Приложения

1. Примеры решения задач

Задача 1. Определить доверительный интервал, в который с вероятностью Р попадают значения измеряемой величины при условии, что:

а) результаты измерений распределены равномерно; б) результаты измерений распределены по треугольному закону;

в) результаты измерений распределены по трапецеидальному закону.

Решение.

а) Плотность вероятности равномерного распределения зададим в

виде:

где m – центр распределения. Можно было бы положить m=0, что не влияет на конечный результат, но мы рассмотрим общий случай.

Установим связь между доверительной вероятностью Р и доверительным интервалом . Для этого запишем выражение для вероятности попадания случайной величины х в интервал [m–Δ, m+ ], где

Подставляя выражение для р(х) и преводя вычисления, получим:

P = a = P a ,

т.е. доверительный интервал линейно зависит от доверительной вероятности. В частности, при Р=1; =а, т.е. интервал равен области задания распределения в которой р(х) ≠ 0. Отметим, что на полученный результат не влияет положение центра распределения, о чем говорилось выше.

б) Вероятность попадания случайной величины в интервал (– , ) равна:

где р(х) – плотность треугольного распределения.

Для удобства вычисления будем считать, что распределение симметрично относительно 0 и определено в интервале [–2a, 2a], что не влияет на конечный итог.

Воспользуемся формулой (2.52) для интегральной функции распределения и получим:

т. е. вероятность квадратично зависит от интервала.

Соотношение (3) справедливо, если левая граница интервала [– , ] заключена между –(а+b) и –(а–b), а правая между (а–b) и (а+b). Если же искомый интервал заключен между –(а–b) и (а–b), то имеем:

т.е. результат совпадает с полученным выше для равномерного распределения, что не удивительно, так как в интервале [–(a–b); (а–b)] трапецеидальное распределение совпадает с равномерным.

Задача 2. Даны результаты десяти измерений электрического сопротивления Ri, Ом, резистора. Найти оценку истинного значения и ошибки измерения при следующих условиях:

а) результаты измерений распределены нормально; б) результаты измерений распределены равномерно; в) распределение неизвестно.

124; 122; 122; 121; 125; 125; 119; 123; 124; 121.

Решение.

а) распределение нормальное.

За оценку истинного значения принимается выборочное среднее:

Определим доверительный интервал. Выберем вероятность, например, Р=0,99 и по таблицам распределения Стьюдента при k=n–1=9

найдем: t=3,250. Тогда = t S x = 3,250 0,618 = 2,009 ≈ 2,01.

Результат измерения запишем в виде:

х = х ± = 122,60 ± 2,01.

б) распределение равномерное.

За оценку истинного значения принимается центр размаха:

Результат запишем в виде:

х = 122,00 ± 2,97.

в) распределение неизвестно.

Для расчета доверительного интервала используем неравенство Чебышева:

Результат записывается в виде:

х = М[x] ± 10σx

Оценки М[x], σх в данном случае неизвестны. Полученные результаты показывают, что с уменьшением априорной информации о законе распределения, доверительный интервал возрастает.

Задача 3. При аттестации измерительного канала информационноизмерительной системы (ИИС) проводилось 11 измерений быстродействия, в мсек, канала. Нормативное значение быстродействия составляет m0 =16 мсек. Требуется выяснить равно, занижено или

завышено быстродействие канала по сравнению с нормативным. Доверительную вероятность принять равной P = 0,95.

17,9; 20,5; 18,3; 17,2; 14,0; 18,9; 18,3; 19,8; 19,6; 17,8; 22,1

Решение.

1) Сформулируем гипотезу:

H 0 : x = m0 ; H 0 : x > m0 .

Критерий имеет вид:

T= x − m0 .

Sn n

Проведем расчеты (n = 11):

Определим критическую область. В данном случае выбирается односторонняя критическая область К: t ≥ ε.

Определим ε по таблице распределения Стьюдента (см. Приложение 3) из соотношения

P{T < ε}=1−α .

