Тема 4. Финансовая математика

4.1.Основные термины и принципы финансовой математики

Внашем мире получение дохода является одной из важнейших целей любой осознанной деятельности. Люди работают для того, чтобы получать доходы, организации создают продукцию и предоставляют услуги для того, чтобы получать доходы – всё в мире крутится вокруг доходов. Совершенно естественно, что в таких условиях есть множество различных инструментов по использованию и приумножению полученных денег. Деньги могут быть направлены на выплату дивидендов собственникам предприятия или владельцам акций, могут пойти на инвестиции. Первая часть обеспечивает текущие потребности собственников, вторая же служит для больших доходов и обеспечивает отложенные потребности.

Вообще как в случае юридического, так и физического лица, любой доход распределяется на потребление и сбережение. Деньгами, которые направлены на «сбережение» можно распорядиться по-разному. Например, их можно просто хранить в чулке, под подушкой, но тогда из-за инфляции и различных экономических факторов реальная стоимость денег будет всё время уменьшаться и от такого вида сбережения потребитель только проиграет. Другой вариант – положить деньги на счёт в банке. Тогда, при прочих равных условиях, реальная стоимость денег будет возрастать. Ещё один вариант – это вложение в ценные бумаги. Это более рискованный вариант, но и потенциально более выигрышный, нежели в случае с перечислением на счёт в банке. Ещё более рискованный и более потенциально выигрышный вариант – вложение в какой-либо проект с целью получить доход в будущем, когда проект уже будет осуществлён.

В общем, вариантов вложений средств много и зачастую выбрать наилучший из возможных бывает крайне непросто. Но в любом случае все варианты вложения денег характеризуются тремя обстоятельствами, которые лежат в основе многих моделей финансовой математики:

1.Предполагается отказ от текущего в пользу будущего. Это означает, что момент вложения денежных средств и момент получения их назад разнесены во времени. Причём промежуток времени может измеряться как в днях или месяцах (например, в случае, если деньги даются в долг), так и в годах или даже десятилетиях (например, в случае с вложением средств в пенсионный фонд). В любом случае такой промежуток времени существует.

2.Отказ от текущего потребления во имя будущего должен окупаться. Другими словами подразумевается, что результаты вложений окажутся больше, чем сами вложения. Величина, на которую они отличаются как раз, и будет оценкой приносимой жертвы. Таким образом, поговорка «время – деньги» принимает достаточно конкретный смысл. Разные варианты вложений могут дать разную денежную оценку этому промежутку времени.

3.Всякое вложение связано с риском. Иногда этот риск весьма мал, иногда он достаточно велик. Например, в случае с вложением в государственные ценные бумаги риск не возврата крайне мал. Только серьёзный экономический или политический кризис может быть причиной не выплаты суммы денег. А в случае с акциями негосударственных предприятий риск значительно больше, так как цена

58

акций очень сильно зависит даже не от состояния компании, а от ожиданий участников торгов.

4.Риски должны окупаться. Чем больше риск, тем больше должен быть потенциальный выигрыш. Акции негосударственных компаний, например, являются более рискованным методом вложения денег, но и потенциальный выигрыш от вложения денег в них значительно больше, чем в случае с государственными ценными бумагами.

Таким образом, расставаясь с некой частью своего дохода, предприятие или человек с определённой степенью уверенности рассчитывает вернуть вложенные средства через определённый промежуток времени вместе с определённым вознаграждением, зависящим от времени и рискованности вложения.

В финансовых расчётах вознаграждение, получаемое в связи с вложением денежных средств, называется «процентами».

Проценты – это прибыль от предоставления капитала в долг в какой-либо форме.

Отношение этой прибыли к величине вложенных средств называется процентной ставкой. То есть процентная ставка – это отношение процентов, полученных за единичный период, к величине вложенных средств.

Вфинансовых расчётах обычно используются две формы выражения процентной ставки. Одну и ту же величину, например, пятипроцентную, можно представить как 5% либо как 0,05. В финансовых вычислениях чаще используют вторую – форму десятичной дроби, однако первая форму в ряде случаев является более наглядной.

