Доверительный интервал в котором с доверительной вероятностью P заключено значение Z N равен:
P = tP S |
|
N , |
(2.84) |
Z |
где tP находится из таблиц распределения Стьюдента по вероятности P и числу степеней свободы:
|
|
l |
|
|
|
|
∂ f |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
( j) |
S nj |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|||||||||||
k = |
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(2.85) |
|||||
|
|
|
|
|
|
∂ f |
2 |
|
|
|||||||||
|
l |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S n4 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
j=1 nj − |
∂x ( j) |
|
|
j |
|
||||||||||||
Рассмотрим как пример случай, когда искомая величина пропорциональна произведению измеряемых величин в некоторой
степени: |
|
||
Z = Cx α yβ , |
(2.86) |
||
Smn2 = (αC xmα−1 ynβ )2 Sm2 + (β C xmα ynβ −1 )2 Sn2 . |
= (Cx mα x nβ )2 , |
||
Разделив полученную величину на выборочное среднее: |
|
mn2 |
|
Z |
|||
получим для квадрата относительной ошибки величины Z mn :
S mn2 |
|
2 S m2 |
2 S n2 |
|
Z mn2 |
=α |
x m2 + β |
yn2 . |
(2.87) |
2.2.6. Взвешенное среднее значение
На практике часто приходится рассчитывать величины по нескольким выборочным средним, определенным с разной точностью (полученных в разных сериях измерений или с помощью разных методик). Если соответствующие выборочные средние равны x a, x b,…, а
выборочные дисперсии соответственно Sa2 , Sb2 ,…, то по этим величинам
можно определить так называемое взвешенное среднее, если каждое выборочное среднее умножить на множитель w (называемый весом):
x = wa x a + wb x b +…. (2.88) wa + wb +…
Вес определяет точность каждого выборочного среднего: чем он выше, тем меньше выборочное СТО. Закон сложения ошибок позволяет получить для x дисперсию выборочного среднего. Используя (2.79), найдем:
S |
2 |
= |
wa2Sa2 |
+ wb2Sb2 +… |
. |
(2.89) |
|||||
|
( |
w |
a |
b |
) |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
+ w |
+… |
|
|
|
||
Значения весов должны быть выбраны так, чтобы величина S2 была минимальной. Рассмотрим для простоты два значения wi. Пусть сумма w = wa + wb будет постоянной, тогда можно записать дисперсию в виде:
S 2 |
|
w2S 2 |
+ (w − w |
a |
)2 S 2 |
|
|||||
= |
|
a |
a |
|
b |
. |
(2.90) |
||||
|
∂ S 2 |
w2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Из условия |
|
= 0 следует: |
|
||||||||
|
|
|
|
|
S 2 |
|
∂ wa |
|
|
|
|
|
w |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
b |
, |
|
|
|
|
(2.91) |
|
|
wb |
S a2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
т. е. веса обратно пропорциональны выборочным дисперсиям. Этот результат справедлив и для случая нескольких выборок. Обычно полагают:
wa :wb: wc:…= |
1 |
: |
1 |
|
: |
1 |
:… |
|||||
Sa2 |
Sb2 |
|
Sc2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и (2.89) приводится к виду: |
|
|
||||||||||
S 2 = |
1 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
(2.92) |
||
m |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j=1 S 2j |
|
|
|
|
|
|
|
||||
где m – число серий; S 2j |
– дисперсия выборочного среднего в j-й серии. |
|||||||||||
Доверительный интервал равен: |
||||||||||||
P = tP S , |
|
|
|
|
|
|
(2.93) |
|||||
где tP находится из таблиц распределения Стьюдента при доверительной вероятности P и числе степеней свободы
k = |
|
m2 |
|
||
|
|
, |
(2.94) |
||
m |
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j=1 nj −1 |
|
|||
где nj – число измерений в j-й серии.
2.3. Сглаживание экспериментальных зависимостей. |
||||
|
Метод наименьших квадратов |
|
||
2.3.1. Линейная регрессия |
|
|
||
Важной |
задачей |
является |
нахождение |
функциональных |
зависимостей между величинами. При этом стараются обычно так |
||||
сформулировать задачу, чтобы изучать только две величины, в то время |
||||
как остальные переменные остаются постоянными. В эксперименте |
||||
получаются пары значений: (x1, y1),(x2 , y2 ),…,(x n, yn ) , которые образуют |
||||
выборку мощности n из двумерной генеральной совокупности. В общем |
||||
случае обе измеряемые величины характеризуются ошибками измерений. |
||||
Прежде всего изобразим полученные пары значений в прямоугольной |
||||
системе координат. Тогда через экспериментальные точки, как правило, |
||||
можно провести гладкую кривую, которая приближенно описывает |
||||
результаты. На рис. 15 показаны экспериментальные точки, |
||||
группирующиеся вдоль прямой линии. В случае подобных линейных |
||||
зависимостей обычно можно достаточно точно провести прямую “на |
||||
глаз”. Однако наилучшая из возможных прямых (прямая регрессии) |
||||
получается, если использовать объективный метод – так называемый |
||||
метод наименьших квадратов Гаусса (МНК). |
|
|||
Для простоты будем считать величины x независимыми |
||||
переменными, значения которых измерены с пренебрежимо малой |
||||
ошибкой. Пусть величина yi, соответствующая значению xi, отклоняется |
||||
от истинной величины y(xi) на yi − y(x i ) = εi . |
|
|||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
Рис. 15. Экспериментальные значения и линия регрессия. |
|||
Наилучшей прямой:
y = ax + b |
(2.95) |
является такая, на которой достигается минимум суммы квадратов отклонений εi:
n |
n |
|
∑ε 2i |
= ∑( yi − ax i − b)2 = S(a, b, n) → min . |
(2.96) |
i=1 |
i=1 |
|
Условием минимума является равенство нулю первых частных производных: ∂ S ∂ a = 0 и ∂ S ∂ b = 0. Отсюда получим:
n |
|
−bxi ) = 0, |
∑(xi yi −axi2 |
||
|
|
|
i=1 n |
|
|
|
∑( yi −axi |
−b) = 0 |
|
i=1 |
|
Решая эту систему уравнений для неизвестных a и b, найдем:
|
n |
n |
|
n |
|
|
|
|
∑x i ∑yi − n∑x i yi |
||||||
a = |
1 |
1 |
|
1 |
|
, |
|
n |
2 |
|
n |
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
∑x i |
− n∑x i2 |
|||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
n |
n |
|
n |
n |
||
|
∑x i ∑x i yi − ∑yi ∑x i2 |
||||||
a = |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
. |
|
|
|
|
2 |
|
|||
|
n |
|
n |
||||
|
∑x i |
|
− n∑x i2 |
||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
Построим среднее арифметическое всех значений xi и yi:
|
1 |
n |
1 |
n |
|
x = |
∑x i и y = |
∑yi . |
|||
|
|
||||
|
n 1 |
n 1 |
|||
(2.97)
(2.98)
(2.99)
(2.100)
Тогда уравнение (2.98) будет иметь вид: |
|
y = ax + b. |
(2.101) |
Полученная прямая идет через эти средние значения, поэтому можно |
|
записать: |
|
y − y = a(x − x ) . |
(2.102) |
Наклон прямой называют коэффициентом регрессии. Мерой разброса значений yi возле прямой регрессии является дисперсия Sn2 :
|
n |
[yi −y(x i )]2 |
|
S(a, b, n) |
|
min |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
S n2 |
= ∑ |
|
= |
|
|
|
. |
(2.103) |
|
n − 2 |
n − 2 |
||||||||
|
1 |
|
|
|
|||||