Глава 2. Обработка результатов измерений
2.1. Классификация ошибок
Введение понятия ошибка (погрешность*)) имеет глубокий гносеологический смысл и тесно связано с аксиомами теории измерений. В настоящее время общепринятыми являются две аксиомы:
1.Аксиома существования истинного значения измеряемой величины. В математической статистике ей соответствует аксиома статистической устойчивости, которую можно сформулировать в следующем виде: “хотя точное значение результата единичного измерения не может быть найдено, функция от результатов нескольких измерений может быть определена гораздо более точно”. Эта функция называется статистикой. Построение подходящих статистик является задачей теории ошибок (см. ниже).
2.Аксиома несоответствия постулирует принципиальное несоответствие между измеренным и истинным значением величины.
Эти две аксиомы вытекают из опыта и дают возможность формального определения ошибки (погрешности) измерения. Опыт показывает, что при многократном повторении одного и того же измерения получаются разные численные значения, даже если все делать совершенно одинаково. Перед экспериментатором сразу возникает вопрос об истинном значении измеряемой величины, а также о точности, с которой его можно определить по имеющимся данным (если такое значение действительно существует – для этого и нужна аксиома статистической устойчивости). Отклонение результата измерения x от истинного значения x0 (которое обычно неизвестно) называют ошибкой
*) Английскими учеными в последнее время был поднят вопрос, поддержанный рядом международных организаций, о замене понятия погрешность термином неопределенность измерения на том основании, что этот термин лучше учитывает различную природу отклонения измеренного значения от истинного (как статистическую, так и нестатистическую). По нашему мнению, такая замена некорректна, так как эти понятия относятся к разным аспектам информации: погрешность характеризует содержательную часть информации (значение), а неопределенность – истинность, уверенность, т.е. соответствие реальности. Поэтому, не вдаваясь в существо этой дискуссии на страницах учебного издания, отметим, что мы будем использовать термин “ошибка”, используемый в математической статистике.
(или погрешностью) измерения e (первая буква англ. слова error – ошибка):
e = x − x0 . |
(2.1) |
Ошибки измерений |
величины необходимо проанализировать, |
попытаться установить их причину и свести их к минимуму. Ошибки измерений принято делить на две группы: систематические и случайные (статистические)(другие важные группы ошибок: методические и инструментальные, а также статические и динамические будут рассмотрены в гл. 3, посвященной измерительным устройствам). Они подчиняются совершенно разным закономерностям, поэтому различаются и способы устранения этих ошибок. Систематические ошибки устраняются посредством создания специальных условий измерений, применением специальной техники эксперимента и методов измерений. Случайные – проведением многократных измерений и последующей их обработкой с помощью методов математической статистики.
Формально систематическая ошибка определяется выражением: |
|
ecиcm = E[e] = E[x − x0 ]= E[x ] − x0 , |
(2.2) |
где E[x ] – математическое ожидание (от англ. expectation – ожидание) величины x; в (2.2) учтено, что E(x0 ) = x0 , т. к. x0 – постоянная величина.
Для случайной ошибки имеем по определению: |
|
ecл = e − ecиcm = e − E[e], |
(2.3) |
так что систематическая и случайная ошибки в сумме равны полной ошибке измерения e.
Рассмотрим основные источники этих ошибок. Систематические ошибки имеют множество причин и их обычно трудно обнаруживать, так как при повторении измерений они, как правило, сохраняют свое значение. Типичными источниками ошибок являются:
–несовершенство используемой измерительной аппаратуры (ошибки линейности, дрейф нулевой точки, градуировочные ошибки);
–несовершенство используемого метода измерений;
–плохая настройка измерительной аппаратуры;
–недостаточное постоянство условий проведения измерений;
–влияние окружающей среды;
–постоянные ошибки экспериментатора (измерителя);
–неучтенные влияния других параметров.
Для обнаружения и исключения систематических ошибок нет общего предписания. Можно изменить условия проведения измерения или проверить все перечисленные источники ошибок. В сомнительных
случаях используют радикальное решение, а именно нужно перейти к совершенно другому способу измерений. Решающее значение при поиске систематических ошибок имеет критическое отношение экспериментатора к проведению измерений и особенно его опыт. Совершенствование экспериментальной техники позволяет во многих случаях избежать систематических ошибок. Например, измерение параметров пучков атомных и молекулярных частиц сильно затруднены их взаимодействием с молекулами остаточных газов. Проведение измерений в сверхвысоком вакууме позволяет исключить такого рода ошибки.
Случайные ошибки тоже имеют вполне определенные причины, довольно многочисленные, например, малые флюктуации (колебания) параметров измерительной аппаратуры, влияющих величин и т. п. Однако взаимодействие этих причин приводит к такому разбросу измеряемых значений, который зависит уже только от случая. Предсказать значение случайной ошибки для одного измерения в принципе невозможно, поэтому приходится повторять измерения до определенного разумного предела, а полученную совокупность данных обрабатывать с помощью методов теории вероятности и математической статистики. На этих дисциплинах базируется так называемая теория ошибок.
Кроме перечисленных ошибок выделяют ошибки третьего типа – так называемые грубые ошибки (выбросы), которые могут быть вызваны ошибками экспериментатора или отказами измерительного оборудования. Их в принципе легко заметить, а дефектные измерения исключить в процессе самого эксперимента. Иногда момент бывает упущен, и тогда при обработке данных применяют критерий грубых ошибок, используя соотношения:
ν = |
x max − x n |
и ν = |
x min − x n |
, |
(2.4) |
|
|
||||||
S n |
||||||
|
|
S n |
|
|||
где x max , x min – |
максимальное и минимальное |
значение из ряда |
||||
измерений (так как именно они прежде всего подозрительны на грубую ошибку); x n, S n – вычисляются по формулам (2.12), (2.13). Функции
распределения этих величин определяются методами математической статистики. Они затабулированы и по доверительной вероятности P или уровню значимости α =1− P (см. ниже) для данного числа измерений n можно найти по таблице νкрит, т. е. такое значение, которое величина ν еще может принять по случайным причинам. Если оказалось, что v > vkpиm , то соответствующее значение отбрасывается.