Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

МЭИ(ТУ) Физика

.pdf

Скачиваний:

1235

Добавлен:

31.03.2015

Размер:

40.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180181 / 201181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 > Следующая >>>

sin

nрr

2sin 2

nрr

h2 р2 n

9.8.

, W

; 1)

, ρ(r)=

;

max

2рr

2mr 2

max

2) Pправ = Pлев = 0,5; 3)

, r 2

−

(r − r

r 2

−

2р2 n2

)

р2 n2

9.9.

sin kr

= ±kr

hk 2

= 2mW , W = 14 эВ, один уровень.

2mU

r 2

9.10.

∂ 2 R(r)

2 ∂R + 2m

W + kZe2

− l(l +1)h2 R = 0 ,

∂r

r ∂r

2mr

∂

∂Y

∂ 2Y

+ l(l +1)Y

sinθ

= 0 ,

sinθ ∂θ

∂θ

sin 2 θ ∂ϕ 2

′′

′

l(l +1)

ε +

−

R(ρ)= 0 ; здесь ρ, ε в атомных единицах, r → ∞;

(ρ)+

R (ρ)+

R(r)≈

1 e

−κr , κ 2 =

2mW

, r → 0, R ≈ rl .

9.11.

W = −

2e4

2h2

h2 a2

8mU

9.12.

= −

− (1+ 2n)+

, n = 0,1, ...

2h2

9.13.

= −A 1−

n +

2mA

9.14. W определяется из уравнения

−W +

−W +U1 −U2

U1 +

−

, n = 0, 1, ...; W0 = –3,30 эВ;

8ma2

2ma2

n +

W1 = –3,21 эВ; W2 = –3,18 эВ.

9.15. a) x < 0, ψ(x)= a e

ik x

− k

−ikx

2mW

2m(W −U0 )

; x

+ a

, k1

> 0,

1 k1 + k2

ψ(x)= a

eik2 x ; 1)

ρ(x)=

, где x измеряется в 10–10 м;

−

sin2 1,15x

+ k

1 k

W − W −U0

4 W (W −U0 )

2) ρ(x) = 1,78; 3) R =

; 4) D =

;

W + W −U

( W + W −U0 )

W −

W −U

4 W (W −U0 )

2mW

j =

1−

W + W −U

; 6)

j =

; б)

( W + W −U0 )

k 2

= 2m(U0 −W ); x < 0,

ψ(x)= a eik1x + a

k1 −ik2

e−ik1x ; x > 0,

ψ(x)= a

2k1

e−k2 x ;

+ ik

1 k

+ ik

1 k

1 cos1,24x − 2 sin1,24x

, здесь x измеряется в 10–10 м;

ρ(x)= 2 1+

2) ρ(x)= 2,66e−0,44 x , здесь x измеряется в 10–10 м; 3) R = 1; 4) D = 0; 5) j = 0; 6) j = 0.

9.16. R =

2W +U0 −

2 W (W +U0 )

; W << U0,

; W >>

U0, R

2W +U0 +

2 W (W +U0 )

R =1− 4

− k

sh р

, k 2 = 2mW

2 = 2m(W −U0 ).

9.17. R =

k1 + k2

sh р

9.18. k 2

= 2mW ,

k 2

2m(W −U0 )

Z = (k + k

−(k

− k

)2 e2ik2l ; x < 0,

ψ(x)= a1eik1x + aZ1 e−ik1x (k12 − k22 )(1−e2ik2l ); x [0, l],

ψ(x)= aZ1 eik2 x 2k1 (k1 + k2 )+ aZ1 eik2 x 2k1 (k2 − k1 )e2ik2l ; x > l, ψ (x)= aZ1 eik1x 4k1k2ei(k2 −k1 )l ;

Z1 = (k1 + k2 )4 + (k1 − k2 )4 − 2(k12 + k22 )cos 2k2l ; 1)

( )

k12 − k22

{[(

(

]

(

)

+ k1 − k2

cos 2k2l − 2k1 x −

ρ x = a1 1+ 2

k1 + k2

cos2k1 x − k1 + k2

−(k1 − k2 )2 cos(2k2l + 2k1 x)+ (k12 − k22 )(1−cos2k2l)});

ρ(x) = a12 4k12 [(k1 + k2 )2 + (k1 − k2 )2 + 2(k22 − k12 )cos 2k2 (x −l)]; 3) ρ(x) = a12 16k12 k22

;

4(k 2

− k

2 )2 sin 2

16k

2 k

2mW

2m(W −U

)

R =

; 5)

