Вопрос 9. Предельный переход в неравенствах. Вычисление

 Теорема 9.1. Если функция имеет предел при , равный А и в некоторой проколотой окрестности точки a принимает неотрицательные значения, то .

Доказательство. Будем доказывать методом от противного.

Допустим, что A<0. Возьмем . Тогда

, откуда

Получаем, что для любого из пересечения проколотых окрестностей и одновременно выполняются неравенства и. Тем самым мы пришли к противоречию. Теорема доказана.

 Теорема 9.2.Если для двух функций и , имеющих пределы, соответственно, и , в некоторой проколотой окрестности выполняется неравенство, то .

Доказательство. Обозначим . При этом . По теореме 9.1 имеем , т.е. . Теорема доказана. 

Замечание:Эти две теоремы означают, что при переходе к пределу сохраняется нестрогое неравенство.

Замечание: строгое неравенство между функциями может не сохраниться для пределов.

Например, для функций , в любой выполняется неравенство, т.е.. Однако,

Теорема 9.3 (Теорема о “зажатой” переменной). Если выполняется неравенство, и если , то

Доказательство. Для доказательства данной теоремы докажем лемму:

Лемма 9.1. Если выполняется неравенство, и если , то и.

Доказательство. Требуется доказать, что: . Имеется:

Выберем таким, что, а также удовлетворяющим неравенству , из которого следует, что .Тогда , что означает, что .Лемма доказана.

Перейдем к доказательству теоремы и обозначим . При этом удовлетворяют условиям леммы.

Далее, и, по лемме, . Наконец,

при (т.к. , при ).

Таким образом, теорема доказана.

Определение 9.1. Если , то говорят, что существует предел функциипри стремлении х к а справа и обозначают это так: . Аналогично, если , то говорят, что существуетпредел функциипри стремлении х к а слева и обозначают это так: .

Теорема 9.4. Функция имеетпри предел, равный а, тогда и только тогда, когда он имеет пределы при стремлениих к а справа и слева, причем оба эти пределы равна А.

Доказательство

Если , то . Поскольку из неравенстви следует неравенство , и.

Обратно, тогда и только тогда, когда ,;тогда и только тогда, когда ,.

Положим . Тогда если , то

либо ,либо

И в том, и в другом случае , т.е..

Замечание. Разумеется, для пределов справа и слева верны все теоремы об арифметических свойствах предела и о предельном переходе в неравенствах.

Теорема 9.5 (первый замечательный предел)

.

Замечание. При доказательстве этой теоремы нельзя применять правило Лопиталя, т.к. хотя это и даст верный результат, но будет являться логической ошибкой, потому, что при вычислении производной функции sinx используется, что

Доказательство

Функция четная. Поэтому если доказать, что , то и, и по теореме9.4. тогда . В определении предела при можно дополнительно требовать выполнение условия

(В определении требуется существование хотя бы какого-нибудь . Если же мы найдем, то, тем самым, хотя бы какое-нибудьбудет найдено.) Итак,. Рассмотрим окружность единичного радиуса и площади треугольников OAC, OBC и сектора OAC.,, сект., откуда при , что равносильно , . Далее,

, а для мы только что доказали, что., поэтому по теореме9.3. и, значит,. Снова применяем теорему9.3, откуда и, значит, .