МЭИ(ТУ) Физика

имеет точного решения. Числовой метод дает значения угла φ дифракции, близкие к условию (3), поэтому, как уже указывалось, это условие является приближенным.

РЕШЕНИЕ

В точку x = 0 – главный фокус линзы – приходят лучи, идущие под углом φ = 0, т. е. в этой точке находится центральный максимум. Координата любой точки на экране, в которую приходят лучи с углом дифракции φ,

x = f tgϕ . (5)

Для минимумов 1-го и 2-го порядков угол φ удовлетворяет условию (2) (m1 = 1 и m2 = 2)

sinϕ1 = λb = 0,015 и sinϕ2 = 2bλ = 0,030 .

Полученные значения синусов настолько малы, что можно считать sin φ = tg φ. Тогда по формуле (5) координаты минимумов 1-го и 2-го порядков

x1 = ±6 мм и x2 = ±12 мм.

Положение максимума 1-го порядка также может быть определено из равенств (5)

и (3) при k = 1:

sinϕ1′ = 32λb ; x1′ = ±9 мм.

Для того чтобы определить относительную интенсивность первого максимума, используем выражение (4). Подставив условие (3) при k = 1 в (1), получим Θ1 = 3π, откуда

[см. (4)]

График распределения интенсивности показан на рис. 18.

Задача 21.10

На дифракционную решётку падает плоская волна, фронт которой параллелен плоскости решётки. Общее число штрихов решётки N = 1000, период d = 5,1·10–3 мм. Падающий свет содержит две длины волны: λ1 = 4600 Å и λ2 = 4602 Å. Начиная с какого порядка спектра эти линии будут разрешены? Определить угол дифракции найденного порядка спектра. Какой наибольший порядок спектра можно наблюдать с помощью такой решётки? Наблюдение дифракционной картины ведётся в параллельных лучах с помощью соответствующей оптической системы.

АНАЛИЗ

Для того чтобы наблюдать дифракционную картину в параллельных лучах, следует расположить экран наблюдения бесконечно далеко от решётки либо за решёткой поместить линзу с фокусным расстоянием f, а экран наблюдения –

в её фокальной плоскости (рис. 19а). В этом случае в каждую точку экрана будут приходить вторичные волны, образующие за решёткой плоский фронт, повёрнутый по отношению к фронту падающей волны на определённый угол φ дифракции. Углы дифракции, для которых волны, излучаемые всеми щелями, будут усиливать друг друга, соответствуют главным максимумам. Благодаря периодичности решётки достаточно найти условия, при которых волны, излучаемые двумя соседними щелями, усиливают друг друга. Это происходит тогда, когда разность хода между осевыми лучами волн, излучёнными соответ-

ственными виртуальными источниками соседних щелей Рис. 19 (рис. 19б), равна целому числу длин волн:

Период решётки d, как видно из рисунка, равен суммарной ширине щели и непрозрачного промежутка.

Так как каждая щель даёт наиболее интенсивное излучение для углов дифракции φ < arcsin (λ/b) (см. задачу 21.9), где b – ширина щели, в оптических дифракционных рёшетках ширина а непрозрачного промежутка несоразмерна b и всегда a > b.

Условие минимумов при дифракции на решётке имеет вид

где k ≠ N, 2N и т. д.; N – общее число штрихов. Это условие легко может быть получено векторным методом сложения гармонических колебаний, излучаемых каждой щелью и соответствует такой разности фаз Θ = (2π/λ)∆, при которой «изображающие» векторы образуют замкнутый многоугольник (см. задачу 21.6).

Как видно из сравнения условий (1) и (2) между двумя главными максимумами располагается N – 1 минимумов и столько же побочных максимумов. Каждый главный максимум, следовательно, имеет некоторую конечную ширину – расстояние между ближайшими минимумами, располагающимися справа и слева от него. Так, например, значения k = ±1 в условии (2) соответствуют минимумам, ограничивающим центральный максимум [m = 0 в условии (1)]; k = N – 1 и k = N + 1 соответствуют минимумам, ограничивающим первый главный максимум (m = 1).

