
- •Вопросы экзамена по математическому анализу для студентов 1 курса экономического факультета анх
- •Вопрос 1: множества и операции над ними
- •Вопрос 2 : декартово произведение множеств, бинарные отношения
- •Вопрос 3: отображения и их свойства
- •Вопрос 4: множество действительных чисел. Аксиома отделимости
- •§1. Натуральные числа
- •§ 1΄. Аксиомы Пеано
- •§ 2. Целые числа
- •§ 3. Рациональные числа
- •§4. Действительные числа
- •Вопрос 5:верхняя и нижняя грани
- •2. Стягивающиеся отрезки
- •Вопрос 6. Предельные точки
- •Вопрос 7. Приближённые вычисления
- •Вопрос 8. Предел последовательности. Предел функции. Бесконечно малые величины .Арифметические свойства предела
- •Вопрос 9. Предельный переход в неравенствах. Вычисление
- •Вопрос 10: предел монотонной ограниченной функции
- •Вопрос 11: число e
- •Вопрос 12: критерий коши существования предела последовательности, предела функции
- •Вопрос 13: непрерывность. Точки разрыва.Свойства непрерывных функций
- •1. Непрерывна в точке ;
- •2. Существует такая , что.
- •Вопрос 14: непрерывность элементарных функций
- •Вопрос 15: символы ,. Вычисление ,,
- •Вопрос 16: промежуточные значения непрерывной на отрезке функции
- •Вопрос 17: ограниченность непрерывной на отрезке функции
- •Вопрос 18: равномерная непрерывность
- •Вопрос 19: производная, её естественнонаучный смысл и основные свойства
- •1. Дифференцируемость функции
- •2.Производная
- •3. Касательная к графику функции
- •4. Правила дифференцирования
- •4. Производная обратной функции
- •6. Производная сложной функции
- •7. Производная функции, заданной параметрически
- •Вопрос 20: дифференциал. Инвариантность формы первого дифференциала
- •1.Понятие дифференциала числовой функции
- •4.Дифференциал суммы, произведения и частного функций.
- •Вопрос 21:производные и дифференциалы высших порядков
- •1. Последовательные производные
- •2. Примеры
- •3. Линейное свойство производных высших порядков
- •Вопрос 22.
- •Вопрос 23: теоремы ферма, ролля. Необходимые условия экстремума
- •Вопрос 24:теоремы лагранжа, коши.Критерий постоянства функции
- •Вопрос 25: формула тейлора с остаточным членом в форме лагранжа
- •Вопрос 26. Формула тейлора с остаточным членом в форме пеано
- •Вопрос 28: правила лопиталя
- •1. Неопределённость типа
- •Вопрос 29: монотонность функции. Достаточные условия экстремума функции
- •Вопрос 30. Функции спроса торнквиста. Функция полезности. Выпуклость графикафункции.
- •2.Производственные функции.
- •5. Выпуклость графика функции.
- •Необязательный материал, но знание его весьма полезно
- •1.Выпуклость непрерывной функции
- •2. Выпуклость дифференцируемой функции
- •3. Выпуклость дважды дифференцируемой функции
- •4.Точки перегиба
- •31. Пространство , множества в нем.
- •Вопрос32.Функции и отображения. Предел, непрерывность.
- •Функции Кобба-Дугласа.
- •Вопрос 33. Дифференцируемость функции многих переменных. Частные производные
- •Вопрос 34.
- •Вопрос 35.
- •Производная сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.
- •Вопрос 36. Касательная плоскость
- •Вопрос 37. Производная по направлению, градиент.
- •Необязательный материал, но знание его весьма полезно Матрица Якоби и ее свойства.
- •Вопрос 39. Производные высших порядков
- •Дифференциалы высших порядков
- •Второй дифференциал функции.
- •Вопрос 41. Формулы Тейлора.
- •Билет 42. Экстремумы функций нескольких переменных.
- •Достаточные условия экстремума.
