Усло­вие прочности при кручении стержней круглого сечения имеет вид

, (5.19)

где — наибольший крутящий момент в стержне от действия нормативных нагрузок;W_p — полярный момент сопротивления; [τ] — допускаемое касательное напряжение.

Из условия прочности (5.19) получим формулу для подбора сечения

.

Отсюда находим требуемые размеры сечения стержня. Для стержня сплошного круглого сечения с учетом (5.16) имеем

. (5.20)

Для трубчатого стержня с учетом (5.17)

. (5.21)

Стержни, работающие на кручение, должны обладать доста­точной жесткостью. Условие жесткости при кручении имеет вид

, (5.22)

где [φ'] — допускаемый относительный угол закручивания, обычно принимаемый в пределах 0,15 ÷ 2 град/м.

Из условия жесткости (5.22) имеем

.

Отсюда находим требуемые размеры поперечного сечения стержня. Для стержня сплошного круглого сечения с учетом (5.12) имеем

. (5.23)

Для трубчатого стержня с учетом (5.17) получим

. (5.24)

При расчете стержня на прочность и жесткость из двух тре­буемых значений диаметра надо принять большее.

Допускаемое напряжение при кручении :

для хрупких материалов

для пластических материалов

.

3. Построение эпюр крутящих моментов

Пример 1. Построить эпюру крутящих моментов для вала.

1. Изображаем расчетную схему (рис. 5.17, а). Реакцию в заделке определять не обязательно, так как в соответствии с методом сечений можно отбрасывать каждый раз правую часть вала с заделкой. Вал имеет четыре силовых участка:

I участок :

II участок :

III участок :

IV участок :

Рис. 5.17

2. Строим эпюру крутящих моментов (рис. 5.17, б).

Выполняем проверку правильности эпюры. Место расположения скачков, их направление и величина соответствуют внешним прило­женным крутящим моментам.

4. Напряжения и расчет на прочность

Рассчитать стержень круглого поперечного сечения на прочность (рис. 5.18). Расчет на прочность выполняется с использованием усло­вия прочности при кручении. Во-первых, необходимо расчетным путем определить максимальные касательные напряжения , воз­никающие в опасном поперечном сечении. Этот расчет производит­ся по формуле:

. (5.25)

Как видно из формулы предварительно необходимо опре­делить максимальный крутящий момент , возникающий от дей­ствия внешней нагрузки. Крутящий момент характеризует уро­вень внутренних сил, возникающих в стержне и уравновешивающих внешнюю нагрузку. Чем больше значение , тем выше уровеньвнутренних сил, возникающих в стержне. Следовательно, прочность стержня будет определять то поперечное сечение стержня, в котором крутящий момент имеет максимальное значение .Размерность крутящего момента — кГ· см, кГ·м, Н·м, кН·м и т. д.

Рис. 5.18

Обратимся к рис. 5.18 и подробно рассмотрим эпю­ру крутящих моментов , возникающих в рассматри­ваемом стержне постоянно­го поперечного сечения. Как видно из эпюры на­ибольшие по величине кру­тящие моменты возникают в поперечных сечениях участ­ка II

кН·м.

Следовательно, опасное сечение определяющее прочность всего стержня, будет сечение участка II. Затем, после опреде­ления максимального значения крутящего момента, необходимо определить характеристику поперечного сечения, определяющую прочность круглого стержня при кручении, которая называется полярным моментом сопротивления и обозначается .

Рассмотрена часть задачи, а именно только определение мак­симальных касательных напряжений , которые определяют про­чность стержня, но не дают ответа на вопрос, выдержит ли рассмат­риваемый стержень внешнюю нагрузку без разрушения или нет. Для решения поставленной задачи еще необходимо знать допуска­емые напряжения , в сравнении с которыми максимальных напря­жений и выносится решение о прочности или непрочностирассчитываемого вала. Определяется это с использованием условия прочности при кручении (5.25)

.

Таким образом, путем сравнения максимальных напряжений, возникающих в опасном сечении стержня круглого поперечного сечения с допускаемыми и принимается решение о прочностистержня.

С использованием условия прочности возможно решение двух задач.

1. Первая задача носит название проверочной.

2. Вторая задача называется проектировочной.

Иногда решается так же задача определения предельно допусти­мой нагрузки на элементы конструкции. Рассмотрим решение пер­вых двух на конкретных примерах.

Проверочная задача. При постановке и решении проверочной задачи ищется ответ на вопрос, выдержит конкретный стержень круглого поперечного сечения, конкретного диаметра D, выполнен­ный из конкретного материала приложенную к нему внешнюю нагрузку без разрушения или нет. Проиллюстрируем изложенное на примерах.

Дано: =3,5кН·м =3,5∙10³ Н·м; D= 0,02 м; =100МПа =100∙10⁶ Па.

Вопрос: Условие прочности выполняется или нет?

Решение.

1. Определим полярный момент сопротивления:

.

2. Определим максимальные касательные напряжения:

3. Воспользуемся условием прочности:

.

