Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный минерально-сырьевой университет «Горный»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Downloads / pdf_in_archive (2) / 1_obrabotka.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.04.2015

Размер:

1.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 287 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

	n
σ2	= E[(x − x )2 ]= ∑(x − x )2 P(x; n, p) = np(1 − p) .	(2.27)

x =0

При больших n биномиальное распределение приближается к нормальному, что важно для практики, так как с нормальным распределением легче работать.

2.2.2.3. Распределение Пуассона

Если вероятность p в биномиальном распределении очень мала, а число возможных исходов n велико, то пользоваться распределением в виде (2.24) неудобно. В этом случае полезно перейти к пределу n → ∞ и p → 0

при постоянном значении математического ожидания x = np. Такое

дискретное распределение называют распределением Пуассона, а соответствующая функция распределения вероятностей имеет вид:

P(x; x ) =	x x	e−x ,	x=0,1,2, …	(2.28)
	x !

Эта функция однозначно характеризуется одним параметром – средним значением x числа встречающихся исходов. Математическое ожидание и дисперсия равны:

E(x) = ∑xP(x; x ) = x

			x
σ2	= E[(x − x )2 ]= ∑(x − x )2 P(x; x ) = x .						(2.29)
						x
Функция распределения определяется выражением:
			x		k
F(x) = e−			∑	x		.	(2.30)
		x		x

			k =0 k!
На	рис. 5				показаны распределения Пуассона		для трех значений

параметра x . Видно, что с увеличением x первоначально асимметричное распределение становится все более симметричным, приближаясь к

нормальному распределению с x0 = x и σ = x0 . Распределение

Пуассона описывает целый ряд явлений, в которых измеряемые величины принимают дискретные целочисленные значения, не зависящие друг от друга. Примером служат измерения в атомной и ядерной физике.


Пусть за секунду фиксируется среднее число частиц				R	,	а измерение
всегда происходит в течение	одного интервала времени					t . Тогда
измеренное за это время число	частиц x (или скорость счета						R = x	t	)
описывается распределением Пуассона с x =			t и СКО σ =
						R	t . Если
		R

такое измерение повторить n раз, то стандартное отклонение выборочного среднего в соответствии с (2.15) равно

Sx =	R t	(2.31)
	n

P(x; x)
0,6
0,5			x = 0,8
0,4
0,3
0,2
0,1				x
0				x
0	1	2	3	4

P(x; x)

0,3
0,2							x = 3
0,2
0,1
0									x
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9

P(x; x)

0,2
0,1												x = 8
0,1
0															x
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15

Рис. 5. Распределение Пуассона с различной величиной математического ожидания

[2,11].

Относительная среднеквадратичная ошибка среднего значения равна

	Sx		−	1		1


		= (nR t)		2	=	N .		(2.32)
	x

Она определяется							t	всех независимо
						только числом N = nR
зафиксированных частиц.

Аналогичные соображения можно применить к электромагнитным волнам. Ограничимся вначале стабилизированными колебаниями, под которыми мы будем понимать волновые пакеты бесконечной длины, испускаемые, например, высококачественным генератором или лазером. С помощью соответствующих детекторов с высоким временным разрешением можно фиксировать отдельные кванты излучения, причем нужно учитывать статистические свойства самого детектора. Теория показывает, что в этом случае полученное число фотонов тоже описывается распределением Пуассона, в котором x соответствует среднему ожидаемому числу фотонов за фиксированный интервал времени. Фотоны ведут себя в этом случае как классические независимые частицы, а такое состояние фотонов называют когерентным. Некогерентное излучение описывается иначе (см. ниже).

2.2.2.4. Другие распределения

При вычислениях вероятностей используется целый ряд других функций распределения. Мы рассмотрим те из них, которые чаще всего используются в физике и технике измерений. Во всех измерениях экспериментатора интересует вероятность p(t)dt того, что после одного

события, происшедшего в момент t=0, следующее событие наблюдается в момент t, а точнее в интервале от t до t+dt. Если сами события подчиняются распределению Пуассона, то плотность вероятности для интервала t равна:

p(t;		) =		e−	R	t при t>0,	(2.33)
	R		R

где R – средняя скорость счета (количество событий в единицу времени). Таким образом, малые интервалы времени более вероятны, чем большие. Такое распределение называется экспоненциальным. Соответствующая функция распределения, математическое ожидание и дисперсия имеют вид:


F(t) =1 − e−						t ,						(2.34)
F(t) =1 − e−					R	t ,						(2.34)
			1
t	= E(t) =			,								(2.35)
t	= E(t) =			,								(2.35)
		R
σ 2 = E[(t − t					)2		]=	1			2 .	(2.36)
								1		= t
									2
								R	2

Если при измерениях применяют дискриминатор, который фиксирует только каждое r-е событие, то следует пользоваться обобщенным экспоненциальным распределением.

