МЭИ(ТУ) Физика

короткозамыкающего проводника всегда равна нулю. Ток в короткозамыкающем проводнике максимален, поэтому величина тока и создаваемое им магнитное поле на краях линии имеют пучность, т. е. в этом случае ϕ = 0. Используя (3), можно теперь конкретизировать уравнение стоячей волны:

Из (4) следует, что в стоячей электромагнитной волне колебания электрического и магнитного полей происходят не в фазе. Пучности

электрического поля совпадают при этом с узлами магнитного поля и наоборот (рис. 3). Причина сдвига фаз заключается в различных условиях отражения на границе для электрического и магнитного полей.

Рис. 3

1. Описание установки

ВУП-2

Г Л

ЭЗ

мкА

Рис. 4

Установка (рис. 4) состоит из двухпроводной линии NM, генератора электромагнитных колебаний Г и зондоа ЭЗ – для измерения электрического поля. Зонд вставляется в соответствующее гнездо на ползуне, который может перемещаться вдоль линии. Положение зонда отсчитывается по шкале. В начале линии помещена лампочка накаливания (Л), являющаяся измерителем тока. В конце линии имеется передвижной

закорачивающий мостик М, служащий для настройки линии Лехера в резонанс. Генератор питаемся от регулируемого выпрямителя ВУП-2.

Электрический зонд представляет собой небольшой диполь, расположенный перпендикулярно проводам линии. Переменное электрическое поле возбуждает в диполе переменный ток, который

выпрямляется детектором и регистрируется микроамперметром постоянного тока (мкА). Зависимость между напряженностью электрического поля Е и током через измерительный прибор Iдет вследствие наличия в цепи детектора не является линейной. Эта зависимость определяется типом детектора, и в наших условиях ее можно

считать квадратичной: Iдет = kE2 . Коэффициент пропорциональности k

зависит от размеров зонда, расположения зонда относительно проводов линии и для данной установки является константой. Отсюда следует:

2.Порядок выполнения работы

1.Включают выпрямитель питания генератора. После прогрева катода

лампы генератора устанавливает ручку анодного напряжения в среднее положение, следя за накалом лампочки в начале линии (лампочку не перекаливать).

2.Перемещением мостика М настраивают систему в резонанс с генератором по максимуму накала лампочки, уменьшая при этом, если, нужно, анодное напряжение (не перекаливать лампочку).

3.Поместив в гнездо на ползуне зонд, перемещают его вдоль всей линии и

снимают зависимость показаний прибора от длины линии Iдет(х). Измерения проводят через 2 – 5 см, отмечая особо точки максимумов и минимумов. Результаты измерений заносят в таблицу 1.

Таблица 1

х

Iдет

Е

3. Обработка результатов измерений

1. По данным измерений рассчитывают Iдет (так как численное значение

k неизвестно, то найденные значения Е оказываются выраженными в условных единицах).

2.Строят график зависимости напряженности электрического поля от расстояния до начала линии Е(х).

3.Определяют длину электромагнитной волны и частоту генератора по формулам

λ = 2l0 , f = λc ,

где l0 – среднее расстояние между соседними узлами стоячей волны,

найденное из графика; с – скорость распространения электромагнитной волны.

4. Рассчитывают погрешность по формуле: f ≈ cλ2λ

Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. – М.: Высш. шк. 2000. §30.1, 30.2.

ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ МЕХАНИКА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

ПОГРЕШНОСТИ ПРИ ФИЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЯХ. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Введение

Неотъемлемой частью экспериментальных исследований, в том числе и проводи- мых в физическом практикуме, являются измерения физических величин. Измерения могут быть прямыми или косвенными. При прямом измерении значение измеряемой величины получают непосредственно в ходе измерения (например, измерения длины стержня линейкой), а при косвенном окончательный результат может быть получен только после проведения соответствующих расчетов (например, при измерении площа-

ди пластины придется воспользоваться формулой S = a × b).

Используемые при измерениях технические средства, прошедшие необходимый контроль, называются средствами измерения, а величины, получаемые с их помощью,

принимаются как результат измерения.

Всякое измерение сопряжено с погрешностями, поэтому в результате измерений получают не истинное значение искомой величины, а значение, приближенное к нему настолько, что может быть использовано как действительное значение физической ве- личины. Поэтому, в конечном итоге, мы можем лишь указать интервал – интервал достоверности (доверительный интервал), в пределах которого лежит измеряемая ве-

личина. Так, измеряя длину стержня с помощью штангенциркуля с точностью нониуса 0,1 мм, можно лишь указать, что истинное значение длины l лежит, например, в интер-

вале 13,4 £ l £ 13,6 мм, что и отражается в форме записи результата измерения: l = (13,5 ± 0,1) мм.

Эта запись означает, что действительное значение длины стержня l = 13,5 мм, а истинное значение этой величины лежит в интервале 13,4 ¸ 13,6 мм.

Под погрешностью измерения понимается отклонение результата измерения от ис- тинного значения. При этом различают абсолютную и относительную погрешность из- мерения.

