МЭИ(ТУ) Физика

4.Закон Рэлея-Джинса

Исходя из модельных представлений об излучении осциллятора и опираясь на за-

коны классической физики, Рэлей получил следующую формулу для излучательной способности абсолютно чёрного тела:

rν ,T = 2рcν2 2 kT .

Эта формула правильно описывает процесс при низких частотах ν, но резко расходится с экспериментом при высоких частотах. Более того, интегральная излучательная способность чёрного тела согласно этой формуле «уходит» в бесконечность:

Это означало бы, что любое тело должно излучать rν, T

всю свою энергию, пока его температура T не станет

равной нулю. Это несовпадение теории с опытом эксперимент

было названо «ультрафиолетовой катастрофой».

ν

Это несоответствие было преодолено Планком, который при выводе формулы воспользовался следующей гипотезой, противоречащей

классической физике: энергия осциллятора может принимать только дискретный ряд значений, кратных минимальной порции энергии, равной hν, т. е. ε = 0, hν, 2hν, 3hν и т. д. Этой гипотезой было положено начало квантовой механике.

§ 5. Статистика Ферми-Дирака. Квантовая теория свободных электронов в металле

I. Постановка задачи

1.Атомы в металлах располагаются настолько близко (в узлах кристаллической решётки), что валентные электроны приобретают способность покидать свои атомы и свободно перемещаться внутри решётки, т. е. внешние электромагнитные оболочки атомов перекрываются и в результате валентные электроны обобществляются и становятся свободными. (Электроны «свободны» в том смысле, что не входят в состав конкретного атома.)

2.Приближённо можно считать, что суммарная сила, действующая на каждый электрон со стороны узлов кристаллической решётки и соседних электронов, равна ну-

лю: ∑F = 0 . В результате электронный газ в первом приближении можно предста-

вить как совокупность нейтральных частиц с массой m = me, находящихся в сосуде с объёмом, равным объёму образца металла.

3.Так как масса электрона me ≈ 10-30 кг, а концентрация электронов n ≈ 1028 м-3, тем-

пература вырождения Tв = n2 3h2 ≈ 50000 К . Следовательно, электронный газ все- m0 k

гда вырожден.

4.Так как электроны не могут выйти из металла, электронный газ находится внутри потенциальной ямы, поэтому энергия электронов квантована. Так как спин элек-

дать ещё одно определение химического потенциала: химический потенциал численно равен энергии уровня, вероятность заполнения которого равна 1/2.

плотность вероятности попадания изобразительной точки в область с энергиями от ε до

ε + dε;

– функция распределения электронов по энергиям (но не по ячейкам).

F(ε)

ε

III. Электронный газ при T = 0 К

Рассмотрим поведение электронного газа при температуре T = 0 К. Сначала рассмотрим вопрос о заполнении фазовых ячеек при T = 0 К, а затем вид функции распределения электронов по энергиям при T = 0 К.

1. Распределение электронов по энергетическим ячейкам при T = 0 К

Проводник для свободных электронов является потенциальной ямой, так как для выхода электрона из проводника требуется затратить энергию на преодолению кулоновских сил, удерживающих электрон в металле. Так как энергия электрона в потенциальной яме (даже конечной глубины) квантуется, то в яме образуется система энергетических уровней. С классической точки зрения при T = 0 К все электроны должны находиться на низшем энергетическом уровне, но так как работает принцип Паули, то на каждом уровне не может быть двух электронов с противоположными спинами. В результате заполняются N/2 нижних энергетических уровней (N – число свободных электронов в металле).

Последний заполненный энергетический уровень при T = 0 К называется уровнем Ферми. Энергия, соответствующая этому уровню, называется энергией Ферми εF.