D =

2 ; б) k 2

, k 2 =

Z = (k −ik

)2 −(k +ik

)2 e2ik2l

, b =

(k 2

+ k 2 )(1− e2k2l ), a

(k −ik

b = −

+ ik

2k2l , a

= −

4ik

e−i(k1 +ik2 )l ; x < 0, ψ (x)= a eik1x + b e−ik1x ; x

[0, l], ψ(x)= a

ek2 x

+ b e−k2 x ; x > l, ψ(x)= a

eik1x ;

= (1+ β )2 sh2 kl + 4β ,

β =

k22

; 1)

k 2


ρ(0)=	4	[(1+ β )sh2 k2l + β]a1		2 =1,003a12 ; 2) ρ(l)=			4β	a12 = 0,997a12 ; 3) ρ(x)= ρ(l);
ρ(0)=		[(1+ β )sh2 k2l + β]a1		2 =1,003a12 ; 2) ρ(l)=				a12 = 0,997a12 ; 3) ρ(x)= ρ(l);
	Z1						Z1
4) R =	(1+ β )2 sh 2 k2l		= 0,003 ; 5)		D =	4β = 0,997 .
4) R =			= 0,003 ; 5)		D =	4β = 0,997 .
		Z1				Z1

Раздел 10

10.1. А. 1) W

= −

µZ 2e

; 2) r

= n2

h2ε

; 3)

W = −W , W = 2W

; 4)

n2 8h2ε0

рµZe

W (r )=

µ2 Z 3e5

; 5) B

(0)=

рµ0

µ2 Z 3e7

; 6) U

3 µZ 2e3

; 7)

hcn2

8h5ε 3

h4ε

4 8h2ε 2

– коротковолновая граница,

λ2 =

λ1

– длинноволновая граница, n

– кван-

1−

товое число нижнего состояния; 8) v = 34 McW1 , где M – масса атома,

∆λ = Mv − 4 hc . h 3 W1

h2ε

Б. 1) I =

; 2) r

; 3)

; 4)

рµZe2

рез

λ2

1−

n +1

В. 1) r =

3 a

; 2) r

2 = 3a2

; 3) (r − r )2 =

3 a

; 4)

; 5)

Ze2

;

2рε0 a12

; 8) ϕ(r)=

−

Z 2e2

6) E =

; 7)

−e

; 9) W

= −

;

2рε

4πε

4рε

0 1

10) W

Z 2e

; 11)

2e2

8рε

4πε

кв

§ 22. Взаимодействие света с веществом

Задачи этого параграфа охватывают прежде всего явления дисперсии и поляризации. При изучении первого из этих явлений следует помнить, что применяемые формулы – и законы дисперсии, и выражение для групповой скорости u = dω/dk – справедливы только в узком диапазон длин волн. Более того, само понятие групповой скорости – скорости распространения огибающей волнового пакета – имеет смысл до тех пор, пока деформация волнового пакета незначительна. Это означает, что волновой пакет содержит гармонические волны в диапазоне длин волн от λ до λ + ∆λ, где ∆λ << λ, и что дисперсия мала.

Задачи, связанные с явлением поляризации (поляризация при отражении и прохождении света через одноосные кристаллы), имеют феноменологический характер. Ни формулы Френеля, ни построения волновых поверхностей в кристалле не рассматриваются.

Кроме того, в задачах данного параграфа затрагиваются вопросы, которые обычно относят к квантовой оптике, – давление света и фотоэффект.

Задача 22.1

Вычислить групповую скорость: 1) поперечных упругих вели в стержне, фазовая скорость которых v = а/λ (а = const); 2) электромагнитных волн в разреженной плазме,

фазовая скорость которых v =	c		(А = const).
фазовая скорость которых v =	1+	A	(А = const).
		ω2

АНАЛИЗ

Если среда обладает дисперсией, т. е. фазовая скорость волн зависит от циклической частоты ω (или от длины волны λ), то независимо от природы волн групповая скорость отлична от фазовой и может быть рассчитана как

u =	dω	,	(1)
	dk

где k = 2π/λ – волновое число. Если задан закон дисперсии, т. е. v = v(λ) или v = v(ω), то выражение для групповой скорости можно найти, используя соотношения между фазовой скоростью, длиной волны и циклической частотой:

ω =	2рv	, k =	ω .	(2)
	λ
			v

РЕШЕНИЕ

1. Закон дисперсии задан как v = v(λ). Преобразуем правую часть выражения (1):

dω	= dω	1	.
dk
	dλ dk dλ

Используя выражения для волнового числа и первую из формул (2) и производя

дифференцирование, получаем
u = v −λ					dv	.		(3)
					dλ

Подставим в выражение (3) заданный закон дисперсии:
u = v −λ	d	a				2a	= 2v .	(4)
				=		λ

	dλ		λ

Полученный результат показывает, что в данном случае групповая скорость, т. е. скорость распространения волнового возмущения (волнового пакета), больше фазовой скорости.

