Нас интересует оценка доверительной вероятности, при которой истинное значение величины x будет отличаться от E(x) не более чем на ε, т. е.

Неравенство Чебышева дает слабую оценку, что не удивительно, так как не делается никаких предположений о законе распределения случайной величины x. Например, если ε = 3σ , то из (2.68б) найдем вероятность того, что результат измерения отличается от истинного значения на величину, большую 3σ:

P{x − E(x) > 3σ}<11% .

2.2.4. Критерий Пирсона (хи-квадрат)

Рассмотрим распределение вероятности для результатов измерений выборки мощности n и попробуем оценить, с какой вероятностью мы можем судить по этому распределению о распределении вероятности для генеральной совокупности. Для этого нужно либо сравнить оба этих распределения, либо оценить их сходство со всеми возможными типами распределения вероятности. Рассмотрим эмпирическое распределение вида, представленного на рис. 1. Разделим затем область полученных значений x на k независимых классов так, чтобы каждый содержал в среднем 5 отдельных событий. Число классов в данном случае тоже будет близко к 5. Мерой согласия эмпирического и теоретического распределений будет сумма квадратов отклонений эмпирической частоты ni класса i и теоретически рассчитанной частоты nPi , где Pi – вероятность, предсказанная гипотетическим распределением для данного класса, рассчитываемая по (2.5). Тогда можно определить величину:

Если χ2 = 0 , то наблюдаемая и ожидаемая частоты в точности совпадают;

если χ2 ≠ 0 , то нет; причем, чем больше χ2 , тем больше отклонение наблюдаемого распределения от ожидаемого. Поскольку эти отклонения имеют также статистическую природу, то для χ2 существует свое

распределение, которое для выборок большой мощности совпадает с так называемым хи-квадрат распределением с k −1 степенями свободы. Оно было введено Хелмертом. Плотность распределения имеет вид:

где f=k–1 – число степеней свободы. Если определить по экспериментальным данным еще r параметров гипотетического распределения, то отклонения ожидаемой частоты от наблюдаемой налагают еще r условий. Тогда число степеней свободы распределения равно:

На рис. 13 показано χ 2 -распределение для разных f. При f=1 и f=2 кривые монотонно понижаются с увеличением χ 2 , при f>2 наблюдается максимум вблизи значения χ 2 = f −2 . Функция распределения имеет вид:

Она табулирована, причем для больших f вместо нее можно приближенно использовать н.р.

Рис. 13. Плотность вероятности хи-квадрат распределения при числе степеней свободы f=1; f=2; f=4; f=6 [2,11].

Для χ 2 эта величина соответствует верхней границе χ 2p , ниже которой еще можно считать, что гипотетическое распределение совпадает с истинным распределением генеральной совокупности. При χ 2> χ 2p эта гипотеза несправедлива. Величина χ 2p определяет допустимую

вероятность всех возможных отклонений. Величина α =1− P определяет вероятность того, что отклонена истинная гипотеза:

функция числа степеней свободы f. Выше каждой из кривых гипотеза о согласии неверна.

В основе χ 2 -критерия лежит предположение о гипотетическом

распределении для генеральной совокупности. В то же время параметры этого распределения обычно определяются по экспериментальным значениям. Так, например, выборочное среднее является наилучшей оценкой для математического ожидания генеральной совокупности (см. п. 2.2.1.). В настоящее время с помощью ЭВМ можно относительно легко варьировать параметры гипотетического распределения, чтобы достичь

минимальной величины χ 2 согласно (2.69). Полученное распределение будет наиболее вероятным.

Рис. 14. Верхнее предельное значение χ 2 - распределения в зависимости от числа степеней свободы при разных вероятностях P [2,11].

2.2.5. Сложение ошибок

Во многих случаях не удается непосредственно измерить интересующую величину, и ее приходится рассчитывать на основе значений других измеряемых величин (такие измерения называются косвенными). Рассмотрим пример, в котором искомая величина Z является известной функцией независимых друг от друга измеряемых величин x и

у:

Величины x и y измеряются соответственно m и n раз. Выборочные средние равны x m и yn , выборочные дисперсии S m2 , Sn2 . Для каждой пары

значений xi и yk получим величину Zik, а выборочное среднее определим по выборке мощностью m n :