МЭИ(ТУ) Физика

Однако истинная разность потенциалов отличается от приложенной на контактную разность потенциалов между катодом и анодом.

Каждый металл характеризуется определенной работой выхода А, равной минимальной кинетической энергии, которой должен обладать электрон, чтобы покинуть металл. Объясняется это тем, что на поверхности металла имеется сколь угодно тонкий двойной слой зарядов, обусловливающий скачок потенциала в этом слое. Величина этого скачка, а значит, и работа выхода остаются, неизменными как для электрически нейтрального, так и для заряженного металла.

Для двух брусков из разных металлов (I и II) при условии, что расстояние между ними достаточно велико, график потенциальной энергии электрона (в первом приближении) имеет вид, показанный на рис. 25а. (Предпола-

гается, что A1 > A2, где A1 и A2 – работы выхода элек-

трона соответственно из металлов I и II.) Если металлы привести в соприкосновение, то начнётся диффузия электронов из одного металла в другой.

Переход электронов из второго металла в первый энергетически выгоден, поэтому число электронов, совершающих такой переход, будет больше, чем число электронов, переходящих из первого металла во второй. В результате оба металла потеряют свою электрическую нейтральность. Первый, получив избыток электронов, окажется заряжен отрицательно, второй – положительно. Равновесие наступит тогда, когда на гра-

нице металла выравнятся нижние уровни энергий (рис. 25б). Во внешнем пространстве появится электростатическое поле. Разность потенциалов между несоприкасающимися концами проводников (контактная разность потенциалов)

Эта контактная разность потенциалов остаётся неизменной независимо от того, соприкасаются ли металлы непосредственно или через произвольное количество других проводников. Силовые линии «контактного» электрического поля направлены во внешнем пространстве от свободного конца металла, обладающего меньшей работой выхода, к свободному концу металла, обладающего большей работой выхода.

Такая разность потенциалов образуется, естественно, и между катодом и анодом. Материал, из которого изготовлен анод, и его работа выхода неизвестны. Значит, неизвестно и направление «контактного» электрического поля. Поэтому истинное значение максимальной кинетической энергии, с которой фотоэлектроны покидают катод, должно определяться уравнением

а не уравнением (1). Знак «+» соответствует тому, что «контактное» электрическое поле направлено так же, как и проложенное внешнее, т. е. тормозит электроны на их пути к аноду.

Максимальная кинетическая энергия Wк фотоэлектронов может быть определена из уравнения Эйнштейна:

λ к

РЕШЕНИЕ

Согласно уравнению (3), искомая контактная разность потенциалов

Uк = Wк −eeU з .

Если правая часть уравнения положительна, то это означает, что в уравнении (3) перед произведением е|Uк| следует брать знак «+».

Выразив кинетическую энергию Wк из уравнения (4), получим

Знак «–» показывает, что «контактное» электрическое поле направлено навстречу внешнему тормозящему. Следовательно, при U > 0 «контактное» поле сонаправлено внешнему, значит, анод выполнен из металла, работа выхода которого меньше, чем у вольфрама.

Задача 22.10

Наблюдается внешний фотоэффект на фотоэлементе с цезиевым катодом. Длина волны падающего излучения λ = 0,331 мкм. Работа выхода для цезия равна А = 1,89 эВ. Найти импульс вылетающего электрона и импульс, получаемый катодом при вылете одного электрона. Электроны вылетают навстречу падающему свету нормально к поверхности катода.

АНАЛИЗ

Согласно квантовым представлениям, вылет электронов из металла при фотоэффекте есть результат взаимодействия фотон-электрон. Однако система фотон-электрон не является замкнутой, так как электрон взаимодействует ещё с кристаллической решёткой катода. Система, включающая в себя фотон, электрон и кристаллическую решётку катода, замкнута, и для неё справедлив закон сохранения импульса. До взаимодействия импульс данной системы равен импульсу фотона pν, после взаимодействия – импульсам электрона pe и кристаллической решетки pк. В соответствии с законом сохранения импульса,

(1)

При применении закона сохранятся энергии следует учитывать только энергию Ee, полученную электроном, так как энергией, полученной кристаллической решёткой, можно пренебречь вследствие того, что её масса несоизмеримо больше массы и электрона, и фотона. Согласно уравнению Эйнштейна, энергия падающего фотона

hν = Ee =Wк + A . (2)

Это уравнение позволяет рассчитать максимальную кинетическую энергию Wк, с которой электроны покидают катод, а следовательно, и его импульс, так как

РЕШЕНИЕ

Для того чтобы уравнение (1) записать в скалярном виде, введём ось x, направленную перпендикулярно поверхности катода по световому пучку. Тогда

pνx = + pν = λh , pex = − pe = − 2meWк .

