МЭИ(ТУ) Физика

В этом уравнении, для того чтобы коэффициент при φ(u) был постоянным, должно выполняться условие

Учитывая, что λ определяется последним уравнением, найдём величину κ2 из усло-

вий

Например, для электрона в яме с параметрами U0 = 10 эВ и a = 0,1 нм энергия нижнего (n = 0) уровня равна 8 эВ (и это единственный уровень).

Пример 9.2

Стационарный поток частиц, имеющих массу m и энергию W, создан в одномерном потенциальном поле U(x): U(x) = U0 при x [0, l] и U(x) = 0 при x < 0, x > l (потенци-

альный барьер).

Показать, что в области x < 0 плотность потока вероятности складывается из плотности потоков вероятности падающих и отражённых частиц и вычислить её отношение к плотности падающего потока.

РЕШЕНИЕ

Плотность потока вероятности j частицы, описываемой волновой функцией ψ,

Волновая функция частицы в заданном потоке частиц есть решение стационарного уравнения Шрёдингера, которое в области x < 0 имеет вид

− 2h2 d 2ψ2 =Wψ . m dx

Решение должно быть непрерывной функцией с непрерывной производной, что определяет граничные условия.

Вводя обозначение 2mWh2 = k 2 , представим уравнение Шрёдингера в виде

d 2ψ2 + k 2ψ = 0 .

dx

Решение этого уравнения будем искать в виде

ψ = aeikx +be−ikx ,

где первое слагаемое соответствует падающим частицам, второе – отражённым от барьера (даже при W > U0 в отличие от классической механики).

Плотность потока

j = 2hmk (aa −bb ).

Найдем теперь плотность потока вероятности частиц в падающем потоке jпад = 2hmk aa

и в отраженном потоке jотр = − 2hmk bb , откуда j(x < 0) = jпад + jотр.

енты а и b в явном виде. Для этого используем условия непрерывности и гладкости волновой функции. Обозначим величины, относящиеся к области x < 0, индексом 1, к

области x [0, l] –индексом 2, и к области х > l – индексом 3. Тогда

Уравнение Шредингера в области x [0, l]

где κ2 > 0, k2 = iκ и коэффициенты в волновой функции следует выражать через κ2 и κ.

Задачи

9.1. Микрочастица массой m движется в пространстве, где имеется одномерная прямоугольная потенциальная яма шириной l с бесконечно высокими стенками: U(x) = 0, x = [0, l]; U(x) = ∞, x < 0, x > l. Найти нормированные собственные волновые функции и собственные значения энергии частицы. Построить диаграмму уровней

энергии электрона в потенциальной яме шириной l = 100 пм. Найти и вычислить следующие величины: 1) плотность вероятности ρ(x) нахождения частицы в произвольном состоянии; построить в масштабе график ρn(x) для заданного n; 2) вероятность найти частицу с наименьшей энергией в каждой трети ямы; 3) вероятность найти частицу в произвольном состоянии в каждой половине ямы; 4) среднее значение координаты х и проекции импульса рх в произвольном состоянии; 5) среднеквадратичное отклонение

координаты ∆x = x2 − x 2 в произвольном состоянии; д) среднеквадратичное от-

9.2. Микрочастица массой m находится в двумерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками: U(x, y) = 0, x = [0, l1], y = [0, l2]; U(x, y) = ∞, x < 0, x > l1, y < 0, y > l2. Найти нормированные собственные волновые функции и собственные значения энергии частицы. Построить диаграмму уровней энергии электрона в яме с размерами: а) l1 = 100 пм, l2 = 400 пм; б) l1 = l2 = l = 100 пм. Найти и вычислить следующие величины: максимальную плотность вероятности нахождения частицы в основном состоянии; вероятность нахождения микрочастицы в основном состоянии в

Указание. При решении стационарного уравнения Шрёдингера для функции двух переменных воспользоваться методом разделения переменных, представив волновую функцию ψ(х, у) в виде ψ(х, у) = f(х)φ(у).

9.3. Микрочастица массой m находится в трехмерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Длины рёбер ямы равны l1, l2, l3. Найти нормированные собственные волновые функции и собственные значения энергии частицы. Построить диаграмму уровней энергии электрона в яме с размерами:

а) l1 = 100 нм, l2 = 200 нм, l3 = 400 нм; б) l1 = l2 = l3 = 100 нм.

9.4. Микрочастица с массой m и энергией Е находится в одномерной потенциаль-

Найти уравнение, определяющее возможные значения энергии частицы. Решая графически это уравнение, найти и вычислить первый дискретный уровень энергии электрона при l = 100 пм и заданных значениях U0.

