4. Правила дифференцирования

Дифференцирование линейной комбинации, произведения и ча­стного. Теорема 19.5 Пусть имеет производную в точке . Тогда для любой постоянной справедлива формула:

(постоянный множитель можно вынести за знак производной). ◄Приращение функции в точкеравно . Поскольку существует , существует и что и требовалось доказать.►

Теорема 19.6 Пусть и имеют производные в точке .Тогда существует производная сумма этих функций, причём

.

◄ Приращение функции в точкеравно ,

поэтому

►

Напомним, что линейной комбинацией функцийназывают всякую функцию , представимую в виде , где коэффициенты - постоянные. Областью ее определения служит пересечение областей оп­ределения функций . Из теорем 19.5 и 19.6 следует

Теорема 19.7 (линейное свойство операции дифференцирования). Если функции дифференцируемы в точке , то всякая линейная комбинация этих функций дифференцируема в точке , причем

.

Теорема 19.8 Если функции и дифференцируемы в точке, то их произведение дифференцируемо в точке , причем

.

◄Приращение произведения равно

При выполняются соотношения

откуда, по теореме 8.4 , получаем утверждение теоремы. ►

Теорема 19.9. Если функции и дифференцируемы в точке, и то их частное дифференцируемо в точке , причем

.

◄ Сначала докажем лемму

Лемма 19.1. Если функция дифференцируема в точке, и то функция дифференцируема в точке , причем

.

◄Приращение имеет вид:

По лемме 8.2 функцияопределена в окрестности точки и по лемме 8.3 . Следовательно,

.►

Теорема 19.9 сразу следует из теоремы 19.8 и леммы 19.1.

Предельные величины.

Пусть обозначает величину издержек производства, рассматриваемую, как функцию от количества выпускаемой продукции. Если прирост продукции, приращение издержек производства , тосреднее приращение издержек производства на единицу продукции. Производнаявыражаетпредельные издержки производства и является приблизительной характеристикой дополнительных затрат на производство единицы дополнительной продукции.

Вполне аналогично определяются предельная выручка, предельный доход, предельная полезность и т.п.

Предельные величины также часто называют маржинальными .

Вопрос :ПРОИЗВОДНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ, ПРОИЗВОДНАЯ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ, ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ, ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ

Этот вопрос является дополнительным к вопросу 19. Хотя он не включён в билеты, информацию, в нём содержащуюся, знать на экзамене обязательно!

1.Производная степенной функции , где − любое вещественное число). Область определения этой функции зависит от. Имеем (при)

.

Если воспользоваться пределом, вычисленным в теореме 15.4, то получим

.

В частности

если , то

если , то.

2.Производная показательной функции (,). Здесь

.

Воспользовавшись пределом, вычисленным в теореме 15.4, найдём:

.

В частности,

если , то и.

Итак, скорость возрастания показательной функции ( при ) пропорциональна значению самой функции: чем большего значения функция уже достигла, тем быстрее в этот момент она растёт. Это даёт точную характеристику роста показательной функции, о которой мы имели уже случай говорить.

3. Производная логарифмической функции (,). В этом случае

.

Воспользуемся пределом, вычисленным в теореме 15.4:

.

В частности, для натурального логарифма получается исключительно простой результат:

при имеем.

Это даёт (хотя, по существу, и не новое) основание для предпочтения, которое оказывается натуральным логарифмам при теоретических исследованиях.

4.Производные тригонометрических функций. Пусть , тогда

.

Пользуясь непрерывностью функции и известным пределом, получим

.

Аналогично найдём:

если , то.

В случае применима теорема 19.9 , согласно которой

Аналогично,

если , то.