Вопрос 2 : декартово произведение множеств, бинарные отношения

Декартово произведение множеств

Определение 2.1.Пусть даны два множества , и. Образуем множество упорядоченных пар элементов, у которых первый элемент принадлежит, а второй -. Полученное множество называетсядекартовым произведением множеств ии обозначается.

Перечислим некоторые простейшие свойства декартова произведения.

Если ,то ;

.

Отметим, что тогда и только тогда, когда.

Бинарные отношения

Определение 2.2.Любое подмножество множества называетсябинарным отношением.

Аналогичным образом можно рассматривать декартовы произведения трёх и более множеств. Их подмножества будут называться тернарными и т.п. отношениями.

Изучим понятие бинарного отношения более подробно, так как оно является важным не только для математического анализа, но и для компьютерной математики.

Задавать бинарные соотношения конечных множеств можно, например, с помощью таблиц. Например, пусть .Зададим отношение свойством: пара принадлежит отношению тогда и только тогда, когда есть делитель . Отношение , таким образом, состоит из пар:

Изобразим это отношение следующим образом. Проведём три прямые, соответствующие трём элементам множества . Проведём шесть перпендикулярных им прямых, соответствующих элементам множества . Отметим жирной точкой те точки пересечения этих прямых, которые соответствуют отношению .(рис.1)

Рис.1 Рис.2 Рис.3

Другой способ задания бинарного отношения – использование стрелок. Элементы и изображаются в виде точек плоскости. Стрелками соединены те и только те элементы , для которых .(рис.2)

Это же бинарное отношение можно задать матрицей, состоящей из 0 и 1. Её строки соответствуют элементам множества ,столбцы – элементам множества .Элемент этой матрицы равен 1 тогда и только тогда, когда он стоит на пересечении строки и столбца, соответствующих паре , для которой .

Определение 2.3.Элемент называетсяпроекцией элемента на множество. Для произвольного подмножестваегопроекцией на называется множество, состоящее из проекций навсех элементов множества.

Определение 2.4. Сечением множестваназывается множествоэлементов, для которых. Множество сечений отношенияназываетсяфактормножеством по отношениюи обозначается.

Так как отношения представляют собой множества, к ним можно применить операции, определённые в предыдущем параграфе. Но кроме этих операций есть ещё важные операции композиции и симметризации.

Пусть даны множества и отношения.

Определение 2.5.Композиция отношений - это отношениемежду элементами множествитакое, что для всехсечение множествапосовпадает с сечением множествапо подмножеству, т.е..

Если даны две пары отношений ,и, причёми, то операция композиции обладает следующим свойством:.

Определение 2.6.Отношение, симметричное к некоторому отношению и обозначаемое, представляет собой подмножество множества, образованное теми парами, для которых. Еслии, то.

Предположим, что задано некоторое основное множество . Отношениеназываетсяотношением эквивалентности, если оно обладает такими свойствами:

1. Рефлексивностью: всякий элемент эквивалентен самому себе. Иными словами, для любогопара.

2. Симметричностью: для любых двух элементов из того, чтоэквивалентенследует, чтоэквивалентен. Другими словами, если, то. Это означает, что отношениесовпадает со своим обратным,.

3. Транзитивностью: если эквивалентен, аэквивалентен, тоэквивалентен. Иначе говоря, еслии, то.

Очень часто отношение эквивалентности элементов обозначается так:.

Важным понятием является понятие класса эквивалентности. Класс эквивалентности элемента состоит из всех элементов, эквивалентных элементу. Для неэквивалентных элементов их классы эквивалентности не пересекаются. Множество классов эквивалентности называетсяфактормножеством множества по отношениюи обозначается. Если взять ровно по одному элементу из каждого класса эквивалентности, получим систему представителей.

В качестве примера рассмотрим множество Z целых чисел. Зафиксируем произвольное целое число и назовём два целых числасравнимыми по модулю (что обозначается), если разностьделится на. Легко видеть, определённое таким образом отношение обладает всеми свойствами отношения эквивалентности. Классы эквивалентности называются классами вычетов по модулю, в качестве системы представителей можно взять всевозможные остатки от деления на, т.е. числа. Это множество обозначаетсяZ . На нём можно определить операции сложения и умножения естественным образом. Имеется в виду, что следует просуммировать вычеты, как обычные целые числа, разделить сумму нас остатком и этот остаток назвать суммой вычетов. Аналогично определим произведение вычетов.