Под фазовой скоростью v в выражении (4) можно понимать среднюю фазовую ско-

рость волн рассматриваемого интервала или её минимальное значение.

2. Закон дисперсии задан как v = v(ω). Преобразуем выражение (1):

dω

(5)

dv dk

dv dω dk dv

Используя вторую из формул (2), произведем дифференцирование:

v(dω dv)−ω

Подставим полученное выражение производной dk/dv в формулу (5):

u =

(6)

v-ω(dv dω)

По заданному закону дисперсии

dω

(7)

dω

3 2

ω2

Подставляя выражение (7) и закон дисперсии в (6), получаем

u = c 1+

(8)

ω2

Групповая скорость равна скорости распространения энергии, переносимой данным волновым пакетом, и не может превышать скорости света c в вакууме. Следовательно, выражение (8) имеет смысл, если в выражении (7) коэффициент А < 0, т. е. фазовая скорость распространения волн v > с.

Задача 22.2

Показатели преломления сероуглерода для света с длинами волн λ1 = 5090 Å,

λ2 = 5340 Å, λ3 = 5740 Å соответственно равны n1 = 1,647; n2 = 1,640; n3 = 1,630. Найти фазовую скорость для λ2 и групповую скорость вблизи неё.

АНАЛИЗ

Фазовые скорости для каждой заданной длины волны могут быть найдены по формуле

vi =	c	.	(1)

	ni

Для нахождения угловой скорости надо знать закон дисперсии. Общее выражение


групповой скорости можно преобразовать:
u = dω	= dω		1		.

dk	dλ dk dλ
Учитывая, что k = 2π/λ, ω = 2πv/λ, получаем
u = v −λ		dv		.	(2)

		dλ

По условию, групповая скорость должна быть выражена через показатель прелом-

ления n и длину волны λ. Используя выражение (1), преобразуем формулу (2):
u =	c		λ dn
		1+	.	(3)

	n		n dλ

Производная dn/dλ может быть найдена, если известна функция n(λ), либо графически по тангенсу угла наклона касательной к графику n(λ) в данной точке.

Для построения графика недостаточно трёх точек с заданными значениями n и λ. Поэтому задача может быть решена только приближенно. Если отношения

n2		− n1	и	n3	− n2		(4)
		−λ		λ
λ	2				−λ	2
		1		3

равны или незначительно отличаются друг от друга, то функцию n(λ) можно считать в диапазоне от λ1 до λ3 близкой к линейной. Тогда производная dn/dλ для λ = λ2, равна от-

= −2,65 10−6 Å–1.

ношению (4) либо среднему из двух значений. При значительном расхождении отношений (4) оценить групповую скорость по данным задачи невозможно.

РЕШЕНИЕ

Фазовая скорость для λ = λ2 [см. (1)]

v2 =1,83 108 мс .

Рассчитаем отношения (4):

n2 − n1 = −2,80 10−6 Å–1;

λ2 −λ1

n3 − n2 = −2,50 10−6 Å–1.

λ3 −λ2

Как видно, расхождение составляет около 11% и в качестве dn/dλ при λ = λ2 можно взять среднее:

dn dλ

Знак «–» показывает, что с ростом λ показатель преломления уменьшается, а фазовая скорость увеличивается (область нормальной дисперсии). Подставляя найденное значение dn/dλ, а также n = n2 и λ = λ2 в выражение (3), получим

u =1,7 108 мс .

Рассчитанная групповая скорость равна скорости волнового пакета, содержащего длины воли в интервале от λ2 до λ2 + ∆λ, где ∆λ << λ2.

Задача 22.3

Электромагнитная волна с циклической частотой ω распространяется в разреженной плазме. Концентрация свободных электронов в плазме N0. Найти зависимость фазовой скорости электромагнитных волн в плазме от их частоты, если взаимодействием волны с ионами можно пренебречь.