Проведенные вычисления показывают, что условие прочности не выполняется, а именно, максимальные касательные напряжения в опасном сечении Па, значительно больше допуска­емых напряжений , следовательно рас­считываемый стержень (вал) разрушится.

Ответ: Условие прочности не выполняется.

Проектировочная задача. Рассмотрим другую задачу, возника­ющую при кручении стержня круглого поперечного сечения.

Необходимо расчетным путем определить D — диаметр попе­речного сечения стержня, воспринимающего заданную внешнюю нагрузку без разрушения. Так же как и проверочная задача, проек­тировочная решается с использованием известного условия прочно­сти (5.25).

Сначала подставим в условие прочности вместо его выраже­ние, т. е.

,

в результате чего получим:

Решив полученное неравенство относительно D, мы фактически решим, в общем виде, поставленную задачу:

Совершенно очевидно, что полученная формула позволяет вычи­слить D — наименьший диаметр поперечного сечения стержня, удо­влетворяющий условию прочности.

Определить наименьший диаметр вала D. Дано: = 3,5 кНм =3,5·10³ Нм; = 100МПа =100·10⁶ Па.

Решение. Поставленная задача решается в одно действие, а именно:

Следовательно, стержень постоянного поперечного сечения диа­метром D = 5,63·10^-2 м выдержит приложенную к нему заданную внешнюю нагрузку без разрушения.

Вал трубчатого сечения. Однако стержень круглого сплошного поперечного сечения не является идеальным при работе на кручение. Из рис. 3, б видно, что касательные напряжения в поперечном сечении изменяются от нуля, в центре тяжести, до , на границекруга. Следовательно, основная доля внутренних сил приходится на ту часть сечения, которая наиболее удалена от центра тяжести, а центральная часть сечения практически не работает, и материал израсходован нерационально.

Рассмотрим круглое поперечное сечение, выполненное в виде полой трубы (рис. 5.19). Полярный момент инерции для трубы вычисляется по формуле:

Рис. 5.19

Полярный момент сопротивления полой трубы определяется формулой

.

Условие прочности для стержня трубчатого поперечного сечения:

.

Решив полученное неравенство относительно D, получим

Расчет на жесткость при круче­нии. Рассмотрим расчет стержня круглого поперечного сечения на же­сткость (рис. 5.19) на следующем примере.

Определить максимальный угол закручивания стержня круглого поперечного сечения.

Дано: =7 кНм =7·10³ Нм; D = 0,04 м; G = 8·10⁴ МПа =8·10¹⁰ Па; l =7м.

Решение. Строим эпюру крутящих моментов стержня отдействия заданной внешней нагрузки (рис. 5.20, б).

Рис. 5.20

Определяем максимальный угол закручивания стержня

,

где

.

ЗАДАЧА

Стальной брус круглого поперечного сечения нагружен системой внешних моментов (рис.11.а), а именно: ,,.

Размеры отдельных частей бруса: ,,,.

Механические свойства материала бруса:

, ,.

Требуется:

1. Построить эпюру крутящих моментов.

2. Определить диаметр бруса из расчёта на прочность и жёсткость.

3. Построить эпюру максимальных касательных напряжений.

4. Построить эпюры абсолютных и относительных углов поворота поперечных сечений.

Решение:

1. Из условия равновесия находим реактивный момент в защемлении:или.

Методом сечений определяем крутящие моменты в произвольном сечении каждого из участков бруса (рис.11.б).

Участок I: ;.

Участок II: ;.

Участок III: ;

Крутящий момент на участке III проще получить, рассматривая правую часть бруса: .

Участок IV: ;.

По полученным данным построена эпюра крутящих моментов (рис12.в), из которой видно, что участок I бруса является наиболее опасным, так как в поперечных сечениях этого участка крутящий момент имеет максимальное значение: .

2. Определяем диаметр бруса круглого сечения:

А) из условия прочности ,

тогда

Б) из условия жёсткости ,

где ,

тогда .

Окончательно принимаем большее из полученных значений с округлением в большую сторону, .

При этом, ,

.

3. Вычисляем величины наибольших касательных напряжений, возникающих в поперечных сечениях отдельных участков бруса:

,

,

.

Знак касательного напряжения не имеет физического смысла и здесь указан лишь для достижения соответствия эпюр касательных напряжений и крутящих моментов (рис.11.г).

4. Углы поворота граничных сечений участков относительно неподвижного сечения О определяем по формуле .

В пределах между границами участков величины углов поворота изменяются по линейному закону.

Жёсткость поперечного сечения рассчитываемого бруса

.

Угол поворота сечения А относительно сечения О

.

Угол поворота сечения В относительно сечения А

.

Угол поворота сечения В относительно сечения О

.

Аналогично, ,

, ,.

Эпюра дана на рис.11.д.

Определяем относительные углы закручивания на отдельных участках бруса:

, ,

, .

Эпюра построена на рис.11.е.

Рис.11.