Получается, что дата консолидации должна наступить на 251 день с момента, выбранного нами за точку отсчёта. Для нашего примера это будет означать, что выплатить всю сумму нужно 01.01.10 + 251 = 09.09.2010.

Что характерно, наша дата консолидации никак не зависит от того, какую точку отсчёта мы выберем (можете убедиться в этом сами) — меняться будет только количество дней t, рассчитанное по формуле (4.3.12).

В MS Excel благодаря формату хранения дат, для расчёта даты можно напрямую использовать формулу вида:

В таком случае мы получим в числовом формате 40430, что в формате даты соответствует 09.09.2010.

Замена платежей по формуле простых процентов

Рассмотрим теперь следующую ситуацию: староста оценил, что ему всю сумму нужно будет выплатить 09.09.2010, а он не сможет этого сделать. Тогда группа, готовая пойти на встречу, договаривается о том, что платёж будет совершён позже, в момент времени t', однако понятно, что в этот момент времени староста должен будет уже выплатить не S, а большую сумму – S'.

t=t '−t .

По некоторой процентной ставке, например соответствующей годовому темпу инфляции в стране в 8,3%, мы можем рассчитать, насколько у нас вырастет сумма до S' за

t :

Предположим, что он просит отсрочки на 30 дней. Для нашего примера тогда имеем: t' = 09.10.09. Учитывая то, что ставка годовая, промежуток времени надо перевести в годовой (возьмём для простоты банковский год). Новая сумма тогда составит:

Рассмотрим теперь другую ситуацию. Пусть староста готов заплатить не 105500, а меньшую сумму, 102000, но зато раньше. Как определить новый срок уплаты?

Для нашего случая получим:

90

t=102000−105500 =−3500 =−0,399 . 105500 0,083 8440

Учитывая то, что мы использовали годовую процентную ставку, получившееся число означает долю года. То есть, для того, чтобы получить количество дней и, соответственно, дату уплаты, полученное число надо умножить на 365 (или на 360 — в зависимости от принятой временной базы). Тогда будем иметь: 0,399 365≈146 день. Это означает, что выплата суммы в 102000 должна произойти 09.09.2010−146=16.04.2010 .

Консолидация и замена платежей по формуле сложных процентов

Очевидно, что консолидацию можно осуществить и по другим формулам. Рассмотрим, какими образом можно рассчитать консолидированную сумму по сложной процентной ставке.

Общая сумма платежа S, приведённая к некоторому моменту времени t может быть найдена по формуле сложных процентов:

n=1

Используя уравнение (4.3.16), можно определить срок выплаты. Для начала вынесем константы за знак суммы:

n=1

Линеаризуем теперь уравнение (4.3.18), используя натуральный логарифм. Получим:

Как видим, в этой формуле t уже зависит от величины процентной ставки. В нашем примере при i = 8% получится t = 190 дней, что соответствует 10.07.2010, что, очевидно, раньше, чем срок, рассчитанный по формуле (4.3.12).

91

В MS Excel расчёты времени консолидации по сложным ставкам, к сожалению, не могут быть осуществлены так же, как и с простыми — тут обязательно нужно считать количество дней от какой-то точки отсчёта, так как идёт возведение в степень -tn. Число, возведённое в степень, например -40000 просто не поддаётся подсчёту. Кроме того, из-за того, что в формуле используется процентная ставка, промежуток tn обязательно должен рассчитываться в годах. Поэтому при использовании формулы (4.3.20) нужно предварительно рассчитать доли года от выбранной точки отсчёта до соответствующих дат платежей.

По аналогии с формулами простых процентов, мы можем вывести сумму платежа при изменении срока выплаты. Для этого надо рассмотреть формулу сложных процентов (4.2.19) в виде :

размерности, что и используемая процентная ставка (если ставка годовая, то и срок в годах).

Из той же формулы (4.2.19) можно найти срок выплаты суммы при изменении её величины:

Прологарифмировав левую и правую части формулы (4.3.21), получим:

Консолидация платежей по формулам банковского учёта

Консолидация может быть осуществлена не только по простой или сложной процентной ставке, но ещё и по учётной ставке. Встречается она, конечно, достаточно редко, как следует из идеи формул банковского учёта, может применяться при анализе векселей. Рассмотрим, каким образом можно найти консолидированную сумму S, зная суммы Sn, временные промежутки tn и величину учётной ставки d.

