Вопрос 12: критерий коши существования предела последовательности, предела функции

 Определение 12.1. Пусть задана последовательность и пусть - возрастающая последовательность натуральных чисел. Тогда последовательность подпоследовательность исходной последовательности.

Теорема 12.1. Последовательность имеет пределA тогда и только тогда, когда любая её подпоследовательность имеет предел, равный A.

◄Поскольку последовательность сама является одной из своих подпоследовательностей ( для которой ),утверждение теоремы очевидно в одну сторону.

Обратно, из определения подпоследовательности сразу вытекает, что для любого выполняется неравенство. Если,то для любогосуществуеттакое, что привыполняется неравенство.При этом для любой подпоследовательностипривыполняется неравенство, из которого следует, что. Это означает, что.►

Теорема 12.2. (Лемма Больцано-Вейерштрасса) Из любой ограниченной бесконечной последовательности можно извлечь подпоследовательность, сходящуюся к конечному пределу.

◄

1. Если множество значений , которые принимает последовательность конечное, т.е. , то хотя бы одно из значений , обозначим его , она принимает бесконечно много раз, т.е. существует бесконечное множество номеров таких, что .Поэтому , подпоследовательность искомая.

2. Рассмотрим теперь случай, когда множество значений бесконечно. Так как - бесконечное ограниченное множество, то по теореме 6.1 существует предельная точка этого множества, равная A. Покажем, что существует последовательность такая, что. По определению предельной точки, для существует номер такой, что. Положим . Существует такое, что . Точка , т.к., а номервыбираем так, чтобы выполнялось неравенство , что можно сделать, так как в любой окрестности предельной точки содержится бесконечное число элементов этого множества. Далее, . Как и раньше, строим так, что и . Продолжая этот процесс, получаем последовательность такую, что , что означает, что .►

Определение 12.2.Последовательность называется фундаментальной, если для любого положительного существует такое , что для всех разность значений по модулю меньше, т.е. .

Теорема 12.3 (Критерий Коши для последовательности) Предел последовательности существует тогда и только тогда, когда эта последовательность является фундаментальной.

◄Необходимость

То, что последовательность имеет предел, запишем так: . Легко видеть, что . По свойству модулей: . Обозначив , имеем: , т.е. из существования предела последовательности легко следует ее фундаментальность.

Достаточность

Во-первых, из фундаментальности последовательности следует ее ограниченность. Действительно, пусть . Тогда существует такое, что для всех имеет место неравенство . Положим . Тогда для всех , т.е. . Пусть . Из этих неравенств тогда следует, что при имеем: . Положим. Теперь для всех имеет место неравенство , т.е.- ограниченная последовательность.

По теореме 12.2 существует подпоследовательность такая, что она имеет некоторый предел , т.е. . Докажем, что вся последовательность имеет тот же предел, т.е . что , для чего достаточно доказать, что .

У нас доказано, что , что .

Если и если , то , поэтому , что и требовалось доказать. ►

Теорема 12.4 (Критерий Коши для функции) Условие: для любого существует такое , что для любых из разность значений функции в этих точках по абсолютной величине меньше, равносильно тому, что существует предел этой функции при , т.е. . (1)

◄Необходимость

Пусть существует предел . Тогда . Так как , то , . Следовательно,.

Достаточность

Доказательство достаточности значительно труднее и его не обязательно рассказывать на экзамене.

Однако для заинтересованного читателя ниже приводится схема этого доказательства.

Сначала дадим ещё одно определение предела функции при .

Определение 12.3( предела функции при по Гейне ). Говорят, что функция имеет при предел ,если для любой последовательности такой, чтои такой, что для всехвыполнено неравенство, предел.

Теорема 12.5. Определение 8.3, т.е. определение предела по Коши, равносильно определению 12.3 предела по Гейне.

◄ Пусть сначала функция имеет предел по Коши. Рассмотрим произвольную последовательность такую, чтои такую, что для всехвыполнено неравенство. По определению предела по Коши, . По определению предела последовательности, .Значит, при выполняется условие ,из которого сразу следует неравенство , означающее, что, Тем самым, предел этой функции по Гейне также существует.

Предположим теперь, что предел по Коши не существует и докажем, что не существует и предел по Гейне. По предположению, существует такое число ,что для любого числа существует такая точка, что. Последовательно выбирая в качествечисла, находим точкитакие, что. Эти точки представляют собой последовательность точек, удовлетворяющую всем условиям, входящим в определение предела по Гейне, однако для этой последовательности условие не выполнено.►

Докажем теперь, что из условия (1) вытекает, что функция имеет предел по Гейне.

Действительно, возьмём любую последовательность такую, чтои такую, что для всехвыполнено неравенство. Рассмотрим соответствующую последовательность. Зафиксируеми выберем соответствующеес помощью (1). Так как, имеем:. Далее, при и ,по условию (1) , .Значит, -фундаментальная последовательность. По теореме 12.3 существует предел последовательности, обозначим его.

Осталось доказать, что если взять любую другую последовательность такую, что и такую, что для всех выполнено неравенство , то.

Для этого рассмотрим последовательность . Это – последовательность точек, сходящаяся к точке и не принимающая значение, согласно своему определению. Поэтому последовательность значенийтакже имеет предел, по доказанному выше. Тогда по теореме 12.1 предел этой последовательности равен пределу подпоследовательностии пределу подпоследовательности, равному.►