МЭИ(ТУ) Физика

Период кристаллической решётки d ≈ 1 Å. Следовательно, можно наблюдать дифракционную картину при дифракции электронов на узлах кристаллической решётки.

Соответствующие опыты были поставлены в 1927 г. Дэвиссоном и Джермером. Поток электронов из электронной пушки падал на поверхность заземлённого кристалла

никеля под углом θ = 65° и отражался от него. Электроны, θ рассеянные монокристаллом, регистрировались приёмником.

Из теории дифракции волн известно, что при выпол-

нении условия nλ = 2d sin θ будет наблюдаться максимум отражённой волны. Опытная зависимость числа N отражённых под углом θ электронов от ускоряющей разности потенциалов (т. е. от энергии электрона) имеет вид

N

Если взять рентгеновское излучение той же длины волны, то и для него при тех же геометрических условиях наблюдается максимум для отражённой волны.

Штерн и его сотрудники наблюдали дифракцию молекулярных пучков и дифракцию нейтронов.

В 1949 г. Фабрикант, Биберман и Сушкин поставили опыт по дифракции одиночных, поочерёдно летящих электронов.

IV. Соотношение неопределённостей Гайзенберга

Корпускулярно-волновой дуализм свойств вещества требует иного (по сравнению с классической физикой) подхода для описания движения частицы. В частности, теряет

смысл понятие координаты (а, следовательно, и траектории), скорости (а, следовательно, и импульса) частицы, так как приходится говорить о плотности вероятности нахождения частицы в данной области пространства. Однако хотелось бы сохранить старые классические параметры.

Корректность использования классических величин в квантовой механике определяет соотношение неопределённостей Гайзенберга. Оно показывает степень точности, с какой к частице может быть применено представление о её определённом положении в пространстве.

Согласно Гайзенбергу для любой частицы нельзя с произвольной точностью одновременно определить координату и соответствующую ей проекцию импульса частицы. Между неопределённостями этих величин должно существовать следующее соотношение:

∆x ∆px ≥ h2 , ∆y ∆py ≥ h2 , ∆z ∆pz ≥ h2 .

Здесь ћ = h/2π.

Величины, которые связаны между собой подобными соотношениями, называются канонически сопряжёнными. Таковыми являются, например, энергия и время:

∆E ∆t ≥ h2 .

Приведённые соотношения являются оценочными. Мы не будем их строго выводить, но в качестве иллюстрации рассмотрим два примера.

ПРИМЕР 1

Пусть в плоскости xz вдоль оси z летит частица, импульс которой равен p.

Так как мы знаем, что частица летит точно вдоль оси z, то неопределённость импульса по оси x равна нулю, т. е. ∆px = 0 (так как само значение px = 0). Попытаемся найти координату x этой частицы. Для этого перпендикулярно оси z поместим экран, в котором вырезана щель шириной ∆x. За щелью поставим приёмник. Если он сработал, то, следовательно, мы знаем, что через щель прошла частица (с точностью ∆x). Однако, пройдя через щель, частица из-за дифракции может изменить направление полёта и появится неопределённость составляющей импульса ∆px.

x

z

Величина ∆px = p sin α, где α – угол дифракции. Условие первого минимума при дифракции на одной щели имеет вид:

Так как частица может попасть в максимум более высокого порядка, чем первый,

то ∆px > ∆hx . Следовательно, ∆x·∆px ≥ h.

Этот пример описывает некоторую гипотетическую ситуацию. Интереснее рассмотреть реальный пример.

ПРИМЕР 2

Рассмотрим электрон в атоме водорода.

Склассической точки зрения электрон, теряя энергию при излучении, должен упасть на ядро. Поэтому в терминах классической физики после падения электрона на ядро его координата r = 0 и импульс pr = 0.

Сквантовой точки зрения эти термины мы можем использовать с определённой степенью точности: ∆r·∆pr ≥ ћ (двойкой пренебрежём). Так как координата меняется в

§ 2. Уравнение Шрёдингера

I. Квантовомеханическое описание состояния микрочастицы

Итак, мы должны отказаться от классического способа описания состояния частицы путём задания координаты и скорости, т. е. импульса материальной точки. В квантовой механике мы должны учесть следующее:

1.Любая микрочастица обладает как корпускулярными, так и волновыми свойствами.

2.Корпускулярные свойства микрочастицы обусловлены тем, что её масса, энергия и импульс локализованы в малой области пространства.

3.Волновые свойства микрочастицы определяются характером её движения в пространстве.

Для описания этого движения каждой частице будем ставить в соответствие волно-

вой процесс, который характеризуется длиной волны λ = hp и частотой ν = Wh . Этот

процесс (а вместе с ним и состояние частицы) будем характеризовать с помощью некоторого параметра, который называется пси-функцией (волновой функцией) Ψ. Псифункция, являющаяся функцией координат и времени, подчиняется уравнению, назы-

ваемому уравнением Шрёдингера:

− 2hm ∆Ш+UШ= ih ∂∂Шt .

Здесь U – потенциальная энергия частицы, ∆ – оператор Лапласа, i – мнимая единица.

4.Пси-функция (в общем случае комплексная) никакого физического смысла не име-

ет. Однако квадрат модуля пси-функции |Ψ|2 определяет плотность вероятности

попадания частицы в данную область пространства.

(В теории функций комплексной переменной |Ψ|2 = Ψ·Ψ*, где Ψ* – комплексно сопряжённая величина. Например, z = a + ib, z* = a – ib.)

Вероятность попадания частицы в объём dV равна

dP = Ш2 dV .

5.Не всякое решение уравнения Шрёдингера может выполнять роль пси-функции. Пси-функция должна удовлетворять трём условиям:

а) Ψ-функция должна быть однозначной, конечной и непрерывной во всей области изменения переменных x, y, z и t.

