МЭИ(ТУ) Физика

Равновесное состояние – это состояние системы, в котором она может находиться сколь угодно долго в отсутствие внешнего воздействия.

Для описания равновесного состояния можно ввести термодинамические параметры. Например: p – давление, V – объём, T – температура, U – внутренняя энергия, S – энтропия.

Так, например, внутренняя энергия U – это сумма кинетических энергий поступательного и вращательного движения всех молекул и потенциальной энергии межмолекулярного взаимодействия. Согласно I началу термодинамики

dU = δQ −δA

темы с неизменным числом частиц N, I начало термодинамики можно записать в виде dU = T dS − p dV .

Если система открыта, то её внутренняя энергия может изменяться и за счёт изменения числа частиц системы. Тогда I начало термодинамики примет вид

dU =TdS − pdV + µdN .

Здесь µ – химический потенциал системы. Он имеет простой смысл. Для теплоизолированной (δQ = TdS = 0) равновесной системы постоянного объёма (dV = 0)

dU = µdN .

Отсюда

Химический потенциал равен изменению внутренней энергии теплоизолированной равновесной системы постоянного объёма при изменении числа её частиц на единицу.

Химический потенциал может быть больше или меньше нуля. Так, для идеального газа увеличение числа молекул на единицу при условии, что энтропия S остаётся постоянной, приводит к необходимости уменьшения внутренней энергии, т. е. µ < 0. Действительно, рост числа молекул приводит к увеличению числа микросостояний, с помощью которых реализуется данное макросостояние, т. е. к росту энтропии. Для того чтобы компенсировать этот рост, нужно уменьшить U.

Контакт двух теплоизолированных систем

При контакте двух теплоизолированных систем с химическими потенциалами µ1 и µ2 по истечении некоторого времени в равновесном состоянии поток энергии слева направо будет равен обратному потоку (равновесие), т. е.

dU1→2 = dU2→1 или

µ1 dN1→2 = µ2 dN2→1 .

Всилу равновесности dN1→2 = dN2→1. Отсюда µ1 = µ2 .

Всостоянии равновесия химические потенциалы систем выравниваются:

µ1 = µ2 .

Аналогия: выравнивание уровней воды в сообщающихся сосудах.

II. Статистический метод описания макросистем

Теперь нам необходимо задать состояние каждого элемента системы. Величины, характеризующие состояние каждой частицы – масса, импульс, энергия, координата и т. д. – называются микропараметрами.

Задача статистической физики – установление связи между микро- и макропараметрами.

Итак, пусть имеется система из N тождественных слабо взаимодействующих частиц. Энергия этого взаимодействия мала по сравнению с энергией системы в целом, но благодаря этому взаимодействию система может прийти в равновесное состояние.

Для «наглядного» описания состояния системы в целом с учётом состояния каждого элемента системы введём понятие фазового пространства.

Фазовое пространство

Так как микросостояние частицы определяется тремя её координатами (x, y, z) и тремя проекциями импульса (px, py, pz), то в качестве фазового пространства возьмём абстрактное шестимерное пространство (µ-пространство), вдоль осей которого будем откладывать координаты и проекции импульса частицы. Тогда каждой частице, движущейся в реальном трехмерном пространстве, будет поставлена в соответствие изо-

бразительная точка в шестимерном пространстве, которая полностью характеризует микросостояние частицы.

Например, рассмотрим колебания пружинного маятника. В «реальном» мире это одномерное движение влево-вправо вдоль оси x. Из закона сохранения энергии

будет двигаться по эллипсу, называемому фазовой траекторией

каждая точка «облака» определяет микросостояние соответствующего элемента системы. В частности, нас будет интересовать, какой формы должно быть это облако и как должна быть распределена плотность изобразительных точек в нём, чтобы состояние системы в целом было равновесным. Это основная наша задача.

В реальных задачах состояние частицы задаётся с определённой погрешностью (ошибкой) координат и импульсов. Мы говорим, что координата частицы лежит в пределах от x до x + dx, аналогично импульс – от px до dpx. Поэтому имеет смысл разбить

Пронумеруем эти ячейки. Пусть i – номер ячейки. Тогда εi – энергия частицы в этой ячейке. Микросостояние частицы задаётся номером ячейки. Микросостояние системы

определяется плотностью заполнения ячеек с учётом индивидуальных номеров частиц.

