МЭИ(ТУ) Физика

квантования энергии в стационарных состояниях с дискретностью собственных значений параметров классического волнового уравнения (стоячие волны). Даже в классике проблемы такого типа приводили к единству дискретности и непрерывности, что послужило для Шредингера одним из указаний при построении основ квантовой механики. Важно отметить, что уравнение Шредингера превратило первый постулат Бора просто в следствие свойств решений этого уравнения при заданных граничных условиях. Тем самым возросло единство квантово-полевой картины мира.

Со вторым постулатом Бора дело обстоит гораздо сложнее. В квантовой механике теория взаимодействия атома с электромагнитным излучением носит полуклассический характер. В ней атом представляет квантовый объект, излучение – классический, т. е. электромагнитную волну. Полуклассическая теория дает возможность правильно рассчитать вероятности переходов атома между стационарными состояниями и обосновать второй постулат Бора (условие для частот), но, строго говоря, только для вынужденных переходов, вызванных действием излучения на атом. Более полная теория, охватывающая и спонтанные переходы, составляет часть релятивистской квантовой теории, учитывающей квантовые свойства не только атома, но и излучения. В большинстве расчетов для практических целей используется полуклассическая теория (например, при расчете лазера).

Интересно отметить ход развития данного раздела физики. Классическая физика запрещала существование стационарных состояний атома. В то же время из нее следовала необходимость возникновения спонтанного испускания излучения возбужденным атомом за счет ускоренного движения электрона. Нерелятивистская квантовая механика, наоборот, потребовала существования стационарных состояний, но даже в полуклассическом варианте не смогла, строго говоря, объяснить наличие спонтанных переходов. Наконец, релятивистская квантовая теория, включающая квантовую электродинамику, сумела охватить и стационарные состояния и все виды переходов между ними. Однако, как указывалось в начале раздела, релятивистская квантовая теория является незавершенной.

Квантовая механика атома сняла противоречия, имевшиеся в теории Бора, но одновременно дала объяснение эффективности, орбитальной модели. Здесь опять проявился принцип соответствия. Вероятность обнаружить электрон оказалась максимальной там, где проходила боровская орбита. В тех случаях, когда модель Бора приводила к противоречиям с опытом, квантовая механика дала правильные результаты (например, сферическая симметрия многих состояний атома, невозможная в орбитальной модели).

Для всех атомов, более сложных, чем водород, теория Бора приводила к результатам, которые количественно сильно отличались от экспериментальных данных. На основе квантовой механики были разработаны методы расчета сложных атомов, дающие высокую точность. Особенно эффективен метод Хартри-Фока, в создании которого сыграл решающую роль известный советский физик В. А. Фок. Самые парадоксальные выводы квантовой механики не только подтвердились на опыте, но и нашли практическое применение.

Говоря о выводе Эйнштейном формулы Планка, следует обратить внимание на то, что, казалось бы, новый вывод уже известной формулы не может дать существенно новых результатов. Однако в процессе этого вывода Эйнштейну пришлось выдвинуть гипотезу о существовании неизвестных ранее процессов вынужденного излучения, оказавшуюся необычайно плодотворной в практическом отношении. На использовании этих процессов основано действие квантовых генераторов – мазеров и лазеров. Приоритет в создании лазеров принадлежит советским физикам Н. Г. Басову и А. М. Прохорову и американскому физику Ч. Таунсу.

ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Особенности статистических закономерностей

Со статистическими закономерностями студенты знакомятся в курсе общей физики впервые в разделе «Молекулярная физика». При этом необходимо обратить внимание на то, что в системах, состоящих из очень большого числа частиц, обнаруживаются совершенно новые закономерности, требующие вероятностного подхода.

При изложении закона распределения частиц идеального газа по скоростям – закона распределения Максвелла, студенты получают представление о том, что такое функция распределения, и о том, что с помощью такой функции можно описывать газ, находящийся в состоянии термодинамического равновесия, которое устанавливается самопроизвольно в замкнутом сосуде, если его стенки поддерживаются при постоянной температуре. При изучении максвелловского распределения студенты должны понять, что возникновение этой новой наблюдаемой закономерности – типичный пример перехода количества в качество: чем больше частиц в системе, тем труднее описывать их движение динамически, но зато тем правомернее использование вероятностных законов – определяемые закономерности имеют более достоверный характер. Рассмотрим

подробнее переход от системы, состоящей из нескольких молекул, к большой системе, соответствующей газу, заполняющему некоторый объем. Представим себе, что в замкнутом объеме с зеркальными стенками находятся первоначально одна, две, три молекулы. Вероятность столкновения молекул между собой очень мала, они беспрепятственно двигаются от стенки к стенке; при этом удары носят вполне упорядоченный характер.

