2.5. Статистическая проверка гипотез

Проверка гипотез, наряду с задачей статистической оценки параметров, рассмотренной в предыдущих параграфах, составляет одну из важнейших процедур принятия статистических решений. Она широко используется в измерительном эксперименте при анализе данных и обработке результатов измерений. Под гипотезой Н0 понимается некоторое предположение о случайной величине х (о виде распределения, параметрах распределения и т.п.). Путем статистической проверки необходимо установить, насколько данные, полученные из выборки ( x1, x 2 ,…, x n ), согласуется с гипотезой, т. е. можно ли на их основании

принять или отвергнуть гипотезу. Абсолютно надежное решение получить нельзя. Необходимо заранее допустить возможность ошибочного решения. Обозначим через α вероятность того, что гипотеза Н0 будет отвергнута, хотя на самом деле она верна. Ее называют также уровнем значимости проверки гипотезы или вероятностью ошибки первого рода. Эта величина или величина P =1 − α , называемая статистической достоверностью или доверительной вероятностью, т. е. вероятностью принять правильную гипотезу, должны быть выбраны экспериментатором. При решении экономических или технических проблем, обычно выбирают α = 0,05 или α = 0,01; в медицинских исследованиях, где цена ошибки очень высока, полагают α ≈ 0,001.

Процедура проверки гипотезы заключается в следующем: выбирается некоторая подходящая выборочная функция (критерий проверки гипотезы) T (x1, x 2 ,…, x n ; H 0 ), определяемая выборкой и

выдвинутой гипотезой Н0. Затем устанавливается область К, в которую в случае справедливости гипотезы Н0 значение функции Т попадает с вероятностью Р=α. Область К называется критической областью. Если

отклоняется, в противном случае принимается. При этом вероятность того, что гипотеза Н0 будет отвергнута в случае, когда на самом деле она верна, оказывается равной заданной величине α. При любом значении α существует множество различных возможностей для выбора критической области. Наиболее часто используется три типа критической области: симметричная, квазисимметричная, и односторонняя. На рис. 16 приведена функция плотности распределения f(t) для критерия Т:

−∞

которая симметрична относительно нуля и близка по виду к кривой нормального распределения или распределения Стьюдента. Критическая область выбрана здесь симметричной относительно нуля, а именно, К: t ≥ ε .

На рис. 17, 18 приведены функции плотности распределения, близкие по виду к χ2 и F – распределению Фишера. Критическая область на рис. 18 расположена в диапазоне больших значений критерия, К: t ≥ ε . На рис. 17 показана квазисимметричная критическая область, К:

ε2 ≤ t , одна часть которой располагается правее нуля, а другая –

в области больших значений критерия. Заштрихованная часть, расположенная над критической областью, на всех трех рисунках имеет площадь равную α.

Отметим, что критерий всегда выбирается безразмерной величиной, поэтому числитель (x n − m0 ) делится на СКО выборочного среднего

нормальное распределение. Критическую область К, соответствующую

где Ф(ε) – функция нормированного нормального распределения.

Если Т попадает в область К, то гипотеза Н0 отвергается. Поясним этот вывод расчетами. Пусть из нормально распределенной совокупности

с дисперсией σ2 = 25 извлечена выборка объема n=16, с помощью которой получена оценка среднего xn = 22 . Требуется проверить гипотезу

Е(х)=20. Зададим уровень значимости α=0,05; по таблице нормального распределения найдем ε=1,96. При этом критическая область К: t >1,96.

гипотеза Н0 принимается.

2.5.2. Проверка гипотезы о значении дисперсии нормально распределенной случайной величины х при неизвестном среднем

Пирсона. Критическую область, соответствующую уровню значимости α выберем квазисимметричной:

гипотезу Н0 следует отвергнуть. Проведем расчеты. Пусть из нормально распределенной совокупности извлечена выборка объема n=40, с помощью которой рассчитана оценка дисперсии S2=20,61. Требуется

проверить гипотезу σ2 = 20 . Зададим уровень значимости α=0,05 и по таблице распределения Пирсона найдем ε1=24,4; ε2=59,3. При этом критическая область К: 0 ≤ χ 2≤ ε 1 ; χ 2≥ ε 2 . Подсчитаем выборочное значение критерия: χ 2 =T = 39 2020,61 = 40,2. Так как T не попадает в

критическую область, то гипотеза Н0 принимается.

В рассмотренных примерах критическая область выбрана наилучшим образом в смысле обеспечения максимальной избирательности критерия. Положение критической области существенно

зависит также от выбора альтернативной гипотезы H 0 . Мы выбираем H 0 : Е(х)≠m0 (в первом примере) либо σ2 ≠ σ20 (во втором примере). Если

использовать другую гипотезу, например, H 0 : σ2 > σ20 , то в качестве

критической следует выбрать одностороннюю критическую область на рис.18.

Использованные критерии зависят от вида распределения случайной величины х; такие критерии называют параметрическими. Существует и другая группа критериев, применение которых не связано с предположениями о законе распределения. Они называются непараметрическими. В табл. 7 приведены наиболее распространенные виды критериев и области их применения.

Рассмотрим несколько часто применяемых непараметрических критериев, свободных от вида распределения.

2.5.3. Проверка гипотез о независимости и стационарности данных

Пусть имеется последовательность, состоящая из m элементов а и n элементов в (а – знак «плюс», в – знак «минус»). Серией называется часть последовательности, состоящая из элементов одного вида. Обозначим k – общее число серий в данной последовательности. Гипотеза Н0: элементы а

и в расположены случайно; гипотеза H 0 : в расположении а и в

наблюдается закономерность. Для проверки гипотезы используется так называемый критерий серий, который имеет вид (при больших m, n и отношении m/n):