Абсолютная погрешность – это величина, равная отклонению действительного значения от истинного значения измеряемой величины:

x = xдейств − xист .

Так как истинное значение неизвестно, то на практике можно дать лишь прибли- женное значение абсолютной погрешности.

Относительная погрешность равна отношению абсолютной погрешности к истин- ному значению измеряемой величины (которая, практически, заменяется ее действи- тельным значением)

δ = хх .

Очевидно, что именно относительная погрешность характеризует качество измерения, его точность. Эта величина безразмерна и часто выражается в процентах.

1. Классификация погрешностей прямых измерений

По характеру проявления в эксперименте различают систематическую погреш- ность, случайную погрешность и грубые промахи.

Систематическая погрешность измерения – это составляющая погрешности изме-

рения, остающаяся постоянной (по величине и знаку) при повторных измерениях. В свою очередь, по источнику появления эти погрешности можно разбить на несколько групп.

Одна из них – это систематические погрешности, природа и величина которых из- вестны (например, сдвиг нуля измерительного прибора), эти поправки могут быть оп- ределены до начала измерений и учтены в конечном результате. Примером этого типа погрешностей является также методическая погрешность. Она определяется недостат- ками выбранного метода измерения или неточностью расчетных формул. Так, если

взвешивать тело на аналитических весах без введения поправки на потерю веса груза в воздухе, то появится ошибка взвешивания, которую можно классифицировать как ме- тодическую.

Другая группа систематических погрешностей – это погрешности, для которых из- вестно их предельное значение, но неизвестен знак. К ним, в частности, относится ин-

струментальная погрешность. Она обусловлена конструкцией измерительного прибо- ра, неточностью его изготовления. Величина этой погрешности определяется классом точности прибора, но знак ее неизвестен (его можно оценить, сравнивая показания дан- ного инструмента измерения с прибором более высокого класса точности). Инструмен-

тальную погрешность принято записывать со знаком ±, подчеркивая этим, что без до- полнительных исследований мы не знаем знак отклонения от истинного значения.

Случайная погрешность – это составляющая погрешности, изменяющаяся случай- ным образом при повторных измерениях одной и той же величины. Данная погреш- ность вызывается причинами, которые не всегда поддаются оценке: зазоры в опорах, колебания стола, электромагнитные наводки и т. д. Она проявляется при повторных измерениях в виде разброса измеряемых значений, как по величине, так и по знаку. Случайная ошибка носит вероятностный характер. Ее можно уменьшить за счет увели- чения числа измерений и соответствующей статистической обработки результатов из- мерений.

Грубые промахи обусловлены либо небрежным отсчетом, либо временной неис- правностью прибора или внезапным сильным внешним воздействием. Эти погрешно- сти легко исключить сравнением результатов измерений, проведенных в данной серии опытов.

Окончательный результат измерения после исключения выявленных систематиче-

ских погрешностей и грубых промахов необходимо представить в виде x = xизм ± x , P = K

Здесь xизм – действительное значение измеряемой величины, х – полная погрешность измерения, Р – коэффициент достоверности (надёжность), т. е. вероятность того, что истинное значение измеряемой величины находится в интервале ± х. Так если Р = 0,95, то, это, грубо говоря, будет означать, что из 100 повторных замеров результаты 95

измерений будут лежать в пределах указанного интервала достоверности ± х.

2. Оценка погрешностей прямых измерений при однократных наблюдениях

Систематическая погрешность измерения Dх в общем случае складывается из инст-

рументальной погрешности Dxинс, методической погрешности и погрешности считыва- ния.

Так как в лаборатории не проводится дополнительное исследование используемых измерительных приборов, то инструментальную погрешность будем оценивать ее пре- дельным значением.

Металлические измерительные линейки изготовлены с достаточной точностью. Их миллиметровые деления наносятся с погрешностью не более ± 0,05 мм. Однако, кроме этой погрешности необходимо учитывать погрешность считывания, которая, при из-

вестном навыке, может быть доведена до четверти деления, т.е. ± 0,25 мм. Тогда пре-

дельное значение погрешности будет порядка ± 0,3 мм. Учитывая, что указатели в ла- бораторных установках отстоят от поверхности линеек на несколько миллиметров, в

качестве предельной погрешности измерения будем брать величину, равную ± 0,5 мм (в некоторых работах она может достигать 1 ÷ 2 мм). Предельная инструментальная погрешность штангенциркуля определяется точностью нониуса. Так, если она равна

0,1 мм, то погрешность измерения принимается равной ± 0,1 мм.

Погрешность термометра, барометра указывается в паспорте прибора. Так, для ртутного стеклянного термометра ТЛ-2 с пределом измерения 0 ¸ 100 °С при цене де-

ления 1 °С предельная инструментальная погрешность равна ± 2 °С.

Предельную инструментальную погрешность стрелочных приборов (амперметры, вольтметры и т. д.) можно определить по классу точности прибора

K= ( x)инс ×100% ,

хmax

где xmax – конечное значение шкалы, т. е. наибольшее значение измеряемой величины, указанное на шкале.