С ростом числа частиц в системе все труднее следить за судьбой отдельной молекулы, ее состояния меняются все чаще из-за столкновений и предсказать дальнейшее их изменение все труднее – первоначальный «порядок» заменяется «беспорядком». Хаотическое в общем движение частиц характеризуется большими относительными выбросами: то тут, то там образуются значительные скопления частиц и области разряжения, стенки испытывают беспорядочные удары со стороны молекул газа. Если число частиц увеличить во много тысяч раз, то начинают проявляться особенности статистических систем: распределение частиц по объему оказывается вполне упорядоченным (равномерным в отсутствие внешнего силового поля), непрерывные многочисленные удары молекул о стенки сосуда обеспечивают постоянство давления. «Беспорядок», наблюдаемый при небольшом количестве частиц в системе, заменяется новым «порядком».

Следует однако помнить, что из статистической теории, наряду с существованием устойчивых средних величин, с необходимостью вытекает наличие флуктуаций, имеющих важное значение для поведения газа и не учитываемых в термодинамике.

Более глубоко статистические закономерности изучаются в разделе «Основы строения вещества», где сначала излагаются элементы квантовой механики, а затем – элементы классической и квантовых статистических теорий. Отметим, что, если статистическая сущность квантовой механики отражает характер поведения, свойственный природе отдельных микрочастиц, то законы статистической физики являются таковыми благодаря тому, что предметом рассмотрения в ней служат системы, которые состоят из огромного числа частиц, находящихся в состоянии непрерывного хаотического движения.

Следует указать на основные отличия статистических закономерностей от динамических, дать четкое представление о роли тех и других при описании поведения объектов природы. С физической точки зрения статистические законы отличаются от динамических содержанием понятия состояния системы. В динамических теориях состояние задается точными значениями полного набора всех основных физических величин (в механике Ньютона – координат и импульсов всех частиц). В статистических же тео-

риях состояние задается не значениями самих физических величин, а законами их распределения, которые дают вероятности того, что какие-либо физические величины принимают те или иные значения. Сами же величины считаются случайными, т. е. не обязательно имеют определенные значения при заданных внешних условиях.

В каждый данный момент набор координат и импульсов частиц, составляющих систему, определяет микросостояние системы. Эти координаты и импульсы (микропараметры) непрерывно изменяются, осуществляя различные микросостояния системы. С другой стороны, состояние той же системы часто может быть охарактеризовано по ее внешним проявлениям, фиксируемым с помощью обычных макроскопических приборов. Такими измеряемыми величинами могут быть, например, объем, давление, температура, которые называются макроскопическими параметрами системы. Одним и тем же значениям макропараметров, т. е. одному макросостоянию системы, соответствует, вообще говоря, большое число различных микросостояний системы. В статистических законах устанавливаются вероятности обнаружения системы в определенном состоянии, задаваемом интервалами интересующих нас физических величин (микропараметров). В отличие от динамических законов, здесь с самого начала считается, что нельзя так задать состояние системы, чтобы дальнейшая ее эволюция была однозначно предрешена.

Важно, подчеркнуть, что динамические законы не являются более точным описанием явлений природы, чем статистические, как это может показаться на первый взгляд. Напротив, абстрагируясь от случайных отклонений от среднего, которые характерны для любых явлений природы, динамические законы описывают реальные процессы приближенно. Так, например, рассматривая задачу о столкновении двух биллиардных шаров – задавая начальные и определяя конечные положения и скорости их центров инерции – мы не учитываем того, что каждый шар состоит из огромного числа непрерывно движущихся и взаимодействующих атомов, благодаря чему ни положение, ни скорость центра инерции не могут быть точно заданы ни в начальный, ни в конечный моменты времени. Динамический закон оперирует с усредненными величинами.