Так как векторы pν и pe направлены в противоположные стороны, очевидно [см. (1)], что вектор pк должен быть сонаправлен вектору pν следовательно, pкx = pк. Тогда

[см. (1)]

Выразив кинетическую энергию электрона из уравнения (2) и подставив её в (4), получим

Импульс вылетевшего электрона, направленный в сторону, противоположную векторам pк и pν,

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ГЛАВА V. ОПТИКА

§ 21. Интерференция и дифракция

В задачах этого параграфа рассматриваются явления интерференции и дифракции. Явление интерференции есть результат сложения волн. Интерференцией вторичных волн обусловлено и неравномерное распределение амплитуд колебаний (а следовательно, и интенсивностей) в некоторой области пространства, появляющееся вследствие дифракции. Поэтому при решении задач особое внимание следует уделять коге-

рентности волн.

Когерентность в обычных оптических схемах (за исключением излучения высокой степени когерентности, создаваемого лазерами) достигается тем, что световой пучок, испускаемый точечным источником, разделяется на два; последние тем или иным способом сводятся в одну точку пространства, в которой и наблюдается интерференция. Такое разделение часто приводит к тому, что вместо одного источника появляются два мнимых, когерентность которых и надо установить. Волны, испускаемые разными точками одного протяженного источника, не когерентны. В некоторых задачах вводятся идеализированные источники, когерентность которых либо оговорена, либо следует из описания самих источников.

В задачах, связанных с дифракцией света, используется теория Френеля-Гюйгенса. Согласно этой теории, любая точка пространства, до которой дошел фронт волны, представляет собой вторичный (виртуальный) источник; все виртуальные источники когерентны; наблюдаемое распределение интенсивности света есть результат интерференции вторичных волн. Метод зон Френеля и векторное сложение колебаний (метод векторных диаграмм), используемые при решении задач, естественно приводят к тому, что расчет дифракционной картины является приближённым.

При решении задачи необходим детальный анализ всей оптической схемы и явлений, происходящих при отражении света и при переходе через границу раздела сред. Для описания интерференции волн (как при собственно интерференции, так и при дифракции) во всех случаях удобно пользоваться понятием луча, изображая на оптиче-

ских схемах ход лучей. Под лучом (точнее, осевым лучом) понимается осевая линия узкого светового пучка, распространяющегося от источника (реального, мнимого или виртуального) в данную точку пространства. В этом случае можно говорить о разности хода двух лучей или даже о разности их фаз.

Внекоторых оптических схемах используются тонкие линзы. Следует иметь в виду, что линзы обладают свойствам таутохронизма, т. е. не сообщают дополнительной разности фаз лучам, которые сводятся линзой в одну точку.

При анализе и решении задач предполагается, что основные законы геометрической оптики, включая ход лучей через тонкую линзу и построение изображения в зеркале, известны.

Взадачах 21.1 и 21.6 не оговорена физическая природа колебаний, в остальных задачах рассматриваются световые волны.

Задача 21.1

Два «идеальных» гармонических вибратора, совершающих колебания с одинаковой частотой со сдвигом начальных фаз ∆α0 = π/4, находятся на расстоянии l друг от друга. При каких углах излучения θ (рис. 21.1) амплитуда результирующей волны максимальна при l = λ/4 и l = 3λ?

АНАЛИЗ

В условии не оговорена физическая природа волн, излучаемых вибраторами. В случае электромагнитных (поперечных) волн интерференционная картина наблюдается, если обе волны плоскополяризованные и направления колебаний векторов Е – векторов напряжённости электрического поля – совпадают. Предположим, что вибраторы представляют собой очень малые линейные гармонические диполи, расположенные перпендикулярно плоскости рисунка. В этом случае при любом направлении распространения в плоскости рисунка векторы Е излучаемой волны параллельны самим диполям, т. е. также направлены нормально плоскости рисунка. Поскольку вибраторы

совершают гармонические колебания с одинаковой частотой, волны, ими излучаемые, когерентны. Рассмотрим точку М, положение которой определяется модулем радиусвектора r и углом θ – углом между вектором r и полярной осью ОА. Так как по условию требуется найти углы излучения θ, для которых в интерференционной картине будут

наблюдаться максимумы, то, очевидно, что каждый из лучей r1 и r2, проведённых от источников к точке М, должен образовывать с полярной осью угол, практически равный θ. Это возможно, если расстояние r много больше расстояния l = S1S2. В этом случае разность хода, т. е. разность расстояний, пройденных волнами, излучёнными источниками S1 и S2,

Очевидно, что на рисунке показать истинное соотношение расстояний нельзя, поэтому следует считать, что θ1 = θ.