Вразличных операциях, так или иначе связанных с процентами, выделяют два вида операций:

1.Наращение процентов – увеличение суммы процентов, подлежащих выплате;

2.Начисление процентов – перечисление наращенных процентов на счёт.

Наращение и начисление процентов происходит, как правило, с некоторой периодичностью (раз в месяц, раз в квартал, раз в год). В таких случаях говорят о дискретных процентах. Иногда проценты начисляют каждый день, а в некоторых случаях даже чаще. Тогда говорят о непрерывных процентах.

В большинстве случаев на практике используется экономический анализ с использованием дискретных процентов.

Интервал времени, в течение которого увеличивается сумма процентов, называется

периодом наращения.

Процентная ставка используется не только как измеритель доходности непосредственного денежного вложения, но и как показатель эффективности различных финансовых, производственно-хозяйственных и коммерческих операций. Её применяют и тогда, когда непосредственного вложения денег в явном виде в операции не присутствует.

Существуют различные методы начисления и выплаты процентов. Обычно проценты присоединяются к сумме вклада и выплачиваются по окончании периода начисления. В

59

некоторых случаях проценты выплачиваются регулярно до окончания срока вклада (например, вклад на год, а выплата процентов осуществляется каждый месяц).

Иногда проценты начисляются и выплачиваются в начале операции. То есть вкладчик получает проценты не в конце срока, а в самом начале. По сути можно сказать, что он вкладывает не полную сумму, а только часть её, а к концу получает всю. В таких случаях процентную ставку называют учётной ставкой. Примером такого вклада может выступать дисконтный вексель.

Ставка процентов, по которой осуществляется расчёт, может применяться к одной и той же сумме в течение всего срока. В таком случае она называется «простой процентной ставкой». Однако возможна и другая ситуация, когда ставка применяется не только к первоначальной сумме, но и к сумме процентов, то есть, когда проценты присоединяются к сумме вклада (происходит капитализация). В таком случае говорят о «сложной процентной ставке».

Обычно ставка в течение действия договора не меняется, а меняется только сумма, на которую начисляются проценты. Однако в условиях договора могут использоваться и т.н. плавающие процентные ставки.

Плавающая процентная ставка – процентная ставка по кредитам, размер которой периодически пересматривается через согласованные промежутки времени.

Чем раньше вкладчик вернёт свои средства или хотя бы часть их, тем раньше он сможет воспользоваться ими, тем ему выгодней при прочих равных условиях. Отказываясь от своих средств на более длительное время, вкладчик приносит большую жертву. Заинтересовать вкладчика в более длительном сроке, нежели в коротком, сложнее. Поэтому процентная ставка при вкладах на длительный срок больше. При выплате процентов в конце ставка бывает выше, чем при периодических выплатах.

Например, плавающие процентные ставки обычно используются в синдицированных кредитах (среднесрочный кредит, предоставляемый международным консорциумом банков).

В финансовой математике обычно принимают следующие обозначения:

P – начальная величина денежной суммы,

S – конечная величина денежной суммы,

i – процентная ставка,

d – учётная ставка,

t – срок вклада или ссуды.

В каждой конкретной формуле ставка (i или d) и время t предполагаются соразмерными. Это означает, что, если ставка годовая, то и время t измеряется в годах, а если ставка месячная, то и t должно измеряться в месяцах.

Отношения между S и P могут быть обозначены следующим образом. Величина S называется наращенной величиной суммы P. В свою очередь величина P также может называться современной (или приведённой) величиной суммы S.

60

Операция определения наращенной суммы S по начальной сумме P называют компаудингом. Обратную операцию, определение приведённой величины P по наращенной S, называют дисконтированием.

Вслучае с компаудингом разница S – P = I называется процентами или процентными деньгами.

Вслучае с дисконтированием разница S – P = D называется дисконтом.

будущая сумма превышает первоначальную величину вклада.

Стоит отметить, что наряду с этими обозначениями в финансовой литературе встречаются и другие обозначения:

•величину денежной суммы P также обозначают двухбуквенным «PV» (Present Value),

•конечную величину денежной суммы S обозначают «FV» (Future Value).

61