МЭИ(ТУ) Физика

кристаллической решётки); Fторм – тормозящая сила, описывающая влияние соударений электрона с колеблющимися узлами кристаллической решётки и с другими неоднородностями (дислокациями). Положим, что Fторм ~ αv.

Решим полученное дифференциальное уравнение

Время релаксации

τ = m* .

α

Тогда

принимать участие остальные электроны. Можно сделать следующие выводы:

1.В создании электрического тока в конечном счёте принимают участие все электроны, поэтому

где n – общая концентрация электронов.

2.Электрическое поле действует на все электроны, но движение начинается с электронов, находящихся у уровня Ферми, затем на вакантные места переходит следующая группа электронов и т. д. Следовательно, темп хода всех процессов задают электроны, находящиеся вблизи уровня Ферми, в частности, они определяют дрейфовую скорость (скорость колонны войск определяет первая шеренга) и поэтому в формуле (1) L = LФ – транспортная длина свободного пробега электронов, находящихся у уровня Ферми, u = uФ – тепловая скорость электронов у уровня Ферми. В результате

сверхпроводнике, сохраняется неизменным в течении нескольких лет.

= E ,

Так как j ρ то напряжённость электрического поля внутри проводника E = 0.

ρ = 0,

Кроме того, магнитное поле выталкивается из сверхпроводника. Внутри сверхпровод-

ника B = 0, т. е. сверхпроводник является идеальным диамагнетиком, магнитная восприимчивость которого κ = –1.

Теория сверхпроводимости

В 1950 г. было открыто явление изотопического эффекта. Оказалось, что между Tкр и массовым числом атомов A существует связь

Tкр A = C ,

где C – постоянная величина для данного элемента. Это означает, что сверхпроводимость обусловлена взаимодействием электронов с кристаллической решёткой. Казалось бы, сопротивление определяется столкновениями электронов с узлами периодической решётки. Однако при строгой периодичности решётки электроны пройдут через систему узлов, не испытав сопротивления. Это чисто квантовый (волновой) эффект. Рассеяние происходит на дефектах решётки и, прежде всего, на тепловых колебаниях узлов решётки (на фононах). В процессе рассеяния электроны вблизи уровня Ферми должны перейти на вышележащий уровень. Если окажется, что такие уровни недоступны (например, имеется энергетическая щель выше уровня Ферми), то электрон будет прохо-

Наличие подобной энергетической щели доказано в опытах по поглощению электромагнитного излучения, проходящего сквозь сверхпроводник.

µА

Сверхпроводящая

плёнка

Пока энергия фотона hν ≠ ∆εщели, поглощения излучения не происходит. Если же hν = ∆εщели, происходит интенсивное поглощение излучения, при этом ток приёмника падает до нуля. Зная частоту излучения ν, можно найти ∆εщели. Из опыта ширина щели

∆εщели ≈ (10-3 ÷ 10-2) эВ.

Какова же природа этой щели? Согласно Л. Куперу, свободные электроны, двигаясь сквозь решётку и взаимодействую с ионами, слегка оттягивают последние из положения равновесия, создавая вокруг себя положительную «шубу». Поэтому в кристалле помимо кулоновского отталкивания электронов может возникнуть притяжение, обусловленное наличием ионов кристаллической решётки. На определённом расстоянии (много большем периода решётки) эта сила притяжения может быть больше силы отталкивания. В результате образуется пара связанных электронов, называемая куперовской парой. При образовании такой пары энергия электронов уменьшается (действительно, чтобы разорвать эту пару, придётся совершить работу) и в результате электроны, имевшие энергию Ферми, будут иметь энергию меньше, чем εF. Это и приводит к появлению энергетической щели. Куперовскую пару составляют электроны, имеющие противоположные импульсы (они как бы вальсируют) и противоположные спины!

Итак, взаимодействие электронов между собой через кристаллическую решётку приводит к появлению куперовских пар. Энергия электронов, составляющих пару, уменьшается, вследствие этого образуется щель вблизи уровня Ферми. В эту «игру» вступают только электроны, лежащие вблизи уровня Ферми (это 1/104 всех электронов)

и имеющие противоположные спины. Диаметр пары (10-6 ÷ 10-7) м, тогда как период решётки около 10-10 м.