Это два микросостояния системы из двух частиц.

Равновесному состоянию соответствует макросостояние, которое реализуется наибольшим числом микросостояний.

В квантовой механике на точность одновременного определения координат и импульса накладываются условия (соотношения неопределённостей Гайзенберга)

∆x px ≥ h2 ,

∆y py ≥ h2 ,

∆z pz ≥ h2 .

В результате на фазовый объём ячейки накладывается условие

dγ = ∆x ∆y ∆z ∆px ∆py ∆pz > h83 .

При этом различным фазовым ячейкам будут соответствовать различные квантовые состояния, если dγ не слишком превышает ћ3. Поэтому в качестве фазовой ячейки возьмём ячейку объёмом

dγ = h3

Одна ячейка – одно квантовое состояние.

§ 2. Функция распределения f(εi)

Итак, реальному сосуду с газом мы поставили в соответствие «облако» изобразительных точек, находящихся в абстрактном шестимерном фазовом пространстве, разбитом на ячейки объёмом 1/2h3. (Множитель 1/2 присутствует для того, чтобы в одной ячейке была одна частица.) В зависимости от распределения этих точек по ячейкам будет существовать то или иное макросостояние реальной системы. Введём понятие функции распределения этих точек по ячейкам.

Функция распределения f(εi) определяется средней заполняемостью фазовых ячеек изобразительными точками в данной малой области фазового пространства, т. е. это средее число изобразительных точек в пределах данной малой области. (Грубо говоря, это среднее число жильцов в соседних комнатах на данном этаже.)

Замечание: Классическая функция распределения – это плотность вероятности по-

падания изобразительной точки в область данной ячейки: fклас = fNh(ε3i ).

Найдём такую заполняемость ячеек, которая соответствовала бы равновесному состоянию системы. Искать её будем, исходя из следующих условий:

2.Все частицы одинаковы, но различимы, 2. Частицы одинаковы и неразличимы. Пе-

3.Внутри ячейки может быть любое чис- 3. Для фермионов внутри ячейки объёмом

4.Все допустимые микросостояния замкнутой системы равновероятны.

Следует подчеркнуть, что данные распределения являются распределениями по энергетическим ячейкам εi, но не по энергиям ε. (Грубо говоря, это распределение по квартирам, а не по этажам.)

§ 3. Статистика Максвелла-Больцмана. Распределение молекул идеального газа по энергиям

Пусть идеальный газ находится в теплоизолированном сосуде объёмом V при температуре T. N – число молекул газа, m0 – масса одной молекулы. Газ не вырожден, т. е. T > Tкр. Тогда функция распределения по ячейкам

имеет вид

f(εi) << 1. (На одного жителя приходится много квартир.)

Распределение молекул идеального газа по энергиям

Подсчитаем число частиц dNε, энергия которых лежит в интервале от ε до ε + dε. (Грубо говоря, найдём число жителей, например, на шестом этаже. Высота этажа dε.)

По определению f (εi )= dNε , где dN – число изобразительных точек, а gi – число gi

ячеек, которые соответствуют значению энергии ε. Тогда dNε = f (εi )gi .

Число ячеек в области с энергией ε

gi = ∆hГ3 . 2

Здесь ∆Γ – область фазового пространства, соответствующая энергии частиц от ε до ε + dε; ½h3 – объём ячейки. (Число квартир, например, шестого этажа равно объёму этажа, делённому на объём одной квартиры.)

Очевидно, что в шестимерном пространстве

∆Г = ∫∫∫∫∫∫dx dy dz dpx dpy dpz .

Пусть энергия молекулы не зависит от её координаты внутри сосуда. Тогда интегрирование можно провести отдельно по координатам и импульсам:

∆Г = ∫∫∫dx dy dz∫∫∫dpx dpy dpz = {первыйинтеграл равенобъёмуV сосуда}=V ∆Гp .