
- •Вопросы экзамена по математическому анализу для студентов 1 курса экономического факультета анх
- •Вопрос 1: множества и операции над ними
- •Вопрос 2 : декартово произведение множеств, бинарные отношения
- •Вопрос 3: отображения и их свойства
- •Вопрос 4: множество действительных чисел. Аксиома отделимости
- •§1. Натуральные числа
- •§ 1΄. Аксиомы Пеано
- •§ 2. Целые числа
- •§ 3. Рациональные числа
- •§4. Действительные числа
- •Вопрос 5:верхняя и нижняя грани
- •2. Стягивающиеся отрезки
- •Вопрос 6. Предельные точки
- •Вопрос 7. Приближённые вычисления
- •Вопрос 8. Предел последовательности. Предел функции. Бесконечно малые величины .Арифметические свойства предела
- •Вопрос 9. Предельный переход в неравенствах. Вычисление
- •Вопрос 10: предел монотонной ограниченной функции
- •Вопрос 11: число e
- •Вопрос 12: критерий коши существования предела последовательности, предела функции
- •Вопрос 13: непрерывность. Точки разрыва.Свойства непрерывных функций
- •1. Непрерывна в точке ;
- •2. Существует такая , что.
- •Вопрос 14: непрерывность элементарных функций
- •Вопрос 15: символы ,. Вычисление ,,
- •Вопрос 16: промежуточные значения непрерывной на отрезке функции
- •Вопрос 17: ограниченность непрерывной на отрезке функции
- •Вопрос 18: равномерная непрерывность
- •Вопрос 19: производная, её естественнонаучный смысл и основные свойства
- •1. Дифференцируемость функции
- •2.Производная
- •3. Касательная к графику функции
- •4. Правила дифференцирования
- •4. Производная обратной функции
- •6. Производная сложной функции
- •7. Производная функции, заданной параметрически
- •Вопрос 20: дифференциал. Инвариантность формы первого дифференциала
- •1.Понятие дифференциала числовой функции
- •4.Дифференциал суммы, произведения и частного функций.
- •Вопрос 21:производные и дифференциалы высших порядков
- •1. Последовательные производные
- •2. Примеры
- •3. Линейное свойство производных высших порядков
- •Вопрос 22.
- •Вопрос 23: теоремы ферма, ролля. Необходимые условия экстремума
- •Вопрос 24:теоремы лагранжа, коши.Критерий постоянства функции
- •Вопрос 25: формула тейлора с остаточным членом в форме лагранжа
- •Вопрос 26. Формула тейлора с остаточным членом в форме пеано
- •Вопрос 28: правила лопиталя
- •1. Неопределённость типа
- •Вопрос 29: монотонность функции. Достаточные условия экстремума функции
- •Вопрос 30. Функции спроса торнквиста. Функция полезности. Выпуклость графикафункции.
- •2.Производственные функции.
- •5. Выпуклость графика функции.
- •Необязательный материал, но знание его весьма полезно
- •1.Выпуклость непрерывной функции
- •2. Выпуклость дифференцируемой функции
- •3. Выпуклость дважды дифференцируемой функции
- •4.Точки перегиба
- •31. Пространство , множества в нем.
- •Вопрос32.Функции и отображения. Предел, непрерывность.
- •Функции Кобба-Дугласа.
- •Вопрос 33. Дифференцируемость функции многих переменных. Частные производные
- •Вопрос 34.
- •Вопрос 35.
- •Производная сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.
- •Вопрос 36. Касательная плоскость
- •Вопрос 37. Производная по направлению, градиент.
- •Необязательный материал, но знание его весьма полезно Матрица Якоби и ее свойства.
- •Вопрос 39. Производные высших порядков
- •Дифференциалы высших порядков
- •Второй дифференциал функции.
- •Вопрос 41. Формулы Тейлора.
- •Билет 42. Экстремумы функций нескольких переменных.
- •Достаточные условия экстремума.
- •Метод наименьших квадратов.
2. Выпуклость дифференцируемой функции
Теорема
30.1. Для
того, чтобы дифференцируемая на
функция f была выпукла вниз (вверх) на
этом интервале, необходимо и достаточно,
чтобы её производная функция
не убывала (не возрастала) на этом
интервале.
◄Доказательство проведём для выпуклой вниз функции. Докажем сначала, что её производная не убывает.
Пусть
,
.
Переходя в неравенстве (4) к пределу при
,
получим:
.
(5)
Переходя
в неравенстве (4) к пределу при
,
получим:
.
(6)
Из
неравенств (5) и (6) следуют неравенства
,
что и требовалось доказать.
Обратно,
пусть производная функция
не убывает на
.
Пусть
,
.
Следует доказать, что выполняется
неравенство (4). Для этого заметим, что
дифференцируема на
,
следовательно, непрерывна на
и непрерывна на
.
Тогда по теореме Лагранжа, применённой
к отрезку
где
,
находим:
.
(7)
Аналогично,
по теореме Лагранжа, применённой к
отрезку
.
.
(8)
Так
как
не убывает на
,
выполняется неравенство
,
из которого следует, ввиду (7) и (8),
неравенство (4), равносильное выпуклости
вниз рассматриваемой функции.►
Теорема
30.2. Функция
,
дифференцируемая на интервале
,тогда
и только тогда выпукла вниз на этом
интервале, когда для любой точки
и
любой точки
справедливо неравенство
.
Противоположное неравенство
,
справедливо
для всех,
тогда
и только тогда, когда функция
выпукла вверх на
.
◄ Доказательство
проведём для случая выпуклой вниз
функции. Пусть сначала дифференцируемая
функция
выпукла
вниз на
.Тогда,
как
установлено
в теореме 30.1, справедливы неравенства
(5) и (6).
Неравенство
(5) можно преобразовать к равносильному
виду
.
(9)
Преобразование
состоит в умножении обеих частей
неравенства (5) на положительный
знаменатель и замене обозначений: точку
заменяем на
,
а точку
на точку
,
считая, что
.
Точно также, при
,
преобразуем неравенство (6), заменяя
точку
на точку
,
а точку
на
.
После этого преобразования снова получим
неравенство (9).
Таким
образом, если дифференцируемая функция
выпукла вниз на интервале
,
то для всех
выполняется неравенство (9). Для выпуклой
вверх функции имеем, соответственно,
.
Обратно,
пусть для всех
выполняется неравенство (9).
Рассмотрим
произвольные точки
,
.
Применяя неравенство (9) к точке
и считая
,
получим неравенство
,
а применяя его к точке
и считая
,
получаем неравенство
,
на основании которых, с учётом условия
,
имеем
.
Следовательно,
производная функции
не
убывает
на
.
По теореме 30.1 функция
выпукла
вниз на
.►
Геометрически
свойство выпуклости вниз дифференцируемой
функции
f на
означает,
что её график в пределах этого интервала
располагается выше касательной,
проведенной в любой точке графика; для
выпуклой вверх дифференцируемой функции
картина противоположная (см. рис. 2).
Рис.2
Замечание 1. Если обозначить
,
то
свойство выпуклости вниз(вверх)
дифференцируемой функции
на
равносильно тому, что для любой точки
неравенство
(
)
справедливо для всех
.
Отметим, что