Максимумы двух близких по длине волн могут перекрываться. Принято считать, что две длины волны разрешены, если расстояние между их максимумами одного порядка не меньше, чем расстояние от максимума данного порядка одной длины волны до ближайшего к ней минимума той же длины волны. Данное условие разрешения с учётом выражений (1) и (2) позволяет ответить на поставленные вопросы.

РЕШЕНИЕ

Волны с длинами λ1 и λ2 можно считать разрешёнными, если максимум m-го порядка для волны λ2 совпадает с минимумом для волны λ1, ближайшим к её максимуму того же m-го порядка. Для волны λ2 положение m-го максимума [см. (1)]

sinϕm = mdλ2 .

Минимумы для λ1, ближайшие к её максимуму того же m-го порядка [см. (2)],

Так как λ2 > λ1, надо, чтобы угол φm совпадал с углом φ´´. Тогда mλ2 = (mN + 1)λ1/N или m(λ2 – λ1) = λ1/N, откуда искомый порядок спектра

Это означает, что разрешение указанных волн начнется только с главных максимумов 3-го порядка.

Угол дифракции спектра найденного порядка может быть найден из выражения (1) для m = 3:

ϕ3 = arcsin 3dλ2 =16o .

Наибольший порядок спектра, который можно наблюдать, определяется условием φmax < π/2. Следовательно,

sinϕmax = mmaxd λ <1 и mmax < λd =11,3 .

Это значит, что можно наблюдать 11 порядков спектра, 11 главных максимумов.

Задача 21.11

В прозрачной стеклянной пластинке (показатель преломления n) сделаны углубления так, как показано на рис. 20. Ширина уступов и впадин одинакова и равна a. На верхнюю поверхность пластины нормально к ней падает плоская световая монохроматическая волна с длиной волны λ. Наблюдение дифракционной картины ведётся в параллельных лучах. При каком минимальном значении

глубины h в центре дифракционной картины будет минимум? Под каким углом φ1 виден при этом главный максимум 1-го порядка?

АНАЛИЗ

В задаче оговорено, что наблюдение дифракционной картины ведётся в параллельных лучах. Это значит, что оптическая схема включает линзу L, (рис. 20а), расположенную за стеклянной пластинкой. В фокальной плоско-

Рис. 20

сти линзы находится экран наблюдения Э. Тогда свет, прошедший через стеклянную пластинку без изменения направления, собирается лин-

зой в её главном фокусе – в центре дифракционной картины. Световые пучки, прошедшие без отклонения через все выступы, приходят к плоскости MN, параллельной фронту падающей волны, в одинаковой фазе, так же как и световые пучки, прошедшие через

все углубления. Однако между теми и другими пучками имеется разность фаз, обусловленная тем, что первые из них проходят расстояние h в стекле, вторые – в воздухе (такая система называется фазовой дифракционной решёткой). Оптическая разность хода между этими пучками определяется выражением

Вцентре дифракционной картины будет минимум, если оптическая разность хода

(1)кратна нечётному числу длин полуволн.

Главные фраунгоферовы максимумы наблюдаются при таких углах, когда световые пучки как от выступов, так и от углублений усиливают друг друга.

Идеальная периодичность фазовой решётки, казалось бы, позволяет свести расчёт дифракционной картины к интерференции двух световых пучков, проходящих через соседние выступ и углубление. Однако колебания виртуальных источников, расположенных в плоскости MN в выступах, отстают по фазе от колебаний источников, распо-

Поэтому соответственные лучи, например, 1 и 2, исходящие от виртуальных источников A и B (рис. 20б) и лучи 2 и 3, исходящие от виртуальных источников B и С, хотя и испускаются из соответственных точек соседних углубления и выступа, но отличаются друг от друга по фазе на разные значения.