Распределение Коши, больше известное в физике как распределение Лоренца. Оно описывает, например, события, которые изучают с помощью метода резонанса. Плотность вероятности функция распределения имеет вид:

p(x; x0, Γ)				=		1				Γ2			,
p(x; x0, Γ)				=		π		(x − x0 )2 + (Γ				2)2	,
						π		(x − x0 )2 + (Γ				2)2
F(x) =	1		+	1			arctg		x − x 0		.
F(x) =		2	+		π		arctg				.
		2			π				Γ	2
										2

(2.37)

(2.38)

Величины математического ожидания и дисперсии нельзя определить, так как интегралы с (2.37) расходятся. Поэтому такое распределение характеризуют медианой x0 и полушириной Γ. Полуширина Γ

определяется так, чтобы при x − x	0	= ±Γ	2	плотность вероятности
	0		2

достигала половины максимального значения. На рис. 6 представлены распределения Гаусса и Лоренца с одинаковой полушириной. Хорошо видно, что распределение Лоренца более широкое, иными словами,

плотность вероятности падает медленнее. То же самое справедливо и для
вероятностей в интервале [x 0 − Γ2 , x 0 + Γ2]:
P(x0	− Γ2 ≤ x ≤ x0	+ Γ2)= 76 % (для распределения Гаусса) и
P(x 0	− Γ2 ≤ x ≤ x 0	+ Γ2)= 50 % (для распределения Лоренца).

P(x; x0 , Γ)
0,5						1
0,4						1
0,4
0,3
0,2						2
0,1				x0		2
0,1
0						x
0			Γ		+ Γ	x
1	x0	−	Γ	x0	+ Γ	10
			2		2

Рис. 6. Распределение Гаусса (1) и Лоренца (2) с одинаковой полушириной Γ

[2,20].

Рассмотрим теперь (в отличии от прежнего случая контролируемых колебаний) фотоны, которые находятся в термическом равновесии со средой (как, например, при описании излучения абсолютно черного тела). Они подчиняются распределению Бозе–Эйнштейна, которое можно

описать средним числом заполнения x :
P(x; x ) =		1			1			, при x=0, 1, 2, …	(2.39)
P(x; x ) =	1	+ x				1		, при x=0, 1, 2, …	(2.39)
	(		)	1 +			x
	(		)	1 +			x
						x
Для больших значений среднего числа заполнения это выражение
переходит в	1
	1	−x
P(x; x ) =		e	x						(2.40)
P(x; x ) =	x	e	x						(2.40)
	x

Функция распределения, математическое ожидание и дисперсия равны соответственно:

	1	x		1	−(1+k )
F (x) =		∑ 1	+		,	(2.41)
F (x) =		∑ 1	+		,	(2.41)
	x k=0			x
E(x) = x ,						(2.42)
σ2 = x 2 + x .						(2.43)

На рис. 7 показаны распределения Пуассона и Бозе-Эйнштейна для средней плотности фотонов x =10. В первом случае СКО σ =3,2 , а во втором σ =10,4 , т. е. величине среднего числа фотонов.

0,2		x
		x
0,1
0		x
0	10	20

0,1

		x
0		x
0	10	20

Рис. 7. Распределение Пуассона (а) и Бозе-Эйнштейна (б) для средней плотности фотонов x =10 [2,11,12].

Отдельную группу составляют так называемые модельные распределения: равномерное (прямоугольное), треугольное (распределение Симпсона) и трапециедальное, которые часто используются для аппроксимации (приближения) неизвестных распределений. Важным свойством этих распределений является то, что дисперсия зависит от значения случайной величины x.

Равномерное распределение. Такое распределение имеет например, инструментальная ошибка измерения, задаваемая классом точности прибора. Плотность распределения имеет вид (центр распределения находится в нуле):

p(x)

-a 0 x

c	− a ≤ x ≤ a	(2.44)
p(x) =	x [− a, a]	(2.44)
0	x [− a, a]

Рис. 8. Плотность равномерного распределения.

∞

Константа c находится из условия нормировки ∫ p(x)dx =1. Отсюда,

−∞

подставляя p(x) из (2.44), получим:

∞	a	1
∫c dx = ∫c dx = c 2a =1 c =			,	(2.45)
		2a
−∞	−a

т. е. константа c однозначно связана с шириной Математическое ожидание и дисперсия равны:

∞

E(x) = x = ∫ x p(x) dx = ∫

x dx = 0;

−∞

−a2a

∞

(2a)

D(x) = σ 2 = ∫

x 2 p(x) dx = ∫x 2

dx =

;

−∞

−a

интервала.

(2.46)

(2.47)

σ =	a	=	(2a)		(2.48)
	3		2	3

Интегральная функция имеет вид:

F(x) = 21a (x + a)

Треугольное распределение Симпсона. Такое распределение имеет сумма двух величин x и у, распределенных по равномерному закону в одном и том же интервале. Плотность распределения имеет вид:

			[	]
0;
	x			− 2a,2a
		x
1				; − 2a ≤ x ≤ 0
p(x) =	+
		4a2
2a
1	−	x		; 0 ≤ x ≤ 2a
		4a	2

2a

p(x)

-2a	0	x
	2

Рис. 9. Плотность распределения Симпсона.

Математическое ожидание и дисперсия равны:

E[x ]= 0;

D[x ]= 23 a2 ;

Интегральная функция имеет вид:

F(x) =

; − 2a ≤ x ≤ 0

8a2

x 2

F(x) = −

; 0 ≤ x ≤ 2a

(2.49)

(2.50)

(2.51)

(2.52)

Трапецеидальное распределение. Такое распределение имеет сумма двух величин x и y, распределенных по равномерному закону в разных

интервалах. Плотность распределения имеет вид:
0;			x [− (a + b), (a + b)]
a + b + x				; − (a + b) ≤ x ≤ −(a − b)
		4ab
					(2.53)
p(x) = 1			; − (a − b) ≤ x ≤ (a − b)

	2a
a		+ b − x		; (a − b) ≤ x ≤ (a + b)

			4ab

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 287 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>