- •Введение
- •Глава 1. Основные положения теории измерений
- •1.1 Взаимосвязь понятий измерения и числа
- •1.2. Физические величины и их единицы
- •1.3. Измерительные шкалы
- •Глава 2. Обработка результатов измерений
- •2.1. Классификация ошибок
- •2.2. Основы теории ошибок
- •2.2.1. Частота, вероятность, среднее значение, дисперсия
- •2.2.2. Распределение вероятностей
- •2.2.2.1. Гауссово, или нормальное, распределение (н.р.)
- •2.2.2.3. Распределение Пуассона
- •2.2.2.4. Другие распределения
- •2.2.3. Доверительный интервал
- •2.2.4. Критерий Пирсона (хи-квадрат)
- •2.2.5. Сложение ошибок
- •2.2.6. Взвешенное среднее значение
- •2.3.1. Линейная регрессия
- •2.3.2. Нелинейная регрессия
- •2.4. Методы оценки числа измерений
- •2.4.2. Оценка числа измерений, необходимого для получения СКО среднего с требуемой точностью
- •2.4.3. Оценка числа измерений для определения допустимых границ
- •Таблица 2
- •2.5. Статистическая проверка гипотез
- •2.5.1. Проверка гипотезы о среднем значении нормально распределенной случайной величины х с известной дисперсией
- •2.5.2. Проверка гипотезы о значении дисперсии нормально распределенной случайной величины х при неизвестном среднем
- •2.5.4. Проверка гипотез о положении (сдвиге), симметрии распределения, однородности данных
- •2.6. Определение вида закона распределения значений измеряемой величины
- •2.6.1. Аналитические методы
- •2.6.1.3. Определение энтропийного коэффициента
- •Таблица 9
- •2.6.2. Графические методы
- •Таблица 10
- •2.6.3. Проверка гипотезы о согласовании эмпирического и теоретического распределения по критериям согласия
- •2.6.4. Оценка истинного значения и ошибки измерения
- •Глава 3. Измерительные устройства
- •3.1. Основные блоки измерительных устройств
- •3.2. Передаточные характеристики
- •3.3 Динамические свойства измерительных устройств
- •3.3.1 Передача непериодического сигнала
- •3.3.2. Передача периодического сигнала
- •3.4. Принцип обратной связи
- •Приложения
- •1. Примеры решения задач
- •2. Совместная обработка количественных и качественных данных
- •3. Таблицы наиболее часто используемых распределений [2,3]
- •3.1. Интегральная функция нормированного нормального распределения
- •3.2. Распределение Стьюдента
- •3.4. F-распределение Фишера
- •Список литературы
- •Оглавление
Число степеней свободы равно здесь n–2, так как для определения прямой регрессии необходимо выполнение двух дополнительных условий. Дисперсии величин a и b равны:
S a2 = |
S 2 |
n |
|
|
|
||
n |
|
|
|
, |
(2.104) |
||
n |
|
n |
2 |
||||
|
|
|
|||||
|
n∑x i2 − |
|
∑x i |
|
|
||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
n
S n2 ∑x i2
Sb2 = |
|
1 |
|
|
. |
(2.105) |
|
n |
|
n |
2 |
||||
|
|
|
|||||
|
n∑x i2 |
− |
∑x i |
|
|
||
1 |
|
1 |
|
|
|
||
Для наклона прямой регрессии a и отсекаемого ею отрезка b в принципе справедливы все соображения изложенные в разделе 2.2.3., если бы было известно распределение вероятности для двумерной генеральной совокупности. Здесь вновь возникает вопрос о доверительном интервале, который показывает, с какой статистической достоверностью эти величины можно определить по данной выборке. Если x и y распределены нормально, то доверительный интервал определяется с использованием распределения Стьюдента. Если обе переменные равноправны или между ними нет функциональной зависимости, то для обработки результатов измерений используется корреляционный анализ. Задача о нелинейной регрессии решается аналогично, причем в качестве кривых регрессии используют полиномы разной степени. Ниже приведены соответствующие результаты.
2.3.2. Нелинейная регрессия
Пусть зависимость между величинами x и y дана в виде полинома:
y = a |
+ a x +…+a |
n |
x n . Требуется определить неизвестные параметры |
0 |
1 |
|
a0 , a1,…, an . Алгоритм решения этой задачи строится следующим образом:
1.Проводится N совместных измерений величин x и y (N > n +1).
2.Составляется система условных уравнений:
y |
i |
= a + a x |
i |
+…+a |
n |
x n + ε |
i |
, i =1,2,…, N |
|
|
0 1 |
|
|
i |
|
||||
гдеε i= yi − y(xi ) |
– как и выше отклонение измеренного значения yi от |
||||||||
истинного y(xi).
3.В предположении, что результаты измерений распределены нормально, взаимнонезависимы и ошибкой измерения xi можно пренебречь, оценки
параметров могут быть получены минимизацией суммы квадратов отклонений (невязок):
S = ∑N ε 2i = ∑N [yi − (a0 + a1x i +…+an x in ]2 → min , i=1 i=1
где параметры ak рассматриваются как неизвестные. Приравнивая к 0 первые производные от S по каждому параметру получаем систему уравнений:
∂ S |
= 0; |
∂ S |
= 0; …; |
∂ S |
= 0 . |
||
∂ a |
∂ a |
∂ a |
n |
||||
|
|
|
|||||
0 |
|
1 |
|
|
|
||
После несложных преобразований система нормальных уравнений записывается в виде:
m∑max a j [X j+k ]= [YX k ] , |
(2.106) |
i=mmin
где mmin – наименьшая степень полинома; mmах – наибольшая степень полинома; k = mmin ,…, mmax ; [·] – скобки Гаусса:
[X j+k ]= ∑N |
xij+k ;[YX k ]= ∑N |
yi xik . |
|
|||||||||||
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|||
4. Оценки параметров получаются решением системы (2.106): |
|
|||||||||||||
a j |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
(2.107) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
€ = j |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где |
|
– главный определитель системы; j – определитель, получаемый |
||||||||||||
из главного заменой j-го столбца столбцом правых частей. |
|
|||||||||||||
5. Оценки дисперсий параметров даются выражением: |
|
|||||||||||||
S 2 |
= |
|
|
|
jj |
S 2 , |
|
|
|
(2.108) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
aj |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||
где |
|
|
|
jj – определитель, получаемый из главного вычеркиванием j-го |
||||||||||
столбца и j-й строки; |
|
|
||||||||||||
S02 = |
|
|
|
1 |
|
|
|
∑N [yi |
−(a0 + a1 xi +…+ an xin ]2 . |
(2.109) |
||||
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
−(n +1) i=1 |
|
|
|
|
|||||||||
6. Оценка дисперсии функции равна: |
|
|||||||||||||
S y2(x) = Sa2€ + x 2 Sa2€ |
|
+…+ x 2n Sa2€ |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
n |
|
||
7. Доверительные интервалы для параметров и функции: |
|
|||||||||||||
|
€ |
= |
t(P,k)Sa€j ; y(x) |
= |
t(P,k)S y( x) , |
|
||||||||
|
a j |
|
|
|
|
|||||||||
где t(P, k) – коэффициент, определяемый из таблиц распределения Стьюдента для доверительной вероятности P и k=n–1 – степеней свободы.