Энергия Ферми – это максимальная энергия, которую может иметь электрон при T = 0 К. Следовательно, при εi ≤ εF все ячейки заполнены и f(εi) = 1, а при εi > εF ячейки свободны и f(εi) = 0 (см. рисунок). Действительно, рассмотрим формально функцию распределения по ячейкам f(εi) при T = 0 К:

εF

Следовательно, при T = 0 К химический потенциал µ0 совпадает с энергией Ферми:

f(εi)

1

ε

εF = µ0

µ0 = εF (в общем случае µ0 ≠ εF!), а сама функция распределения имеет вид

2. Распределение электронов по энергиям при T = 0 К

F

~ ε

T = 0 К

ε

µ0 = εF

3. Расчёт энергии Ферми

Для расчёта энергии Ферми воспользуемся условием нормировки N = ∞∫dNε . При

0

T = 0 К

4. Расчёт средней энергии электрона при T = 0 К

По определению

ε ≈ 3 эВ.

Если взять 1 моль металла (N = NA = 6·1023), то внутренняя энергия электронного газа при T = 0 К

U = ε NA = 3 1,6 10−19 Дж 6 1023 ≈ 3 105 Дж = 300 кДж !

5. Расчёт эффективной температуры идеального газа, внутренняя энергия которого равна энергии электронного газа при T = 0 К

С классической точки зрения абсолютный ноль (T = 0 К) соответствует ситуации, когда все молекулы остановились и, следовательно, внутренняя энергия равна нулю. С квантовой же точки зрения электронный газ имеет при T = 0 К энергию, приблизительно равную 300 кДж. Какой температуре идеального газа соответствует эта энергия?

Итак,

N ε ид. газа = N ε эл. газа ,

торую имел бы идеальный газ, если бы его внутренняя энергия была равна энергии квантового газа при T = 0 К. Какая колоссальная разница между классическими и квантовыми представлениями!

IV. Влияние температуры на функции распределения

Для большинства металлов εF ≈ 5 эВ. Величина дополнительной энергии, которую сообщает тепловое воздействие, порядка kT. При t = 27°С, т. е. при T = 300 К kT ≈ 0,025 эВ, т. е. kT << εF.

С повышением температуры электроны подвергаются тепловому воздействию и переходят на более высокие энергетические уровни. Однако переходы могут происходить только на свободные уровни, т. е. тепловому воздействию могут подвергаться только электроны, лежащие вблизи уровня Ферми в полосе шириной kT. Таких электронов около 2%. Электроны более глубоких слоёв тепловому воздействию не подвергаются.

f(εi) 1

С ростом температуры меняется и положение химического потенциала

так как это есть энергия уровня, вероятность заполнения которого равна 1/2. Но так как вплоть до температуры плавления металла kT << εF, можно считать, что химический потенциал µ = εF. Функция распределения по ячейкам примет вид

2kT

f(εi)

1

1/2

2%

ε

εF

Функция распределения по энергиям:

Если же kT ≈ εF (как это имеет место для идеального газа), то функция распределения превращается в функцию Максвелла-Больцмана. Отсюда может ввести ещё один критерий вырождения газа.

F(ε)

Температура вырождения Tв ≈ εkF ≈ 50000 К.

§ 6. Квантовая теория электропроводности проводников

I. Общие положения

В отсутствии электрического поля электронный газ в проводнике находится в равновесном состоянии и описывается функцией Ферми-Дирака, которая симметрична относительно px, py, pz. Это указывает на то, что число электронов, движущихся в противоположных направлениях одинаково и вектор их средней скорости в любом направлении равен нулю. Поэтому несмотря на огромное число свободных электронов тока в металле нет.

При наложении на проводник электрического поля, напряжённость которого E, возникает электрический ток. Под действием поля электроны приобретают упорядо-

ходящиеся вблизи уровня Ферми, под действием электрического поля переходят на вышележащие энергетические уровни, если там есть вакантные места, при этом их импульс меняется с –px до +px. Функция распределения при этом становится несимметричной.

ства, ρ – удельное сопротивление, j – плотность тока. Величина σ для разных веществ лежит в очень широких пределах:

107 Ом−1 м−1дляпроводников,

σ≈ 10−12 Ом−1 м−1для диэлектриков.