Идея такой консолидации также исходит из принципа равенства выигрышей и проигрышей сторон. Для этого используется формула (4.2.10), в которой вместо первоначальной суммы рассматривается соответствующая сумма платежа:

92

Из формулы (4.3.24) следует, что конечная сумма S может быть найдена по формуле:

n=1

Сумму в (4.3.26) можно представить двумя составляющими — выигрышем и проигрышем от консолидации:

В формуле (4.3.27) в правой части в первой сумме участвуют ранние платежи, а во второй — поздние. Для ранних платежей S – это сумма в случае продления уплаты, а для поздних — опережения уплаты.

Рассмотрим пример. Пусть у студента на руках имеется два векселя со сроками 01.06.10 (200 тыс. руб.) и 01.09.10 (300 тыс. руб.). Эти векселя по согласию с банком нужно заменить на один вексель со сроком 01.07.2010 по годовой учётной ставке d = 10%.

Учитывая то, что дата у нас переносится на срок между двумя датами, нужно использовать формулу:

Подставляя эти значения в формулу (4.3.28), получим:

S=200 1−0,1 0,082 −1 300 1−0,1 0,169 ≈496,56 .

Сумма, как видим, получилась меньше, чем могла бы быть по обоим векселям. Это вызвано тем, что второй вексель будет погашен значительно раньше своего изначального срока.

Разъединение платежей по формулам простых и сложных процентов

Рассмотрим ещё одну ситуацию, встречающуюся в финансовых операциях. Предположим, что ФК «Зенит» взял у банка «Санкт-Петербург» кредит на покупку футболиста сборной России Александра Бухарова. Кредит был выдан в размере 10 млн. долларов под 12% годовых с условием разовой выплаты 01.04.2011. Однако спустя какоето время ФК «Зенит», оценив свои силы и потребности, решил попросить Банк «СанктПетербург» о том, чтобы погашение кредита произошло двумя частями, причём первую часть они готовы погасить в размере 4 млн. долларов. Соответственно перед нами, как перед аналитиками кредитного отдела, стоит задача: рассчитать, на какие даты должны приходиться выплаты. Эта задача является как раз задачей разъединения платежей и может быть решена следующим образом.

93

Обозначим всю сумму кредита через S = 10 млн. долл., первую часть — через S1 = 4 млн. долл., вторую — через S2 = 6 млн. долл. Очевидно, что S2=S −S1 . Соответственно выплаты этих сумм должны быть совершены в моменты времени t1, t2 и t. Рассмотрим для начала, как можно определить t2 используя формулу простых процентов. Согласно формуле (4.3.12) имеем:

S

Предположим, что расчёт мы ведём от 01.01.2011. Тогда t = 90, t1 = 59. Подставляя все имеющиеся значения в формулу (4.3.29), получим:

Если прибавим к нашей отчётной дате 111, получим 22.04.2011. Получается, что Банк может пойти на встречу ФК «Зенит» и предложить такие условия погашения кредита. Если данные условия одну из сторон не устраивают, то можно ещё разъединить и вторую сумму либо перенести её на другой срок, используя формулы (4.3.15) и (4.3.22).

Рассмотрим теперь в общем виде ситуацию с разъединением платежей по сложным процентам. Чтобы осуществлять замену одних платежей на другие, нужно чтобы ценность вторых была равна ценности первых:

Вэтой формуле в отличие от предыдущей участвует процентная ставка, в результате

чего величины новых платежей Sn зависят не столько от временного промежутка, сколько от выбранной ставки.

Впредыдущей задаче мы не использовали процентную ставку — для консолидации по простым процентам она не нужна. Здесь она нужна и, пусть, составляет 12%. Задача заключается в том, что полученные в предыдущей задаче платежи нужно заменить на другие: платёж на 01.06.10 в сумме 4 млн. руб. и на 01.09.10 в оставшейся сумме. Тогда по этим данным можно составить следующее уравнение, взяв за точку отсчёта 01.01.2010:

Решая это уравнение, найдём искомую сумму:

X = 4 0,9818 6 0,9661−4 0,9542 =6,37 0,9273

94

То есть в итоге ФК «Зенит» должен будет за такое существенное перенесение дат платежей по кредиту ещё и доплатить порядка 370 тыс. долл, что вполне логично и обосновано.

Как видим, зная формулы простых и сложных ставок, можно проводить различные финансовые операции по консолидации, переносу, замене, разъединению платежей, обоснованные с научной точки зрения.

95