Так как электроны, входящие в состав куперовской пары, имеют противоположные спины, то сама пара является бозоном – её спин s = 0. На бозоны не распространяется запрет Паули. Следовательно, куперовские пары как бозоны могут находиться в одном квантовом состоянии (в одной фазовой ячейке может находиться любое число изобразительных точек), образуя связанный коллектив – бозонную жидкость. Если, действуя электрическим полем, мы заставим эту сверхтекучую жидкость двигаться (а это так и есть), то такое состояние будет сохраняться сколь угодно долго, так как, если происходит разрыв пары, то электрон с одной стороны не может преодолеть щель, а с другой

стороны нет вакантного места на энергетических полках, которое он мог бы занять. В результате он вынужден искать себе нового партнёра для образования пары и целостность системы восстанавливается.

Сверхпроводимость может быть нарушена при T > Tкр, когда электроны из разрушенных пар могут преодолеть энергетическую щель и перейти на свободные уровни выше неё. Критическая температура связана с шириной щели соотношением

∆εщели = 3,5kTкр .

§ 7. Зонная теория проводимости твёрдых тел

Зонная теория проводимости является следующим этапом в развитии теории свободных электронов.

Теория свободных электронов пренебрегает взаимодействием электронов с узлами кристаллической решётки. Поэтому энергия электронов меняется квазинепрерывно. Эта теория объясняет многие явления, но бессильна ответить даже на такой вопрос, как природа различия между проводниками или изоляторами.

В действительности валентные электроны в кристалле движутся не вполне свободно – на них действует периодическое поле решётки. Это приводит к тому, что спектр возможных значений энергии электронов деформируется – образуются зоны разрешён-

I. Расщепление энергетических уровней валентных электронов при формировании кристаллической решётки

Рассмотрим изолированный атом лития и кристаллическую решётку лития.

При образовании кристаллической решётки между электронами (не только валентными) и узлами решётки имеет место взаимодействие, так как высота и ширина потенциального барьера уменьшается. Кроме того, сказывается влияние туннельного эффекта. В результате валентные электроны (уровень 2s) получают возможность практически беспрепятственно переходить от одного атома к другому. Вследствие резкого уменьшения толщины и высоты потенциального барьера свободу перемещения (благодаря туннельному эффекту) получают и электроны с других уровней атома. Образуется единая квантовомеханическая система, в которой энергетические уровни чуть сдвигаются друг относительно друга (в противном случае нарушается принцип Паули – в одном состоянии окажутся N электронов, N – число атомов). В итоге образуются энергетиче-

атома в кристалле соответствует зона разрешённых энер-

εg

разрешённых энергий разделены областями запрещён-

ных энергий εg. (В квантовой механике эта задача решается в общем виде с помощью функций Блоха.) На внутренних оболочках взаимное влияние атомов меньше, поэтому по мере приближения к ядру расщепление уровней даёт всё более и более узкие зоны.

Ширина запрещённых и разрешённых зон порядка нескольких электрон-вольт. Так как в 1 м3 вещества порядка N ~ 1028 электронов, то расстояние между уровнями внутри разрешённой зоны порядка 10-28 эВ.

II. Заполняемость зон. Влияние внешнего воздействия на электроны

Нижние зоны заполняются полностью. Валентная зона либо заполняется полностью, либо частично (зона проводимости).

Влияние внешнего воздействия

а) Валентная зона заполнена полностью.

Если на электрон действует сила, то с классической точки зрения он меняет направление и модуль скорости. Однако с квантовой точки зрения это может не произойти, так как изменение состояния электрона означает переход на другой энергетический уровень. Это возможно, если этот уровень свободен. Но таких уровней нет – валентная зона заполнена полностью.

Пусть образец находится в электрическом поле. Энергия, которую может получить электрон на средней длине транспортного пробега L, достигает значения порядка

но создать электрический ток.

в) Межзонные переходы

При обычных разностях потенциалов энергия, приобретённая электроном на длине свободного пробе-

га, не достаточна для переброса через запрещённую

hν

зону шириной εg. Однако, если образец облучить светом, так чтобы hν > εg, то зона проводимости на время облучения заполняется электронами. Теперь

с помощью электрического поля можно создать ток.

III. Деление твёрдых тел на проводники, диэлектрики и полупроводники с точки зрения зонной теории

С классической точки чем больше электронов в атоме, тем больше проводимость. Однако с квантовой точки зрения это совсем не так. Проводимость определяется степенью заполнения верхней зоны и шириной запрещённых энергетических зон.