4.3. Операции с платежами

Финансовая эквивалентность

Ценность денежной суммы меньшей по размеру, но выплаченной раньше, может оказаться выше ценности суммы большей, но выплаченной позже. Вообще суммы, разнесённые по времени, непосредственно не соизмеримы. Для того чтобы оценить эти суммы их нужно привести к одному моменту времени. Пересчёт или приведение разных сумм к одному моменту времени осуществляется на основе процентных или учётных ставок.

Предположим, что получение суммы R1 приурочено к моменту времени t1, а сумма R2 должна быть получена в момент времени t2. Если эти моменты времени совпадают, то задача сравнения этих двух сумм не представляется сложной – суммы можно сравнить без каких бы то ни было преобразований. Если же моменты времени не совпадают, то для сравнения надо эти суммы привести к единому моменту времени, иначе одна из них могла потерять свою ценность по объективным причинам (например, из-за инфляции) или могла потерять свою альтернативную стоимость (её можно было бы положить, например, на депозит и увеличить).

Пусть, для определённости, момент времени t1 наступает раньше, чем t2:

t1 t2 .

Если первая сумма больше второй, то, очевидно, её ценность выше, так как она не только больше по размеру, но и будет получена раньше. Однако, если первая сумма не больше второй, то есть:

R1≤R2 ,

то результат сравнения уже не очевиден.

Для того, чтобы эти суммы можно было сопоставить друг с другом представим себе, что сумма R1 положена в момент времени t1 на счёт в банке под некие проценты. Тогда к моменту времени t2 она превратится в некую сумму S, большую, чем R1. При этом при расчёте S в зависимости от имеющихся условий можно пользоваться либо формулами простых, либо сложных процентов, либо формулами учёта. Сравнение величин R1 и R2, отнесённых к разным моментам времени, сводится к сравнению величин S и R2, приведённых к одному моменту времени.

Если S > R2, то R1 имеет большую ценность, чем R2 при выбранной нами схеме расчёта и процентной ставке.

Если S < R2, то R1 имеет меньшую ценность, чем R2 при выбранной нами схеме расчёта

ипроцентной ставке.

Вслучае, если суммы равны: S = R2, то R1 и R2 имеют одинаковую ценность. Такие суммы называются финансово эквивалентными при данной процентной ставке.

Финансовая эквивалентность может зависеть от процентной ставки и некоторых других обстоятельств (например, условия выплаты процентов и т.п.). Так при одной ставке суммы могут оказаться финансово эквивалентными, а при другой – нет. В любом случае,

85

общий принцип остаётся неизменным: для сравнения денежных величин, относящихся к разным моментам времени нужно привести их к одному и тому же моменту времени, используя модели простых или сложных ставок.

Как вы понимаете, приведение сумм к одному моменту времени может происходить различными способами. Например, если нам нужно привести какие-либо суммы к первоначальному моменту времени, то можно использовать формулы для расчёта сумм по учётным ставкам. Если же суммы надо привести к будущему моменту времени, то имеет смысл воспользоваться формулами для расчёта по простым или сложным процентам.

Рассмотрим несколько примеров.

Пусть стипендия студентов в 2008 года составляла 1000 руб. В 2010 году она уже составляет 1100 руб. Нужно оценить, как соотносятся друг с другом эти две суммы.

По условиям задачи имеем: R1 = 1000 руб., R2 = 1100 руб. Для оценки временных промежутков возьмём t1 = 01.01.2008 и t2 = 01.01.2010.

Для того, чтобы сравнить эти суммы, нужно их привести к одному моменту времени. Воспользуемся в расчётах годовой процентной ставкой по депозиту в Сбербанке. Ранее мы рассматривали такую ставку, она составляет 6%. Для того, чтобы привести суммы к первоначальному моменту времени воспользуемся для примера формулой математического дисконтирования по простым ставкам и приведём суммы к моменту времени t1. Тогда промежуток наращения (между датами t1 и t2) t будет составлять 2 года:

P= S = 1100 ≈982 . 1 it 1 2 0,06

Сравнивая полученные суммы: R1 = 1000 руб. и P = 982 руб., видим, что вторая сумма меньше первой, а значит ценность новой суммы меньше ценности старой. Выходит, что стипендия за это время выросла только номинально. Реальная её величина только уменьшилась.

Похожим образом можно сравнить суммы, используя и другие формулы. Например, если вместо годовой процентной ставки депозита взять темпы инфляции за 2008 и 2009 годы (которые соответственно составили h2008 = 12,6% и h2009 8,7%) и воспользоваться формулой банковского учёта, то сумма R2 преобразуется в следующую сумму:

P=S 1−h2008 1−h2009 =1100 1−0,126 1−0,087 =1100 0,797962 =877,7582

Пример 2:

Староста группы задолжал студентам двухмесячную стипендию. В группе 26 человек, размер стипендии — 1000 руб. На вопросы «где деньги?» и «когда отдашь?» староста обещается погасить задолженность через полгода. Требуется оценить, насколько причитающаяся сумма будет ценна через полгода.

Из условий задачи имеем: R1 = (26 — 1)*1000*2 = 50000 руб.

Процентная ставка в ВТБ 24 для вкладов от 50000 до 100000 руб. на срок в 181 день составляет 3,5%.

