МЭИ(ТУ) Физика

Пусть U – высота барьера, l – его ширина. Если энергия частицы W > U, то частица преодолеет барьер, но есть вероятность отражения. Если W < U, то частица отражается, но есть вероятность «просачивания» сквозь барьер. Найдём эту вероятность. Пусть

Тогда

Попытаемся найти коэффициенты A и B. Коэффициент A1 характеризует набегающую волну (подлетающую частицу), B1 – отражённую волну (отлетающую от барьера

Коэффициент B1 характеризует вероятность отражения частицы и нас не интересует. Коэффициент A1 характеризует вероятность присутствия налетающей частицы и его можно нормировать на 1.

Итак, вероятность нахождения частицы в точке с координатой x = l определяется

ψI (0)2 ~ A12 . Вероятность нахождения частицы внутри барьера на расстоянии x от гра-

ницы пропорциональна ψII (x)2 ~ B2 e−αx 2 ~ e−2αx .

В большинстве реальных задач коэффициент 4Wv ≈1. Тогда для D имеем формулу

D ≈ e–2αl или

Тем самым мы доказали, что даже имея энергию, меньшую чем высота потенциального барьера, частица может преодолеть этот барьер. Она проходит как бы сквозь туннель. Отсюда и название «туннельный эффект».

Численная оценка

Если U – W = 5 эВ, то при

Туннельный эффект объясняет аномально большой ток, который наблюдается при холодной эмиссии.

ток эмиссии

W W

e e

e

III. Гармонический осциллятор

1. Классический аналог

2. Квантовая задача

Квантовомеханическое решение приводит к уравнению

Решение уравнения сложное, то из него могут быть получены ограничения на возможные значения энергии:

z

r

θ

y

φ

x

Основное состояние электрона

Предположим, что существует такое симметричное состояние, в котором ψ-функция не зависит от θ и φ. Тогда уравнение (1) можно привести к виду

Здесь левая часть является константой, не зависящей от r, а правая часть зависит от r. Равенство должно выполняться при любых r, в частности, при r → ∞. В этом случае правая часть равенства стремится к нулю, а это означает, что левая часть тождественно равна нулю. Получаем систему уравнений

откуда

В результате для энергии основного состояния получим

Численное значение при z = 1 W1 = –13,6 эВ, что соответствует экспериментальным данным. Значение r0 ≈ 0,529 Å.

Вероятность найти электрон в сферическом слое радиуса r толщиной dr

= ψ 2 = ψ 2 4 2 = 2 −2r 4 2 .

dP dV рr dr C e r0 рr dr

Максимум плотности вероятности находится при r = r0. Следовательно, r0 – радиус сферического слоя, вероятность нахождения электрона в котором максимальна. (Самое удивительное – электрон в этом состоянии не вращается по dP

орбите. Его орбитальный момент импульса равен нулю.) Итак, мы доказали, что электрон не падает на ядро (не

проваливается в бесконечно глубокую потенциальную яму), r r0

а находится в стационарном состоянии с конечным значением энергии.

Общее решение уравнения Шрёдингера

В общем случае для решения уравнения (1) ψ-функцию можно представить как произведение трёх функций ψ(r, θ, φ) = R(r)·Θ(θ)·Φ(φ) (метод разделения переменных). Подставив это в уравнение (1), получим три дифференциальных уравнения. Их решения достаточно сложные.

Решив эти уравнения, мы получим ограничения, накладываемые на три физических величины: 1) на энергию, 2) на момент импульса, 3) на проекцию момента импульса электрона.

Следствия из решения уравнения (1)

Первое следствие

Ограничения накладываются на возможные значения энергии электрона в атоме: