Вопрос 18: равномерная непрерывность

Определение 18.1. Пусть функция определена на некотором множестве. Функцияназываетсяравномерно непрерывной на множестве , если для любого числасуществует такое число, что для всехиудовлетворяющих неравенствувыполняется неравенство.

Замечание. Есть важное различие между понятиями равномерной непрерывности на множестве и непрерывности на этом множестве. Из равномерной непрерывности следует непрерывность, но не наоборот. В определении равномерной непрерывности содержится сильное требование о том, чтобы входящее в определение число зависело только от числа. В обычном определении непрерывности на множестве ( определение 16.1) это числозависит не только от числа, но ещё и от точки. Поэтому возможно, что общего значения числа, одновременно пригодного для всех, найти не удастся. Однако если в качестве множества рассматривается отрезок числовой оси, то верна такая теорема.

Теорема 18.1.(Кантор) Пусть функция непрерывна на отрезке. Тогда она равномерно непрерывна на этом отрезке.

 Будем вести доказательство теоремы методом «от противного». Отсутствие равномерной непрерывности означает, что существует число такое, что для любого числасуществуют точки, для которых выполнены неравенстваи. Зафиксируем это числои будем последовательно выбирать числоравным числам. При каждом таком выборе числасуществуют точкитакие, что для всехвыполнены неравенстваи. Последовательность точекбесконечная и ограниченная. Поэтому, по теореме Больцано-Вейерштрасса, существует подпоследовательность, имеющая предел, который будем обозначать. Далее, из неравенстваприполучаем, т.е.. Поскольку, правая и левая части этих неравенств имеют одинаковые пределы, равные числу. По теореме 9.3 из этого следует, что. Так как, по теореме о предельном переходе в неравенствах получаем:, т.е.и, следовательно, функция непрерывна в этой точке. По выбору точек выполнено неравенство. Перейдём в этом неравенстве к пределу при. Ввиду непрерывности модуля и непрерывности функции, получаем

Полученное противоречие доказывает теорему. 

Замечание. Функция, непрерывная на интервале , не обязательно равномерно непрерывна на нём. Пример: функция, непрерывная на интервале, не равномерно непрерывна на этом интервале. Для доказательства выбереми для любогорассмотрим точки. При этом, но.

Вопрос 19: производная, её естественнонаучный смысл и основные свойства

1. Дифференцируемость функции

Пусть определена в окрестности точки .

Определение 19.1. Числовую функцию называютдифференцируемой в точке , если для всех имеет место равенство

, (1)

где число не зависит от , априи бесконечно малая функ­циянепрерывна в точке, т.е..

Числовую функцию называютдифференцируемой на множестве, если дифференцируема в каждой точке.

Пример 1. Линейная функция дифференцируема на всей числовой прямой

◄Действительно, , . В частности,постоянные итождественная функция дифференцируемы.►

Пример 2. Квадратичная функция дифференцируема.

◄Действительно, , .►

Теорема 19.1. Функция , дифференцируемая в точке, непрерывна в этой точке.

◄В силу формулы (1), .►

Пример функции (чуть позже мы докажем, что эта функция не дифференцируема в точке ), показывает, что утверждение, обратное теореме 1, неверно.