86

Приводя нашу сумму по простой процентной ставке к периоду времени через полгода получим:

S=50000 1 0,035 0,5 =50000 1,0175 =50875

Сумма явно больше первоначальной, но в расчёте на одного человека составит 2035 руб., что первоначальную задолженность превышает всего лишь на 35 руб. Если группа считает, что 35 руб. на человека являются достойной компенсацией ожидания своих денег и готова пойти на то, чтобы поделить 875 руб. между всеми студентами, то можно старосту «поставить на счётчик» и требовать с него рассчитанную сумму.

Консолидация платежей по формуле простых процентов

Теперь предположим, что староста задолжал больше — за 4 месяца, его поставили на проценты и с ним договорились о том, что через полгода он выплатит 52000 руб, ещё через квартал — 26500 и ещё через квартал — 27000 руб. Однако, время идёт, ситуация меняется и у старосты появились деньги, он готов погасить всю свою задолженность одной суммой. В такой ситуации требуется определить в какой срок нужно погасить задолженность. Данная задача является задачей консолидации нескольких платежей.

Решение задачи консолидации нескольких платежей — это определение такого размера единого платежа и такого момента его выплаты, которые финансово эквивалентны всей заменяемой совокупности платежей.

Рассмотрим, как можно решить эту задачу для случая простых процентных ставок в общем виде. У нас имеются платежи S1, S2,.. Sm, которые должны быть выплачены соответственно в моменты времени t1 < t2 < … < tm. Все эти выплаты нужно консолидировать и заменить суммой S в момент времени t. Предположим, что величина S у нас равна сумме всех платежей:

n=1

Давайте попробуем оценить, когда может наступить срок консолидации t. Очевидно, что он не может наступить ранее t1, так как на это не пойдёт должник — получается, что ему нужно выплатить ту же сумму, которую он может выплатить позже, но в момент времени раньше первой выплаты. То есть эта сторона от такого переноса даты выплаты ничего не выигрывает. Одновременно с этим t не может наступить позже tm — на это уже не пойдёт другая сторона: в том, чтобы получить всю причитающуюся по праву сумму позже последнего срока выплаты, никакого выигрыша нет. Значит наш искомый момент времени t должен наступить где-то посередине. Все платежи, которые должны быть выплачены ранее t, мы будем называть ранними, все остальные — поздними (см. Рисунок 28).

С точки зрения должника при консолидации он проиграет по поздним платежам (вынужден будет вернуть эту часть денег раньше, чем мог бы), но выиграет по ранним (не должен будет расставаться с деньгами раньше t). С точки зрения кредитора всё будет наоборот: выигрыш будет по поздним платежам, проигрыш по ранним.

Для того, чтобы рассчитать время t нужно уравновесить выигрыши и проигрыши сторон. Причём достаточно сделать это для одной стороны, тогда равновесие будет автоматически определено и для второй.

87

Момент консолидации t

Рисунок 28: Ранние и поздние платежи при консолидации нескольких сумм

Осуществить консолидацию можно по любой из формул простых и сложных ставок, рассмотренных в главе 4.2. Рассмотрим для начала, как будет проводиться консолидация по формуле простой процентной ставке. За промежуток времени от t1 до t на основе суммы S1 будет наращено L1 процентов:

Величина L определяет выигрыш должника, связанный с переносом суммы на более поздний срок. В общем виде для раннего платежа на момент времени tp имеем:

Величина проигрыша Rq для позднего платежа на момент времени tq находится аналогичным образом, только, из-за того, что время их наступления больше t, промежуток наращения будет рассчитываться иначе:

Соответственно величина суммарного проигрыша R по поздним платежам может быть найдена по формуле:

Если один из платежей оказался на границе t, то его можно безболезненно включить в любую сумму, так как при консолидации время для этого платежа не изменится.

Условие финансовой эквивалентности будет выполняться, если выполняется равенство:

Обе части равенства можно сократить на i:

88

после чего можно правую часть перенести влево и поменять местами t и tq, вынеся минус за знак суммы:

Теперь можно легко объединить обе суммы в одну:

По условию (4.3.1) сумма в левой части (4.3.11) равна S. Тогда дата консолидации t будет рассчитываться по формуле:

Видим, что промежуток времени t определяется через средневзвешенную промежутков времени tn, взвешенных по соответствующим суммам платежей. Причём, в расчёте t процентная ставка вообще не участвует.

Стоит заметить, что в формуле (4.3.12) tn и t представляют собой скорее не конкретные даты, а какой-то промежуток времени от некоторой заданной точки отсчёта. Такой точкой в расчётах может выступать любой день года.

Посмотрим, как можно рассчитать момент времени t для нашего примера со старостой-должником. Для того, чтобы рассчитать промежутки времени tk, нам нужно выбрать точку отсчёта. Возьмём за точку отсчёта 01.01.2010. Тогда t1 = 181 день (01.07.10

—01.01.10), t2 = 273 дня (01.10.10 — 01.01.10), t3 = 365 (01.01.11 — 01.01.10). По формуле (4.3.1) имеем:

S=52000 26500 27000=105500 .

Тогда промежуток t будет рассчитан по следующей формуле:

89