9.5. Микрочастица массой m находится в одномерном потенциальном поле

U(x) = 0, x = [0, l]; U(x) = U0, x > l; U(x) = ∞, x < 0. Энергия частицы W = 12U0 . Найти нормированную собственную волновую функцию микрочастицы в этом состоянии. По-

U (x)= mω2 x2 (гармонический линейный осциллятор с классической собственной час- 2

тотой ω). Найти собственные значения энергии микрочастицы.

Указание. В уравнении Шрёдингера сделать замену переменной ξ = α x и подста-

чения параметра λ равны 2n + 1, n = 0, 1.

9.7. Найти собственные значения энергии двумерного осциллятора (микрочастицы

массой m в потенциальном поле U (x, y) = mω2 2 (x2 + y2 ) с классической собственной

частотой ω).

Указание. При решении уравнения Шрёдингера для ψ(x, y) воспользоваться мето-

дом разделения переменных и учесть, что в уравнении u + (λ2 + z2 )u = 0 собственные

значения параметра λ равны 2n + 1, n = 0, 1, ...

9.8. Частица массой m находится в сферически симметричном потенциальном поле U(r), где U(r) = 0, r < r0; U(r) = ∞,r > r0, r0 – радиус ямы. Найти нормированные собственные волновые функции, зависящие только от r ( то есть волновые функции s-состояний), и собственные значения энергии частицы. 1) Построить диаграмму уровней распределения плотности вероятности ρ(x) нахождения электрона в основном состоянии. 2) Найти вероятности пребывания электрона в основном состоянии в правой и левой половине ямы. 3) Найти средние значения r , r 2 и средний квадрат отклоне-

ния (r − r )2 .

Указание. При решении уравнения Шрёдингера провести разделение переменных и воспользоваться подстановкой ψ (r)= 1r ϕ(r).

9.9. Микрочастица массой m находится в сферически симметричной потенциальной яме U(r), где U(r) = 0, r < r0; U(r) = ∞,r > r0, r0 – радиус ямы. Найти уравнение, определяющее возможные значения энергии частицы в состояниях с волновой функцией, зависящей только от r (в s-состояниях). Найти собственные значения энергии для электрона в яме с параметрами r0 = 100 Нм, U0 = 20 эВ.

Указание. В уравнении Шрёдингера разделить переменные, в уравнении для ради-

альной функции сделать подстановку ψ (r) = 1r ϕ(r) , уравнение для нахождения собст-

венных значений энергии решить графически.

9.10.Полагая, что электрон атома находится в сферически симметричном поле ядра

сзарядом Z, получить уравнение Шрёдингера для радиальной R(r) и угловой Y(θ, φ) части волновой функции. Уравнение R(r) для связанных состояний электрона в этом поле на больших и малых расстояниях от ядра.

9.11. В водородоподобном атоме электрон находится в потенциальном поле

электрона от ядра. Найти собственные значения энергии в s-состояниях (т. е. в состояниях, где волновая функция зависит только от r). Построить диаграмму уровней энергии.

Указание. Уравнение Шрёдингера для радиальной части волновой функции под-

ческое уравнение), которое имеет решение, удовлетворяющее требованиям к волновой функции, при 2βn = γ, n = 1, 2, …

9.12. Найти собственные значения энергии микрочастицы массой m в потенциаль-

шение которого у(х) обладает свойствами, требуемыми от волновой функции, при ус-

ловии k − s = −n , n = 0, 1, ...

9.13. Ядра двухатомной молекулы взаимодействуют с энергией U(x) = A(e-2ax – 2e-ax). Построить график U(x) и диаграмму уровней энергии ядер моле-

Найти уровни энергии дискретного спектра. Построить график U(x) и диаграмму уровней энергии для протона при a = 10–10 м; U1 = 7,5 эВ; U2 = 10 эВ. Определить, при каком условии частица имеет дискретный спектр.

Указание. Для решения уравнения Шрёдингера сделать замену переменной z = e–x/a

и подстановку ψ = (1− z)−ε z µϕ(z) и выбором параметров ε и µ свести уравнение Шрёдингера к уравнению вида x(1 − x) y′′ + [γ − (α + β +1)x]y′ −αβy = 0 , которое имеет дис-

кретные собственные значения при α = –n, n = 0, 1, ...