Цифровые измерительные приборы представляют собой сложные электронные устройства, поэтому при определении их погрешности необходимо руководствоваться их паспортными данными, указанными на учебных стендах. В любом случае их пре- дельная инструментальная погрешность не может быть ниже единицы последнего раз- ряда, высвечиваемого на индикаторной шкале прибора.

Для приборов, у которых указатели перемещаются скачком с одного деления на другое (например, секундомеры), предельное значение инструментальной погрешности принимается равным цене наименьшего деления его шкалы. Так, у секундомера с ценой наименьшего деления 0,2 с инструментальная погрешность равна ± 0,2 с.

3. Случайные погрешности

Проведя измерения одной и той же величины, одним и тем же прибором, при од- ном и том же методе измерения, можно обнаружить, что численные результаты будут отличаться друг от друга на величину большую, чем инструментальная погрешность. В этом случае говорят о случайной погрешности измерений. Каждое численное значение, полученное в ходе такого эксперимента, будет являться случайной величиной. Случай- ные величины изучаются в математической статистике и с помощью этого раздела ма- тематики можно оценить как результат измерения, так и погрешность измерений.

Допустим, что мы провели большую серию из n измерений одной и той же величи- ны. Из-за наличия случайных погрешностей отдельные значения из этой серии х1, х2, х3, …, xn не одинаковы. Для наглядности представления разобьем весь диапазон измерен-

– ступенчатая кривая), высота каждой ступеньки которой пропорциональна числу та- ких «попаданий» (рис. 1).

Рис. 1

Чем точнее проведены измерения, тем более узкой будет полученная кривая, и на- оборот, при грубых измерениях кривая распределения будет более широкой, расплыв- чатой. Пунктирная кривая, изображенная на рис. 1, представляет собой функцию плот- ности вероятности распределения случайных величин хi. Эта функция позволяет с за-

данной вероятностью определить результат измерений и величину случайной погреш- ности измерения.

Очевидно, что в отсутствие систематической погрешности величиной, ближе всего лежащей к истинному значению, будет являться среднеарифметическое значение из всех измерений.

Следовательно, в качестве действительного значения измеряемой величины нужно взять ее среднеарифметическое значение (которое в дальнейшем будем называть про- сто средним значением)

х = х1 + х2 ... + хn . n

Так как среднее значение x определяется суммой случайных величин, то и оно то- же является случайной величиной. Поэтому, если провести еще одну серию из n изме- рений, то в общем случае можно получить несколько другое значение x . При расчетах следует предварительно округлять значение x до трёх значащих цифр.

Вторая часть проблемы заключается в том, чтобы указать доверительный интервал,

в котором с достаточно большой надежностью лежит истинное значение измеряемой величины. В пределах этого интервала должна лежать большая часть уже проведенных измерений (и измерений, которые мы могли бы провести в будущем). Следовательно,

этот интервал должен быть связан с шириной функции распределения погрешностей (см. пунктирную кривую на рис. 1). В математической статистике эта ширина характе- ризуется параметром, называемым дисперсией случайной величины. Корень квадратный из дисперсии определяет среднеквадратичное отклонение от среднего. Если погрешно- сти измерений подчиняются закону нормального распределения, который описывается функцией Гаусса, то среднеквадратичное отклонение можно будет найти по формуле

(Заметим, что вопрос о том, можно ли считать данное распределение погрешностей нормальным, требует дополнительных исследований, которые в рамках лабораторного практикума не проводятся.)

Так как на практике проводятся серии с малым числом измерений (n = 3 или n = 5), то в качестве случайной погрешности следует взять погрешность, равную

n

å(x − xi )2

Здесь tP, n – коэффициент Стьюдента, который зависит как от числа измерений n, так и от доверительной вероятности P. Доверительную вероятность, как правило, принимают P = 0,9; 0,95; 0,99. В рядовых физических экспериментах обычно выбирают P = 0,95.

Значения коэффициента Стьюдента можно найти по табл. 1.

Таблица 1.

4. Суммарная погрешность прямого измерения

Если мы определили предельную погрешность измерения хинстр, связанную с ис- пользованием того или иного измерительного прибора, а также нашли случайную по- грешность xсл, то тогда суммарная погрешность прямого измерения дается формулой

x = ( xсл )2 + ( хинс )2 .

При расчетах следует предварительно округлять значения случайной и предельной погрешностей до трех значащих цифр.

Результат прямого измерения следует записать в следующей форме

х = х ± х , Р = 0,95.

Это означает, что с доверительной вероятностью 0,95 истинное значение х лежит от

х − х до х + х .

При записи результатов измерений необходимо пользоваться следующими прави-

лами округления:

1.Число, выражающее суммарную погрешность измерения, округляется до одной значащей цифры; если же оно начинается цифрой 1 или 2, то округление производят до двух значащих цифр.

2.Числовое значение результата измерения должно оканчиваться цифрой того же порядка, что и числовое значение абсолютной погрешности.