Виртуальный источник A опережает по фазе источник B на Θ [см. (2)]. Кроме того, луч 1 опережает луч 2 на разность хода

Колебания виртуального источника B отстают по фазе от колебаний источника C на Θ. Кроме того, луч 2 опережает луч 3 по-прежнему на разность хода ∆1. Поэтому разность фаз между лучами 2 и 3

Условия максимумов, как обычно, сводятся к тому, что найденная разность фаз

где k, m – целые числа.

Если числа k, m можно подобрать так, что оба уравнения (6) дадут один и тот же угол дифракции φ, то максимум, наблюдаемый под этим углом, будет наиболее ярким. Эта возможность, очевидно, зависит от разности фаз Θ, т. е. от глубины h.

РЕШЕНИЕ

В центре дифракционной картины наблюдается минимум, если разность хода ∆1 [см. (1)] равна нечётному числу длин полуволн:

h(n −1)= (2m −1)λ2 .

Минимальная глубина h соответствует m = λ, т. е.

Для того чтобы найти углы дифракции, соответствующие главным максимумам, подставим выражения (1)-(3) в (4) и (5). Тогда уравнения (6) примут следующий вид:

2λр[asinϕ + h(n −1)]= 2kр,

2λр[asinϕ − h(n −1)]= 2mр.

Легко видеть, что при найденном значении h [см. (7)] оба уравнения дают одинаковые углы дифракции при k = m + 1. Первый главный максимум получится при k = 1, m = 0:

sinϕ1 = 2λa .

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ СТУДЕНТОВ

по использованию ЭБЗ при изучении разделов «Оптика», «Атомная физика» курса физики

Электронная база знаний (ЭБЗ) содержит материалы по разделам «Оптика» и «Атомная физика» курса физики (III семестр) и предназначена для самостоятельной работы студентов.

При использовании ЭБЗ студент может самостоятельно планировать процесс собственного обучения. Самостоятельно отбирать материал для изучения и усваивать его, самостоятельно овладевать умениями, связанными с изучаемыми разделами, и самостоятельно же контролировать себя. Конечно, в процессе обучения при работе с ЭБЗ студенту нужно следовать указаниям лектора или преподавателя, ведущего семинарские занятия в группе, если ЭБЗ используется преподавателем для организации учебного процесса. Последовательность изучения материала должна соответствовать плану семинарских занятий на данном потоке.

ЭБЗ полезна также для пользователей, изучающих физику самостоятельно, и для студентов, по какой-либо причине пропустивших занятия. Примерный план самостоятельного изучения одной из тем курса приведён ниже.

В планировании обучения с использованием ЭБЗ помощь оказывают программы курса, читаемого разными лекторами кафедры физики им. В. А. Фабриканта. Они включены в базу. Советуем студентам при отборе учебного материала по ЭБЗ руководствоваться программой соответствующего потока.

ЭБЗ содержит обширный методический материал, касающийся всех аспектов изучения данных разделов физики в общем курсе: разделы справочника (Б. М. Яворский, А. А. Детлаф) и другие справочные материалы, конспект лекций, видеоролики о демонстрационных экспериментах, задания для типового расчёта ЭТФ, сборник задач, методические указания по решению задач, описания лабораторных работ, вопросы к защитам лабораторных работ и коллоквиумам. Все разделы ЭБЗ соединены между собой гиперссылками в единую систему.

Трудности, возникающие при освоении любого из разделов ЭБЗ, можно решить при помощи контекстных ссылок. Если в тексте какого-либо раздела встречается неизвестный термин, нажатием левой кнопки мыши нужно вызвать краткое определение данного понятия из глоссария. Если необходима более подробная информация, через глоссарий можно выйти на соответствующий пункт справочника.

Справочник содержит информацию по всем физическим объектам, явлениям, законам, элементам теории, встречающимся в разделах «Оптика» и «Атомная физика» курса физики технического вуза, а также материал, выходящий за рамки учебных программ по данному курсу. Он интересен и как справочный материал, и как учебное пособие. Советуем студентам читать справочник при проработке лекционного материала, подготовке к практическим занятиям и лабораторным работам.