При вероятности Р=0,95 и числе степеней свободы k=n–1=10, получим ε =2,228.

Так как T > ε, то гипотеза Н0 отклоняется, т. е. мы установили, что измеренное значение быстродействия больше нормативного.

Задача 4. На выходе усилителя переменного тока проводилось две серии измерений. В первой серии было проведено 5 измерений электрического напряжения и получена оценка выборочной дисперсии

S52 =100 мкВ2 , во второй серии – 9 измерений, и оценка дисперсии составила S92 = 80 мкВ2. Среднее значение напряжения в обеих сериях

x = 0. Требуется выяснить свидетельствуют ли данные измерения о том, что значение дисперсии в первой серии превышает значение дисперсии во второй серии на уровне значимости α = 0,1.

Решение. Задача решается в соответствии с рекомендациями §2.5. Сначала сформулируем гипотезу:

H 0 :S x2(1) = S x2(2) ;H 0 :S x2(1) > S x2(2) .

Определим критерий в виде:

F =T = S52 .

S92

При условии справедливости гипотезы Н0 критерий имеет F- распределение Фишера. Выберем одностороннюю критическую область

t >ε . Тогда, если значение T попадает в критическую область, то гипотеза

этого определяют критическое значение критерия ε(P, k1, k2), где α – уровень значимости: k1= n1–1; k2= n2–1. Проведем расчеты. В нашем случае Т=100/80=1,25; выберем α=0,05. По таблице определим

ε(0,95;4;8)= 3,84 . Так как T =1,25 < ε=3,84, то гипотеза принимается, т. е.

обе серии принадлежат генеральной совокупности с одной и той же дисперсией.

Задача 5. Проводилось исследование передаточных характеристик аналогового преобразователя в стационарном режиме. Для этого на вход подавался сигнал х, а на выходе регистрировался сигнал у. Из теоретических соображений известно, что зависимость имеет вид полинома не выше 2-ой степени. Требуется определить вид функции преобразования у=f(x), оценить отклонение от линейности и максимальную ошибку преобразования в диапазоне изменения измеряемой величины. Рассмотреть два случая:

а) ошибка измерения неизвестна; б) ошибка составляет 10%.

Результаты измерений представлены в табл.1.

Таблица 1

z=f(x). Воспользуемся результатами §2.3. Начнем поиск зависимости с наименьшей степени полинома.

1.Модель I: zI = a0

а) Составим систему нормальных уравнений. В данном случае

имеем одно уравнение.

в) Найдем дисперсию оценки параметра a0 непосредственным вычислением, т. к. система вырожденная (состоит из одного уравнения).

Sa20 = N1 S0I2 ,

где S0I2 = N 1− m ∑N (zi − zi )2 – дисперсия ошибки эксперимента.

i=1

Полагая N = 9; m = 1, найдем:

S0I2 = 91−1∑9 (zi −zi )2 = 7,39 ,

i=1

2. Усложним модель, увеличив степень полинома. Модель II:

zII = a0 + a1x

a) Запишем систему нормальных уравнений:

Na0 + a1[x] = [z] a0[x] + a1[x2] = [zx]

б) Найдем оценки параметров.

a0 = 0 ,

Получим:

= 9·285 – 45·45 = 2565 – 2025 = 540; 0 = 126,5·285 – 45·691,9 = 36052,5 – 31135,5 = 4917

4917

a0 = 540 = 9,106

в) Выпишем модель II:

zII=9,106 + 0,99x

г) Найдем дисперсию оценок параметров:

где S0II2 = N 1−2 ∑N [zi − (a0 + a1xi )]2 i=1

Расчеты дают:

S02II = 0,4524 S0II = 0,67

Sa20 = 285540 · 0,4524 = 0,239 Sa0 = 0,49 Sa1 = 5409 · 0,4524 = 0,0075 Sa1 = 0,086

Определим доверительные интервалы для оценок параметров. Зададим значение доверительной вероятности Р=0,95. По таблицам

a€1 = t0,95;7 Sa€1 = 0,2 .