- •Метод наименьших квадратов.
Вопрос 34.
Достаточные условия дифференцируемости функции нескольких переменных содержатся в следующей теореме.
Теорема
19.1.
Пусть частные производные
,
существуют в окрестности точки
и непрерывны в самой точке
.
Тогда
дифференцируема в точке
.
◄Ограничимся
случаем
.
Пусть
точки
и
принадлежат рассматриваемой окрестности
точки
.
Рассмотрим приращение функции в точке
:
и представим его в виде:
.
(19.1)
Зафиксировав
,
рассмотрим функцию от переменной
вида
.
(19.2)
Поскольку
в
существуют частные производные, функция
дифференцируема на любом промежутке,
содержащем
и
.
Применим поэтому теорему Лагранжа,
согласно которой
,
где
.
(19.3)
По определению частной производной,
.
(19.4)
Поэтому
.
(19.5)
Аналогичным образом,
.
(19.6)
Из (19.1), (19.5) и (19.6) получаем:
.
(19.7)
Далее,
при
→
точки
и
стремятся к точке
.
Непрерывность частных производных в этой точке означает, что их можно представить в виде
,
,
(19.8)
где
при
→
.
Из (19.7) и (19.8) следует представление
,
означающее
дифференцируемость функции
.►
Замечание. Непрерывность частных производных не является необходимым условием дифференцируемости функций. Например, можно доказать, что функция
дифференцируема в точке (0,0), но частные производные в этой точке не непрерывны (без доказательства).
Замечание.
Тем не менее для функции
частные производные в точке (0,0) равны
0, так как
и
(в остальных точках
,
и ясно, что эти производные терпят разрыв
в точке (0,0)). Но приращение
не имеет вид
,
где
при
.
Действительно,
полагая
и предполагая противное, т. е. что функция
дифференцируема в (0,0), т. е.
,
получаем
,
или
,
что невозможно, так как при
правая часть стремится к нулю, а левая
– нет!
Вопрос 35.
Пусть
определена в некоторой окрестности
точки
,
и пусть в этой точке существуют
,
.
Определение.
Линейная
функция от
независимых переменных
вида
(20.1)
называется
дифференциалом
в точке
и обозначается
.
Каждую
из независимых переменных
,
можно рассматривать как функцию
,
причем
,
,
а для любого
и любого
имеем
.
Тогда,
последовательно выбирая
,
и применяя равенство (20.1), получаем
.
(20.2)
Подставляя
в (20.1) вместо
величину
согласно (20.2), получаем более часто
употребляемую запись дифференциала:
.
(20.3)
Обычно
величинам переменных
придают значения
приращений независимых переменных, не
входящих при добавлении
к рассматриваемой точке за границу
рассматриваемой области. Независимость
переменных
означает, что если взять какое-то
приращение
,
то оно не меняется при переходе от одной
точки области к другой (а для зависимых
переменных переход к другой точке
вызывает соответствующие изменения
вектора
).
Поэтому выражение (20.3) можно заменить на
(20.4)
для
независимых переменных
(для них, напомним еще раз,
).
Вспомним (см. вопрос 18) определение дифференцируемой функции: ее приращение имело вид
,
(20.5)
где
при
.
Согласно (20.4), равенство (20.5) можно переписать в виде
.
(20.6)
Оно
означает, что если среди чисел
есть отличное от нуля, то
представляет собой главную, притом
линейную по
,
часть приращения.
Определим
(пока формально) вектор
.
Тогда
(скалярное произведение). (Вектор
градиента служит обобщением понятия
производной функции. Напомним, что
.)
Для
отображения
пространства
в
,
состоящего из дифференцируемых функций,
также можно определить дифференциал
.
При этом
.
Матрица
называетсяматрицей
Якоби отображения
.
(Свойства матрицы Якоби даны в приложении к этому билету, в конце его.)
Перейдем
к вопросу о том, что будет в случае
зависимых переменных
.