МЭИ(ТУ) Физика

Химический потенциал найдём из следующего очевидного условия: ∫dNε = N ,

т. е.

Введём функцию распределения частиц по энергиям, как плотность вероятности попадания частицы в данный интервал энергии

F (ε)= dNNdεε .

Тогда

Зная функцию распределения по энергиям, найдём среднее значение энергии, приходящейся на одну частицу:

Зная, что ε = m02v2 , можно найти функцию распределения молекул по скоростям:

F(v)

T1

T2

v

§ 4. Статистика Бозе-Эйнштейна

Статистика Бозе-Эйнштейна применима для частиц с целым спином (бозонов). Бозонами могут быть как частицы с массой покоя, равной нулю (m0 = 0), – фотоны, фононы, так и частицы с отличной от нуля массой покоя – мезоны, ядра с чётным числом нуклонов.

Плотность заполнения ячеек велика. Газ вырожден (T < Tкр).

Распределение частиц по энергетическим ячейкам (но не по энергиям) подчиняется закону

Здесь µ ≤ 0. Для частиц с массой покоя m0 = 0 µ = 0.

f

Тепловое излучение

Рассмотрим полость, стенки которой поддерживаются при определённой температуре T. Любое тело излучает электромагнитные волны, интенсивность которых зависит

чением) и стенками полости. Температура стенок определяет в этом случае температуру фотонного газа.

Итак, тепловое излучение – это электромагнитное излучение, испускаемое телами. Его главной особенностью является то, что оно находится в термодинамическом равно-

весии с излучающим телом. Источником энергии теплового излучения является хаотическое тепловое движение молекул. Пример теплового излучения: излучение Солнца, лампы накаливания и т. д. Излучение люминесцентной лампы не является тепловым излучением.

Характеристики теплового излучения

Спектральная излучательная способность Rν, T – это энергия, излучаемая с еди-

ничной площади поверхности тела в единичный промежуток времени в единичном интервале частот (или длин волн):

Интегральная излучательная способность RT – это энергия, излучаемая с единич-

ной площади поверхности тела в единичный промежуток времени во всём интервале частот (или длин волн):

RT = ∞∫Rν ,T dν = ∞∫Rλ,T dλ .

Поглощательная способность Aν, T и AT – это отношение энергии, поглощённой телом, к падающей на тело энергии:

A = dWпогл .

T dWпад

абсолютно зеркальная поверхность,

серое тело,

абсолютно чёрное тело.

Абсолютно чёрное тело – это тело, поглощающее всю падающую на него энергию во всём интервале длин волн (или частот). Пример тела, которое можно считать абсолютно чёрным: сажа, чёрный бархат, Солнце.

Модель абсолютно чёрного тела: малое отверстие в полости (окна домов, вход в пещеру, смотровое окошко доменной печи и т. д.). Всё падающее через малое отверстие излучение в конце концов

поглощается стенками полости, не выходя наружу.

полость

ствие, которым устанавливается равновесие. Температура стенок определяет температуру фотонного газа.

4.Число фотонов не остаётся постоянным, так как они непрерывно поглощаются и излучаются. При этом фотонный газ стремится к минимуму внутренней энергии за

счёт изменения числа фотонов. Условие минимума ∂∂UN = 0 , где U – внутренняя

равновесного фотонного газа химический потенциал µ = 0. Тогда функция распределения принимает вид

i

e kT −1

5.В одной фазовой ячейке может находиться произвольное число изобразительных точек, так как бозоны не подчиняются принципу Паули.

II. Подсчёт числа фотонов с энергией от ε до ε + dε (с частотой от ν до ν + dν)

Пусть внутри полости, стенки которой поддерживаются при температуре T, находится равновесный фотонный газ. Тогда распределение изобразительных точек по ячейкам в фазовом пространстве описывается функцией распределения БозеЭйнштейна

∆Γ – область фазового пространства, соответствующая энергии от ε до ε + dε.

∆Г = ∫∫∫∫∫∫dx dy dz dpx dpy dpz ;

Сделаем в полости малое отверстие площадью S. Тогда

через это отверстие будет «вытекать» часть фотонного газа. c∆t S Это и будет излучение чёрного тела. За время ∆t из полости

уйдёт излучение, находящееся в объёме цилиндра длиной c∆t; его энергия

dW = ρν ,T c∆t S dν .

Тогда излучательная способность

На самом деле, с учётом того, что фотоны могут двигаться не только перпендикулярно площадке S, получим, что

rν ,T = ρν4,T c .

Следовательно, излучательная способность чёрного тела равна

–формула Планка для излучательной способности чёрного тела.

Врезультате мы получили знаменитую rν, T

распределение энергии в спектре абсолютно чёрного тела. Она хорошо согласуется с экспериментальными данными.

IV. Законы теплового излучения чёрного тела

Закон Кирхгофа был сформулирован выше.

1.Излучательная способность чёрного тела подчиняется формуле Планка

2.Закон Стефана-Больцмана

(В своё время был получен из термодинамических соображений.)