Дисперсия и доверительный интервал для функции в случае первой модели совпадают с таковыми же для оценки параметра a0 . В случае

дисперсия и квадрат доверительного интервала растут квадратично с увеличением значения входного сигнала х.

3. Результаты расчетов сведем в табл. 2,3.

Таблица 2

6. Проверка адекватности модели.

а) дисперсия ошибки эксперимента неизвестна. Составляем критерий.

По таблице распределения Фишера находим критическое значение критерия (выбирается односторонняя критическая область):

Fкр(P, k1, k2); P = 0,95; k1 = N – m1 = 8; k2 = N – m2 = 7, что дает Fкр(0,95; 8; 7) = 3,73

Так как F>Fкр, то принимается модель II с двумя параметрами.

б) Известна дисперсия ошибки эксперимента:

S02 = (0,1)2 = 0,01.

По таблице распределения Фишера определяем критическое значение критерия Fкр(P, k1, k2); P = 0,95; k1 = 7; k2 = ∞ (Число степеней свободы для S02 : k2 = ∞, так как это теоретическая оценка, которой формально соответствует бесконечное число измерений):

Fкр(0,95; 7; ∞) = 2,01

Так как F>Fкр, то гипотеза о равенстве дисперсий отвергается. Поскольку модель адекватна, то можно сделать вывод, что априорное значение дисперсии ошибки эксперимента занижено.

Задача 6. Определение концентрации SiO2 в мартеновском шлаке проводилось двумя способами: весовым – 12 опытов и фотокалориметрическим – 15 опытов. Получены следующие результаты:

Существует ли значимое расхождение между первым и вторым результатами, если считать, что:

а) методы равноточны: σ12 =σ22 =σ 2 = 0,18; б) о равноточности методов сведений нет.

решения используем t - критерий Стьюдента. Уровень значимости выберем α = 5% . Критерий в данном случае имеет вид

Для выборочного значения критерия имеем

отвергается.

Задача 7. Детали, изготовленные на станке, в силу случайных причин отличаются по своему диаметру. По априорным сведениям установлено, что размер диаметра есть нормально распределенная случайная величина со стандартом σ = 3 мм. Какова вероятность брака, если бракуются детали, диаметр которых отличается от x более, чем на 0,15σ = 0, 45 ? Сколько нужно проверить деталей, чтобы получить вероятность ошибок первого и второго рода α = β = 5% ?

Решение.

Используем нормальное распределение. По ф. (2.23) найдем

P(x −0, 45 ≤ x ≤ x + 0, 45) = Φ(0,15σ / σ ) −Φ(−0,15σ / σ ) = 0,56 −0, 44 = 0,11,

Таким образом, вероятность брака составляет 11%. Для ответа на второй вопрос задачи используем критерий (2.126):

T= xn −m0

σ/ n .

измерений обеспечивается вероятность ошибки первого рода 5%. Одновременно при этом же числе измерений обеспечивается вероятность ошибки второго рода 5%. Для этого достаточно обозначить H0 ≡ H1 , тогда

H1 : xn = m0 , H1 = H1 : xn ≠ m0 , что и дает решение задачи.

Задача 8. Сравните производительность завода в дневную и ночную смены, если:

-среднее значение производительности в дневную смену за 30 дней

x=62,7 тыс. руб.;

- выборочная дисперсия в дневную смену за это же количество дней

S12 = 0,66 [тыс. руб.]2;

- среднее значение производительности в ночную смену за 20 дней

y = 62,4 тыс. руб.; - выборочная дисперсия в ночную смену за это же количество дней

S22 =0,8 [тыс. руб.]2.

Уровень значимости принять равным 5% .

решения используем t -критерий Стьюдента. Уровень значимости выберем

производительность завода одинакова для обеих смен с доверительной вероятностью 95%.