксируем произвольное целое число и назовём два целых числасравнимыми по модулю (что обозначается), если разностьделится на. Легко видеть, определённое таким образом отношение обладает всеми свойствами отношения эквивалентности. Классы эквивалентности называютсяклассами вычетов по модулю , в качестве системы представителей можно взять всевозможные остатки от деления на, т.е. числа. Это множество обозначаетсяZ .

Сумму вычетов иопределяем, как остаток от деления начисла,произведение вычетов иопределяем, как остаток от деления начисла. Операции над вычетами обладают теми же свойствами, что и операции над целыми числами.