|
∞ |
1 |
|
n |
|||
α1= |
∫ xp(x) dx = |
|
∑x i |
||||
|
|
||||||
|
−∞ |
|
n i=1 |
||||
|
∞ |
|
|
|
1 |
n |
|
α 2= |
|
|
|
||||
∫ x 2 p(x) dx |
= |
|
∑x i2 |
||||
|
|
||||||
|
−∞ |
|
|
|
n i=1 |
||
Используя выражение для функции плотности:
1 p(x) = 2a
0
npи x [m − a, m + a], npи x [m − a, m + a]
найдем из первого уравнения:
∞ |
1 |
m+a |
1 |
|
1 |
|
x 2 |
|
m+a |
|||
|
|
|||||||||||
∫x |
|
dx = ∫ |
|
x dx = |
|
|
|
|
|
|
|
= m |
2a |
2a |
2a |
|
|
2 |
|
||||||
−∞ |
m−a |
|
|
|
|
|
m−a |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
n |
|
Отсюда находим параметр m: |
m = |
|
|
∑x i = x . |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n i=1 |
|||
Аналогично из второго уравнения найдем a:
∞ |
1 |
|
1 |
|
m+a |
|
|
1 x |
3 |
|
m+a |
|
|
a |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
∫x 2 |
dx = |
|
|
∫x 2 dx = |
|
|
|
|
= m2 + |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2a |
2a |
|
2a 3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
−∞ |
|
m−a |
|
|
|
m−a |
3 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
a |
2 |
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
− (x )2 . |
|
||
Отсюда получаем: |
|
|
|
= |
∑x i2 |
− m2 |
|
= x 2 |
|
|
||||||||||
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2.6.2. Графические методы
Графические методы сводятся к построению гистограммы и полигона. Для этого проводят вспомогательные вычисления.
Сначала значения в выборке ранжируют, т. е. располагают в порядке возрастания, и получают вариационный ряд:
x1 ≤ x2 ≤…≤ x n .
Такое представление является удобным, так как наглядно и позволяет сократить время при последующих расчетах.
Затем определяют число интервалов группирования m:
|
4 |
n |
|
|||
m = |
|
lg |
|
|
. |
|
|
10 |
|||||
|
|
|
||||
Полученное значение округляется до большего целого числа. Данная рекомендация не является “жесткой”, и для одного и того же объема выборки n в зависимости от предположений могут быть получены различные оценки для числа интервалов (см. табл. 10). Следует иметь ввиду, что при малом числе интервалов гистограмма будет сильно
сглаженной и можно просмотреть ее особенности, а при большом – начинают преобладать ошибки измерений.
Таблица 10
Оценки числа интервалов группирования, получаемые из различных предположений [13, 14]
Объем выборки, n |
Число интервалов, m |
50 |
2, 3, 4, 7, 8, 9, 18 |
100 |
3, 4, 5, 8, 9, 10, 14, 15, 21 |
500 |
5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 21 |
После оценки числа интервалов группирования определяются ширина интервала группирования d, число значений вариационного ряда nj, попадающих в каждый интервал (эмпирические частоты), частость в
каждом интервале Wj и сумма частостей по всем интервалам W: |
||||||
d = |
(x n − x1 ) |
; |
W = ∑W j ; |
W j = n j . |
||
|
|
|
m |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
n |
|
|
(2.142)
Сумма частостей W должна быть равна 1.
На следующем шаге строятся гистограмма и полигон. Для построения гистограммы на оси абсцисс отмечают границы всех интервалов. На каждом интервале как на основании, строят прямоугольник такой высоты, чтобы его площадь была равна частости этого интервала. Высота каждого прямоугольника представляет собой среднюю эмпирическую плотность вероятности того, что истинное значение измеряемой величины находится в соответствующем интервале. Общая площадь между осью абсцисс и ступенчатой кривой должна быть равна единице. Масштаб графика рекомендуется выбирать так, чтобы высота гистограммы относилась к ее основанию как 3 к 5 (это делает график наиболее наглядным).
Полигон распределения значений по интервалам получается соединением середин верхних сторон прямоугольников гистограммы. По внешнему виду гистограммы (полигона) либо наложением на него теоретической кривой функций плотности для различных распределений выдвигают гипотезу о виде закона распределения или более точно о согласовании эмпирического и теоретического распределения. Проверка гипотезы осуществляется по критериям согласия, так же как и для аналитических методов.