При поверхностном подходе может показаться, что в динамических закономерностях ярче просматриваются причинно-следственные связи, чем в статистических. Иногда высказывается даже такое глубоко ошибочное мнение, что статистические соотношения свидетельствуют об отсутствии причинно-следственных связей в описываемых явлениях. Причинно-следственные связи в статистических законах, а также взаимодействие необходимого и случайного подробно анализируются в монографии [16]. Автор

приходит к выводу, что, с философской точки зрения, динамические и статистические законы отличаются пониманием внутренней структуры необходимости. В статистических законах она выступает в динамической неразрывной связи со случайным, в динамических – как абсолютная противоположность случайного. Неразрывная связь необходимого и случайного в статистических законах отражает эту связь в любых реальных явлениях. Необходимость основана на случайности, сама же случайность выступает как форма проявления необходимости: «Статистические средние, вычисление которых составляет одну из главных задач статистической физики, с необходимостью устанавливаются при определенных условиях. Но что представляет собой это необходимое среднее? В каждый данный момент состояние системы не совпадает точно со средним. Всегда возникают случайные отклонения от среднего – флуктуации. Однако они происходят в ту и другую сторону от среднего, и именно поэтому само статистическое среднее устанавливается с необходимостью.» [17].

Любое мгновенное состояние системы случайно. Из условий, в которых находится система, и из ее свойств с необходимостью вытекает только определенное среднее. «Отклонения от среднего – флуктуации – случайны в том смысле, что из условий, в которых находится система, совсем не следует, что в данный момент отклонение от среднего имеет определенную величину. Статистические законы позволяют вычислять только вероятность того или иного отклонения, а также дисперсию, т. е. среднее значение квадрата отклонения величины от ее среднего. Вместе с тем ... флуктуации являются формой проявления необходимости. Именно совокупность случайных мгновенных состояний системы выявляет необходимое среднее. Сам факт существования флуктуации в рамках статистических закономерностей необходим.» [17].

Связь необходимого и случайного, воплотившаяся в статистических законах, «подтверждает знаменитое высказывание Гегеля, приведенное Ф. Энгельсом в «Диалектике природы», о том, что случайное необходимо, что необходимость сама определяет себя как случайное и что, с другой стороны, случайность есть абсолютная необходимость.» [17].

«Формулировка К. Маркса - «необходимость пробивает себе дорогу сквозь толщу случайностей» - наилучшим образом характеризует отношение необходимого и случайного в статистическом законе.» [18].

Прекрасной иллюстрацией этих высказываний являются статистические законы физики, в которых связь необходимого и случайного облекается в количественные со-

отношения. Следует подчеркнуть, что во времена Маркса и Энгельса, а тем более Гегеля, эти законы физики еще не были открыты.

Связь необходимого и случайного удобно разобрать на примере закона распределения молекул по скоростям, открытого Максвеллом. Необходимо подчеркнуть, что распределение Максвелла является наивероятнейшим, т. е. в каждый произвольный момент времени фактическое распределение может отличаться от установленного законом. Этот закон осуществляется лишь в среднем. Иными словами, распределение Максвелла дает среднее число молекул, скорости которых лежат в узком интервале скоростей dv около произвольно выбранного значения скорости v. Именно средние значения числа частиц того или иного сорта (с выбранными значениями скоростей) осуществляются с необходимостью. Реальное же число частиц данного сорта в произвольный момент времени случайно, т. е. может быть и больше и меньше среднего. Это происходит потому, что скорость каждой молекулы в каждый данный момент имеет случайное значение по отношению к средней скорости. Можно сказать, что необходимость (среднее значение) определяет себя через случайность (множество случайных мгновенных значений), а случайность осуществляется с необходимостью, так как значения скоростей молекул определяются ударами со стороны других молекул. Таким образом, в произвольный момент времени отклонение от среднего распределения случайно в том смысле, что внешние условия, в которых находится газ, никак не определяют характер этого отклонения в данный момент. В то же время оно необходимо в том смысле, что причинно обусловлено и представляет собой объективную реальность. Совокупность реальных случайных распределений с необходимостью определяет наивероятнейшее распределение (распределение Максвелла) благодаря тому, что отклонения этих реальных распределений от среднего осуществляются с равной вероятностью в обе стороны. Именно поэтому среднее существует. Такая ситуация – характерный признак равновесной системы. Итак, «необходимость, выступающая в статистических законах как среднее бесчисленного множества случайных состояний, в динамических законах рассматривается как нечто строго и однозначно определенное. Тот факт, что почти все фундаментальные теории современной физики являются статистическими и содержат в качестве приближения соответствующие динамические теории, свидетельствует об отражении статистическими теориями необходимых связей, присущих природным явлениям. В статистической закономерности необходимое и случайное столь тесно переплетены между собой, что их можно рассматривать как отражение в нашем соз-

нании противоречивых тенденций объективной закономерности. Закономерность же представляет собой их единство с преимущественным значением необходимого.» [19].