АНАЛИЗ
Согласно теории Максвелла, фазовая скорость электромагнитной волны в среде
v =	1	,	(1)
	ε0εµ0 µ

где c =	1	– скорость света в вакууме, ε и µ – соответственно электрическая и маг-
	ε0 µ0

нитная проницаемости среды. Если считать относительную магнитную проницаемость разреженной плазмы близкой к единице, то задача сводится к нахождению зависимости ε(ω). Диэлектрическая проницаемость характеризует свойства среды по отношению к электрическому полю. Формально электрические свойства среды могут быть охарактеризованы вектором поляризации P, равным отношению дипольного момента некоторого объёма диэлектрика к этому объёму. Если вектор поляризации прямо пропорционален напряженности Е электрического поля, то коэффициент пропорциональности α определяет диэлектрическую проницаемость среды:

P = ε0αE	(2)
(коэффициент ε0 введён только для того, чтобы коэффициент α был безразмерным).
Диэлектрическая проницаемость, как известно из курса электростатики,
ε =1+α .	(3)

Таким образом, для того чтобы найти характер зависимости ε(ω), необходимо выяснить, что происходит в плазме при прохождении электромагнитных волн. Разреженная плазма представляет собой в первом приближении совокупность свободных электронов и положительных ионов. При отсутствии полей плазму можно считать электрически нейтральной, концентрации положительных ионов и электронов одинаковы в любом достаточно малом, но макроскопическом объёме.

Рассмотрим действие электрического поля электромагнитной волны на свободные электроны в предположении, что взаимодействием электронов между собой и с ионами можно пренебречь. Действие магнитного поля волны можно не учитывать. Из соотно-

шения между амплитудными значениями напряжённостей полей ( ε0ε E0 = µ0 µH0 )

легко показать, что отношение максимальных сил fмагн/fэл = ue/c, где ue – скорость движения электронов.

Если электроны совершают колебательное движение, то создаваемое ими поле, аналогично полю колеблющихся диполей и вектор поляризации можно найти как

P = p0 N0 ,

где p0 – некоторый средний изменяющийся со временем электрический момент диполя, соответствующий движению одного электрона; N0 – концентрация электронов.

Для того чтобы найти характер зависимости p0(ω), рассмотрим движение электрона под действием электрического поля падающей волны.

Если пренебречь изменением фазы волны на расстояниях, малых по сравнению с длиной падающей волны, то напряжённость электрического поля, воздействующего на электрон,

E = E0 cosωt .

Согласно второму закону Ньютона,
m	due	= eE		cosωt ,	(5)
	dt
e			0

где me и е – масса и заряд электрона. Знаки векторов в уравнении (5) опущены, так как предположено, что падающая волна плоскополяризована и вектор E колеблется только в одном направлении, например, вдоль некоторой оси x. Такое же направление сохранит и вектор ускорения a = due/dt.

Умножим обе части уравнения (5) на dt/me и произведём интегрирование в пределах от t = 0 (ue = 0), т. е. от начала действия электромагнитной волны, до произвольного момента t (скорость электрона примет некоторое значение ue):

ue t

0me ∫0 cosωtdt .

Врезультате интегрирования получим выражение для скорости электрона:eE

ue = dx = eEω0 sinωt . dt me

Пусть в момент t = 0 координата электрона х0, тогда

∫x dx =				eE0		∫t	sinωtdt .
				m ω
x				e	0
0
Интегрируя это выражение, находим закон движения электрона:
x = x	0	+	eE0		−		eE0		cosωt ,	(6)
			m ω2
							m	ω2
			e				e

где еЕ0/(mеω2) – некоторое постоянное смещение электронов при прохождении электромагнитной волны. Очевидно, что появление такого смещения обозначает нарушение электрической нейтральности плазмы, но так как это смещение не зависит от времени, то оно не изменит фазовой скорости волны. Слагаемое x0 следует отбросить, так как вследствие нейтральности плазмы до воздействия электромагнитной волны при усред-

<<< < Предыдущая 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180181 / 201181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
19.09.20194.71 Mб29МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИИ ИНСТИТУТ.doc
#
31.03.20153.11 Mб34моя курсовая по ОВЭД.doc
#
31.03.2015317.95 Кб127МП.Введение в курс ОИ.Last.doc
#
31.03.2015939.52 Кб17МПЭис.doc
#
01.04.202569.04 Кб0МУ КР ОснБ.docx
#
31.03.201540.05 Mб1235МЭИ(ТУ) Физика.pdf
#
01.03.2025306.69 Кб1МЭЭУ 20 вар ТР.doc
#
31.03.201587.04 Кб330Н.Бердяев. Воля к жизни и воля к культуре.doc
#
16.04.201911.74 Mб126На изготовку.doc
#
01.07.2025481.62 Кб2на проверку.docx
#
01.03.20251.47 Mб4НАДЕЖНОСТЬ ЭРГОНОМИКА И КАЧЕСТВО АСОИУ.doc