9.15. Стационарный поток частиц, имеющих массу m и энергию W, создан в одномерном потенциальном поле U(x) = 0, x < 0, U(x) = U0, x > 0 (потенциальная ступенька), причём а) W > U0 и б) W < U0. Действительная амплитуда падающей волны равна а1. Найти волновую функцию во всех точках пространства. Найти для электрона при

W = U0(1 ± 1/3), U0 = 2 эВ следующие величины: 1) плотность вероятности ρ(х) нахождения частицы в области x < 0, построить в масштабе график ρ(х); 2) плотность вероятности ρ(х) нахождения частицы в области x > 0, построить в масштабе график ρ(х); 3) коэффициент отражения потенциальной ступеньки; 4) коэффициент прозрачности потенциальной ступеньки; 5) плотность потока вероятности в области перед ступенькой; 6) плотность потока вероятности в области за ступенькой.

9.16. Частица массой m и энергией W движется слева направо в потенциальном поле U(x) = 0, x < 0, U(x) = –U0, x > 0, U0 > 0. Найти коэффициент отражения ступеньки в случаях: а) W >> U0 и б) W << U0.

при х → 0.

9.17. Найти коэффициент отражения частицы массой m с энергией W от потенци-

которого при γ ≠ 0, –1, ... является гипергеометрическая функция F(α, β, γ, x).

9.18. В одномерном потенциальном поле U(x) = U0, U0 = 2 эВ при x [0, l] и

U(x) = 0 при x [0, l] (потенциальный барьер) создан стационарный поток частиц,

имеющих массу m и энергию W, причём а) W > U0, l = 10 нм, W = 34 U0 и б) W < U0, l = 10 пм, W = 23 U0 . Действительная амплитуда падающей волны равна а1. Найти вол-

новую функцию во всех точках пространства. Найти для электрона следующие величины: 1) плотность вероятности пребывания частицы на границе барьера x = 0; 2) плотность вероятности пребывания частицы на границе барьера x = l; 3) плотность вероятности ρ(х) нахождения частицы в области за барьером (x > l); построить в масштабе график ρ(х); 4) коэффициент отражения потенциального барьера; 5) коэффициент прозрачности потенциального барьера.

10. АТОМ ВОДОРОДА

Атом водорода состоит из одного протона в ядре и одного электрона, движущегося в кулоновском поле ядра. Водородоподобные ионы – это ионы, имеющие ядро с зарядом Ze и один электрон.

Основу квантовой теории атома Бора составляют следующие два постулата:

1.Существуют стационарные состояния атома, находясь в которых, он не излучает электромагнитных волн. Стационарные состояния обладают определёнными значениями энергии, в общем случае дискретными. Из одного состояния в другое атом может переходить путём квантового (скачкообразного) перехода.

2.При квантовом переходе атома из стационарного состояния с энергией Wn в состояние с энергией Wm выполняется правило частот

hν =Wn −Wm .

Согласно модельной теории атома Бора движение электронов в стационарных условиях требует квантования момента импульса электрона на круговой орбите:

µvr = nh,

где µ – приведённая масса водородоподобного иона, v – скорость электрона на орбите

Совокупность частот (или длин волн) образует спектр (спектр испускания или спектр поглощения). Для атома водорода с неподвижным ядром справедливо соотношение

ную Ридберга нужно заменить на R/(1 + me/M).

Линии в спектре атома водорода группируются в спектральные серии. В каждой спектральной серии n = const, а m = n + 1, n = 2, … В частности, n = 1, m = 2, 3, … соответствуют ультрафиолетовой серии Лаймана; n = 2, m = 3, 4, … – серия Бальмера, ли-

нии которой лежат в видимой области. В инфракрасной области лежат линии серии Пашена (n = 3, m = 4, 5, …), серии Брэкета (n = 4, m = 5, 6, …) и др.

Примеры решения задач

Пример 10.1

На какой боровской орбите атома водорода скорость электрона равна 734 км/с?

РЕШЕНИЕ

Согласно I постулату Бора mevr = nћ и согласно II закону Ньютона для частицы массой me на круговой орбите

где справа – кулоновская сила взаимодействия ядра и электрона. Исключая из этих уравнений r, получаем

Проверим размерность: [n]= Дж с2 =1 . Итак, это третья боровская орбита. кг м2

Пример 10.2

Найти среднее квантовомеханическое обратное расстояние 1r в основном со-

стоянии водородоподобного атома.

РЕШЕНИЕ

Среднее квантовомеханическое значение физической величины f в состоянии со сферически симметричной волновой функцией ψ(r) равно

∞

f = ∫ψ f€ψ 4рr 2 dr .

0

В основном состоянии водородоподобного атома волновая функция имеет вид