Статистические законы включают в себя определенные динамические элементы. При заданной полной энергии системы произвольное начальное состояние системы однозначно связано с ее конечным состоянием. В этом проявляется один из динамических элементов статистического закона и отражается наличие определенной внутренней необходимости в развитии системы. Другими важными динамическими элементами статистических теорий являются законы сохранения.

При изучении статистической физики имеет большое значение правильное понимание термина «равновесное состояние». Следует также четко представлять себе характер процессов, приводящих к установлению равновесия в системе, изолированной в какой-то момент времени от внешних воздействий, которые нарушали равновесие. Опыт показывает, что в замкнутом сосуде, стенки которого поддерживаются при постоянной температуре, спустя некоторое время устанавливается состояние, характеризуемое неизменными значениями макропараметров (температуры, давления и др.). В равновесной системе отсутствуют какие-либо потоки, т. е. преимущественные направления движения частиц, и осуществляется одно и то же максвелловское распределение частиц по скоростям их теплового движения. Система, достигшая равновесия, обладает замечательным свойством – распределение частиц по скоростям (соответственно, распределения по импульсам и энергиям) не изменяется с течением времени. Хотя каждая отдельная частица изменяет свою скорость достаточно часто, сталкиваясь с другими частицами, среднее число частиц, которые обладают скоростями, заключенными в произвольно выбранном интервале, остается постоянным.

Самое замечательное заключается в том, что при данной температуре одно и то же равновесное состояние устанавливается совершенно независимо от того, в каких условиях находились частицы системы первоначально. Система «забывает» свою историю [20]. Поэтому на основе изучения распределения частиц системы в состоянии равновесия нельзя ничего сказать о том, в каком состоянии система была раньше. Независимо от начального распределения, частицы сталкиваются между собой и изменяют свои скорости, в результате чего очень скоро (и тем скорее, чем больше частиц) устанавливается равновесное распределение. Удивительно, что состояние равновесия не зависит не только от того, как именно сталкиваются частицы, но и от частоты столкновений. Если частицы сталкиваются редко, установление равновесия происходит медленно, если они сталкиваются часто, равновесие устанавливается быстро. Частота столкновений

определяет скорость установления равновесия. Равновесное состояние можно назвать молекулярным «хаосом» [21].

История системы распадается на два периода. В первый период, соответствующий неравновесным состояниям системы, чрезвычайно велика роль столкновений, так как именно благодаря им система приближается к равновесию. После же установления равновесия столкновения уже ничего не меняют. Поэтому в равновесной системе их можно не рассматривать.

Распределения по скоростям, зафиксированные в равновесной системе в разные моменты времени, носят случайный характер, но, усредненные за тот или иной промежуток времени, значительно превосходящий продолжительность свободного пробега частиц системы, дают одно и то же равновесное распределение. В процессе установления равновесия мгновенные распределения также имеют случайный характер. Однако среднее распределение, взятое в этом процессе для одинаковых по величине интервалов времени, но с разными началами отсчета, отличаются друг от друга. Это усредненное распределение постепенно приближается к равновесному, теряя черты, которые отражают результаты внешних воздействий, первоначально нарушивших равновесие.

Большой интерес представляет анализ процесса установления равновесия. Этот период трудно описать аналитически, так как нужно было бы решить систему из огромного числа уравнений с большим количеством неизвестных.

До сравнительно недавнего времени процессы в неравновесной системе рассматривались приближенно при условии, что отклонение системы от равновесия мало. С развитием вычислительной техники появились новые возможности. Оказалось, что быстродействующие электронные счетные машины можно использовать для получения интересной и полезной информации о движении большого числа взаимодействующих частиц. Например, в одной из работ [22] рассматривалось движение 100 твердых сферических частиц в ящике кубической формы. Предполагалось, что первоначально все частицы имели скорости, одинаковые по модулю, но случайные по направлению. Было показано, что после того, как все частицы в совокупности претерпели 150 столкновений (по 3 столкновения, в среднем, на каждую частицу), устанавливалось приближенное равновесие, хотя еще имели место довольно большие флуктуации.

Завершая раздел, надо упомянуть о физической кинетике, также использующей статистические методы, но уже для систем, находящихся в неравновесных состояниях (проводимость, явления переноса). Здесь важно подчеркнуть «борьбу» противоположностей – порядка и хаоса. Классическая физическая кинетика приобрела особо важное

значение в физике плазмы. Фундаментальное уравнение кинетики плазмы по справедливости называется уравнением А. А. Власова – советского физика, впервые его получившего. Общее признание получили работы в той же области советских физиков Л. Д. Ландау, Н. Н. Боголюбова и их учеников. К сожалению, содержание этих работ выходит далеко за пределы общего курса физики.