б) Непрерывными должны быть производные Ψ-функции ∂∂Шx , ∂∂Шy , ∂∂Шz , ∂∂Шt .

в) Ψ-функция должна быть интегрируема.

+∞+∞+∞

При этом ∫ ∫ ∫ Ψ 2 dx dy dz =1. Это так назыываемое условие нормировки. Этот

−∞−∞−∞

интеграл определяет вероятность нахождения частицы во всём пространстве. Если частица существует, то это достоверный факт и его вероятность равна единице.

ПРИМЕР

Рассмотрим свободно движущуюся вдоль оси x частицу. Поставим частице в соответствие бегущую волну

ξ(x,t)= Acos(ωt − kx).

В результате уравнение бегущей волны примет вид

() 2mW

ξx,t = x .

h h

Втеории функций комплексной переменной есть формула Эйлера e–iφ = cos φ – i sin φ. Тогда уравнение бегущей волны в более общей форме можно записать так:Acos W t −

Данная волновая функция описывает свободно движущуюся частицу с энергией W в неограниченном пространстве.

II. Временнóе уравнение Шрёдингера

В 1926 г. Шрёдингер предложил уравнение, которое является основным уравнением нерелятивистской квантовой механики. Как и законы Ньютона, это уравнение не

выводится, а постулируется. Его справедливость доказывается тем, что выводы квантовой механики, полученные с помощью этого уравнения, хорошо согласуются с опытом. (Существуют и другие, более общие подходы к решению квантовомеханических задач но в данном курсе мы их рассматривать не будем.)

Итак, временнóе (т. е. зависящее от времени) уравнение Шрёдингера имеет вид

Здесь ћ – постоянная Планка, m – масса частицы, Ψ(x, y, z, t) – пси-функция, ∆ – опера-

тор Лапласа (в декартовой системе координат ∆ = ∂22 + ∂22 + ∂22 ), U(x, y, z, t) – потен-

∂x ∂y ∂z

циальная энергия частицы в силовом поле, i – мнимая единица. Надо иметь в виду, что уравнение Шрёдингера справедливо для нерелятивистских частиц, т. е. при v << c, где c

– скорость света в вакууме.

III. Уравнение Шрёдингера для стационарных состояний

В общем случае потенциальная энергия, характеризующая силовое поле, является функцией координаты и времени. Имеется очень большой круг задач, когда поле стационарно. Тогда U = U(x, y, z) не зависит от t. В этом случае Ψ-функцию можно представить как произведение двух функций – одна зависит от координаты, другая от времени (см. пример свободно движущейся частицы):

Ш(x, y, z,t)=ψ(x, y, z)e−hi Wt .

Подставим это в общее уравнение Шрёдингера. Получим

Отсюда

− 2hm ∆ψ +Uψ =Wψ

или

∆ψ(x, y, z)+ 2hm [W −U (x, y, z)]ψ(x, y, z)= 0 .

Это уравнение Шрёдингера для стационарных состояний (или, для краткости, просто уравнение Шрёдингера). Здесь W – полная энергия частицы, U – потенциальная энергия

частицы в силовом поле, ψ(x, y, z) – пси-функция, которая должна удовлетворять тем же условиям, что и Ψ.

ПРИМЕР

Свободно движущаяся частица с энергией W

Так как поля нет, можно считать, что в этом состоянии U = 0. Задача одномерна,

поэтому ∆ = ∂22 . Уравнение Шрёдингера примет вид

∂x

∂2ψ2 + 2m (W − 0)ψ = 0 .

∂x h

Решение будем искать в виде ψ = Aekx, где k – неизвестная константа.

Отсюда

k 2 + 2hm2 W = 0

или

– уравнение бегущей волны.

Следовательно, решением уравнения Шрёдингера в данной ситуации является бегущая волна (см. предыдущий пример). Квадрат модуля волновой функции |Ψ|2 = A2. Это означает, что вероятность обнаружения частицы вдоль оси x везде одинакова, что

согласуется с соотношением неопределённостей: мы знаем энергию W = p2 , а тем са- 2m

мым и импульс, но зато не знаем координату частицы.

§ 3. Потенциальная яма. Потенциальный барьер

I. Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме бесконечной глубины

щить шарику некоторую скорость v, то он будет участво-

вать в периодическом движении, меняя направление скорости при каждом упругом ударе о стенку. При этом шарику можно сообщить любое значение энергии. Зависимость потенциальной энергии шарика от координаты x можно представить в виде следующего графика:

U

2. Квантовая задача

Рассмотрим одномерное движение микрочастицы в пространстве, ограниченном непрозрачными стенками. Нас не интересует, как можно технически осуществить такое

ψI = 0, – туда частица попасть не может.

ψIII = 0,

Так как задача одномерна, ∆ = ∂22 . Кроме того, во второй области UII = 0. Уравне-

∂x

ние Шрёдингера для второй области

∂2ψII + 2m (W − 0)ψII = 0 . ∂x2 h2

Здесь W – полная энергия частицы.

Введём обозначение k 2 = 2hm2 W . Тогда

∂∂2ψ2II + kψII = 0 .

x

Решение будем искать в более привычном для нас виде

ψII (x)= Asin kx + Bcoskx .

Условие непрерывности, налагаемое на волновую функцию, даёт

ψII (0)=ψI (0)= 0 ;

ψII (0)= Asin 0 + Bcos0 = 0 .

Отсюда B = 0. В результате

ψII (x)= Asin kx .

Условие непрерывности на второй границе при x = l:

Итак, sin kl = 0, тогда

kl = рn , где n = 1, 2, 3, … (n ≠ 0, т. к. тогда ψ ≡ 0 и частицы нет). Отсюда

k = рln , где n = 1, 2, 3, … .