Также имеются следующие справочные разделы: «Глоссарий» – краткие определения и формулировки законов; «Константы» – физические постоянные; «Приставки» – десятичные приставки к единицам физических величин.

В ЭБЗ приведены главы из двух пособий, посвященных методике решения задач различной степени трудности. «Сборник задач по курсу «Физика» с методическими указаниями и решениями типовых задач. Оптика и атомная физика» под ред. И. В. Гвоздовского (в базе обозначается как «Задачник») рекомендуем использовать для самостоятельной тренировки студентов в решении задач. «Задачник Новодворской» содержит подробно рассмотренные примеры решения задач.

В ЭБЗ имеются описания лабораторных работ III семестра. Их удобно использовать при подготовке к выполнению лабораторных работ, а также при составлении отчётов. Присутствуют также вопросы к защите лабораторных работ и к коллоквиумам. Для подготовки к этим мероприятиям рекомендуем использовать другие материалы ЭБЗ: методические указания по решению задач, сборник задач, конспект лекций, справочник, тесты. (Примерный план работы с ЭБЗ в связи с выполнением одной из лабораторных работ см. ниже.)

При работе с конспектом лекций или пособиями по методике решения задач для обучения применению физических законов (выводу формул, решению задач) целесообразно после прочтения материала попытаться воспроизвести его самостоятельно, не пользуясь пособием. Например, ознакомившись с выводом условия интерференционных максимумов, нужно повторить этот вывод на листе бумаги, не пользуясь никакими пособиями. При возникновении затруднений сравнить с конспектом лекций или др. пособием.

Примерный план использования ЭБЗ при подготовке, выполнении и защите лабораторной работы № 2 "

«Измерение радиуса кривизны линзы и длины волны света методом колец Ньютона»

Перед выполнением работы:

•Прочитать описание л/р № 2, теоретическую и практическую часть. Оформить в тетради протокол лабораторной работы.

•Прочитать § V.1.1, V.1.3 справочника.

•Прочитать конспект лекций, гл. III, § 1 «Интерференция света».

•Ответить на контрольные вопросы к конспекту лекций, гл. III, § 1.

При оформлении работы:

•Руководствуясь описанием л/р № 2, провести требуемые расчёты и закончить оформление протокола лабораторной работы.

При подготовке к защите работы:

•Ещё раз прочитать описание л/р № 2.

•Повторить § 1 гл. III конспекта лекций, ответить на контрольные вопросы к § 1

гл. III.

•Прочитать вводную часть § 21 гл. V «Методики решения задач по физике» (задачник Новодворской) и рассмотреть решение задач 4, 5 этого параграфа.

•Рассмотреть пример 2 гл. 2 и решить задачи №№ 2.11-2.30 из задачника. Сверить ответы.

•Ответить на вопросы к защите лабораторной работы № 2.

Примерный план использования ЭБЗ при изучении темы «Дисперсия света»

•Прочитать § 3 гл. III конспекта лекций. При необходимости повторить другие разделы конспекта лекций и справочника.

•Просмотреть демонстрацию «Разложение белого света в спектр с помощью призмы».

•Ответить на контрольные вопросы для повторения к§ 3 гл. III конспекта лекций.

•Прочитать вводную часть § 22 гл. V «Методики решения задач по физике» (задачник Новодворской), рассмотреть решение задач №№ 22.1-3 этого параграфа.

•Рассмотреть примеры раздела 5 сборника задач. Решить задачи этого раздела. Сверить ответы.

•Прочитать § V.3.1, V.3.3-5 справочника.

ПРИМЕЧАНИЕ

Чтение большего количества литературы и решение большего количества задач помогает лучше усвоить материал и лучше овладеть требуемыми навыками. Тем не менее при недостатке времени учащийся может самостоятельно отбирать для собственного обучения материал, имеющийся в ЭБЗ. Различные разделы ЭБЗ могут дублировать друг друга.