Квантовые статистики

При изложении этого раздела следует указать на то, что использование квантовых статистических теорий оказывается необходимым для систем, в которых вероятность того, что две частицы с почти одинаковыми импульсами окажутся достаточно близко друг от друга, существенно отлична от нуля. Под словами «достаточно близко» следует понимать расстояние порядка неопределенности в координате каждой частицы. В такой ситуации оказывается очень важным, каково значение спина частиц системы. Если частицы имеют полуцелочисленный спин (электроны, протоны, нейтроны и др.), то они подчиняются принципу Паули, согласно которому в системе не может быть двух частиц в одном квантовом состоянии, т. е. с очень близкими значениями импульсов, координат и одинаковой проекцией спина на произвольную ось. Для систем, состоящих из таких частиц, называемых фермионами, справедлива квантовая статистика ФермиДирака.

Совсем иначе ведут себя коллективы частиц с целочисленным значением спина, называемых бозонами (например, системы фотонов, фононов, альфа-частиц и др. микрочастиц, состоящих из четного числа фермионов, и т. д.). Системы бозонов описываются квантовой статистикой Бозе-Эйнштейна. Бозоны обладают свойством, в некотором смысле противоположным свойству фермионов, – чем больше бозонов скопилось в данном квантовом состоянии, тем больше вероятность появления новых таких же частиц. Проявление этого свойства можно проиллюстрировать на примере вынужденного испускания фотонов, на котором основана работа лазеров. Чем больше плотность энергии излучения данной частоты в объеме, содержащем возбужденные атомы, т. е. чем больше фотонов в данном квантовом состоянии, тем вероятнее излучательные переходы атомов, в которых рождаются новые аналогичные фотоны. Это же свойство бозонов лежит в основе таких явлений, как сверхпроводимость металлов и сверхтекучесть гелия.

Как видно из предыдущего, применение квантовых статистик необходимо тогда, когда неопределенность в координате частицы становится сравнимой со средним рас-

стоянием между частицами или неопределенность в импульсе сравнима со средним импульсом частиц. Более строгий количественный расчет позволяет получить критерий вырождения системы частиц, т. е. условие неприменимости к ней классического подхода. Согласно этому критерию, чем больше концентрация частиц и меньше их масса, а также чем ниже температура, тем больше степень вырождения системы. Например, система фотонов, имеющих нулевую массу покоя, всегда вырождена, т. е. требует применения квантовой статистики. При этом важно обратить внимание студентов на то, что полученный вывод не означает ошибочности классического подхода к оптическим явлениям вообще. Рассмотрение волновых свойств электромагнитного излучения вполне укладывается в классические рамки. Лишь в тех явлениях, где проявляются корпускулярные свойства света, электромагнитное излучение рассматривается как система фотонов, для описания которой необходимо применение квантовой статистики. Системы из атомов и молекул в газообразном состоянии состоят из достаточно тяжелых частиц, концентрация которых при любых температурах настолько низка, что системы далеки от вырождения и к ним применим классический подход.

Система электронов, являющихся очень легкими частицами, может быть в зависимости от температуры и концентрации как вырожденной, так и классической. Например, концентрация электронов проводимости в металлах настолько велика, что для их описания необходимо применять статистику Ферми-Дирака. Между тем система электронов в плазме, где их концентрация на несколько порядков меньше, допускает классическое описание. В этом проявляется диалектический закон перехода количества в качество: концентрация мала – система проявляет классические свойства, концентрация велика – необходим квантовый подход. Одно из важнейших свойств таких квантовых систем состоит в том, что вся система живет как единое целое. Это уже не совокупность частиц, время от времени взаимодействующих друг с другом, а единый коллектив, отдельные части которого находятся в непрерывной и глубокой связи со всеми остальными. Нужно отметить, что взаимодействие частиц такой системы уже не укладывается в рамки ньютоновских представлений. Например, принцип Паули представляет результат сугубо квантовой корреляции движения фермионов, входящих в одну систему. Корреляция наблюдается также в системах бозонов (бозе-конденсация). По существу, мы встречаемся здесь с новым содержанием понятия «взаимодействие» в результате диалектического «движения» понятия. Это произошло за счет «огрубления» картины квантового коллектива, рассматриваемого как система дискретных частиц.