Лекция 3

сдвиг и кручение

Учебные вопросы

1.сдВИГ

2.КРУЧЕНИЕ ВАЛОВ КРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ

3. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР КРУТЯЩИХ МОМЕНТОВ

4. НАПРЯЖЕНИЯ И РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ

1. сдвиг

Кроме деформации растяжения или сжатия материал, нагруженного элемента конструкции, может испытывать деформацию сдвига. В сплошном материале деформацию сдвига можно осуществить, например, если подвергнуть кручению тонкостенную трубу (рис. 5.1, а). Прямоуголь­ные до деформации элементы материала стенок трубы превращаются в параллелограммы за счет изменения первоначально прямого угла на малый угол , называ­емый углом сдвига.

Рис. 5.1

На рис. 5.1, б показан элемент, выделенный из стенки трубы. Компоненту касательных напряжений, возника­ющих на горизонтальных площадках в окружном направ­лении, обозначим . Одни напряжения существоватьна гранях элемента не могут, так как они, образуя пару сил с моментом ()dz, где в скобках дано значение касательных сил (),a dz — плечо пары сил, вызвали бы вращение элемента. Поэтому на вертикальных гранях указаны компоненты напряжений , приводящиеся к па­ре ()dх. Найдем соотношение этих напряжений из условия равновесия элемента в виде равенства нулю суммы моментов этих пар:

.

Сократив это выражение на произведение , по­лучим равенство

, (5.1)

называемое законом парности касательных напряжений: на взаимно перпендикулярных площадках касательные напряжения численно равны и направлены так, что стре­мятся вращать элемент в противоположные стороны. Подчеркнем, что в общем случае на каждой площадке могут возникать две компоненты касательных напряже­ний, например и . В законе о парности идет речь о компонентах, перпендикулярных линии пересечения ортогональных площадок.

Таким образом, в плоскости могут быть только два варианта действия касательных напряжений на гранях прямоугольного элемента материала, отличающиеся на­правлением векторов напряжений .

Напряженно-деформированное состояние, характери­зуемое тем, что на гранях элемента возникают только касательные напряжения, называют чистым сдвигом.

Все элементы стенки трубы на рис. 5.1, находятся в одинаковых условиях и испытывают чистый сдвиг.

Закон Гука при сдвиге. Экспериментальное изучение деформации чистого сдвига обычно проводят путем кру­чения трубчатых образцов, подобных показанному на рис. 5.1, а, б, получая из эксперимента зависимость между напряжением и углом сдвига. Такая диаграмма сдвига изображена на рис. 2 для пластичной стали. Для напряжения , называемого пределом пропорциональности при сдвиге, справедлива линейная зависимость, которая носит название закона Гука при сдвиге.

, (5.2)

где G – модуль упругости второго рода; - угол сдвига.

Напряжение являетсяпределом текучести при сдвиге, т. е. касательным напряжением, при котором угол сдвига воз­растает при постоянном напряжении. Для пластичного материала протяженность диаграммы сдвига довольно велика (на рис. 5.2 отмечено пунктиром). Завершается испытание в этом случае срезом материала в плоскости поперечного сечения трубчатого образца.

Рис. 5.2 – Диаграмма сдвига для пластичной стали

В формуле (5.2) G — это модуль упругости материала при сдвиге. Смещение (рис. 5.2) называютабсолютным сдвигом, а отношение

— относительным сдвигом или, как указывалось, углом сдвига. Эта вели­чина безразмерная, поэтому модуль сдвига G выражается в единицах напряжения (Па). Теоретически доказана формула, связывающая для изотропного мате­риала три константы упругости: Е — модуль упругости при растяжении; — коэффициент Пуассона; G — мо­дуль сдвига, а именно:

. (5.3)

Например, для стали Е=200 ГПа, =0,25 и по формуле (5.3) найдем, чтоG=80 ГПа. Зависимость (5.3) подтвер­ждается экспериментально. Характерно, что для многих материалов предел текучести при сдвиге связан с преде­лом текучести при растяжении следующим соотноше­нием:

.