Предположим, что колебания источника S1 опережают колебания источника S2 по фазе на заданное значение ∆α0. Тогда уравнения волн, приходящих в точку М от источников S1 и S2, имеют вид

E1 = E01 sin(ωt − kr1 ), ,

где k = 2π/λ – волновое число.

Разность фаз между этими волнами в точке М

Амплитуда результирующей волны максимальна, если разность фаз волн, приходящих в данную точку пространства, кратна чётному числу π:

∆ϕ12 = 2nр, n = 0, 1, 2, … (3)

Подставим выражение (1) в (2) и приравняем разность фаз ∆φ12 [см. (3)] чётному числу π:

2λрl sinθ − ∆α0 = 2nр .

Тогда угол излучения, для которого амплитуда результирующей волны максимально, должен удовлетворять условию

Выражение (4) получено в предположении, что расстояние r >> l, т. е. что мы ведём наблюдение достаточно далеко от источников. Никаких ограничений на отношение l/λ при выводе не было наложено. Если l ≤ λ, т. е. λ/l ≥ 1, то выражение (4) имеет смысл при n = 0, т. е. амплитуда результирующей волны максимальна только для одного фиксированного значения угла θ.

При l > λ интерференционное поле двух вибраторов имеет многолепестковую структуру, т. е. максимумы для нескольких направлений излучения.

РЕШЕНИЕ

на в направлениях излучения:

θ0′ = arcsin 241 ≈ 2,4o (n = 0);

θ1 = arcsin 249 ≈ 22o (n = 1);

θ2 = arcsin 1724 ≈ 45o (n = 2).

Значение n = 3 уже не возможно (sin θ > 1).

Задача 21.2

Два точечных когерентных оптических источника, колеблющихся в фазе, находятся на расстояния l = 0,5 мм; друг от друга. Источники дают монохроматическое излучение с длиной волны λ = 0,3 мкм. Экран наблюдения расположен параллельно прямой, соединяющей источники,

на расстоянии d = 30 см от них (рис. 2). Описать интерференционную картину, наблюдаемую на экране. Найти расстояние между двумя соседними максимумами.

АНАЛИЗ

В условии оговорены когерентность источников и равенство нулю начальной разности фаз. Каждый из источников – точечный, т. е. излучает сферическую волну, амплитуда которой обратно пропорциональна расстоя-

Рис. 2

нию: A = A0/ri. Волны, излучаемые этими источниками,

дают устойчивую интерференционную картину, причем разность фаз между волнами, приходящими в любую точку пространства, определяется только разностью расстояний r1 и r2, проходимых волнами от источников S1 и S2 до рассматриваемой точки:

Во всех точках пространства, для которых разность фаз равна четному числу π, амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд приходящих волн. В этих точках будут интерференционные максимумы. В точках, где разность фаз ∆φ равна нечетному числу π, будут минимумы; амплитуда результирующего колебания в этих точках, равна модулю разности амплитуд приходящих волн.

В любой плоскости, в которой лежат источники (например, в плоскости рис. 2), геометрическое вместо точек равных значений ∆φ – гиперболы (рис. 3). Очевидно, в пространстве геометрическое место точек заданных зна-

чений: ∆φ (а значит, и ∆r) –гиперболоид вращения. Картина в пространстве получится, если рис. 3 вращать вокруг оси S1S2. Множество точек, для которых ∆φ = 0 (центральный максимум), – плоскость, перпендикулярная отрезку S1S2 и делящая его пополам. Если расстояния от источников до рассматриваемых точек очень велики, так что ∆r = r1 – r2 << r1 и ∆r << r2, то, во-первых, можно считать, что θ1 = θ (рис. 1) и разность хода практически зависит только от направления излучения, т. е. от угла θ, причём

во-вторых, на таких больших расстояниях относительное различие амплитуд волн, приходящих в одну и ту же точку, пренебрежимо мало (предполагается, что источники обладают одинаковой мощностью излучения). В этом случае в тех точках пространства, в которых ∆φ = (2n + 1)π, результирующая амплитуда близка к нулю.

Интерференционная картина, которая получится на экране, расположенном параллельно прямой S1S2, представляет собой сечение гиперболоидов плоскостью экрана – семейство гипербол. Поскольку расстояние d от источников до экрана велико, то отрезки этих гипербол можно считать отрезками прямых, параллельных центральной пря-

мой, получающейся в результате пересечения экрана и плоскости, для которой ∆φ = 0 (ось O1Z на экране, рис. 2).

Таким образом, интерференционная картина на экране – система чередующихся светлых и тёмных полос .Поскольку амплитуды сферических волн, излучаемых источниками S1 и S2, обратно пропорциональны расстоянию, а интенсивность волны прямо пропорциональна квадрату амплитуды, интерференционные максимумы имеют различную яркость. Наиболее яркой будет центральная полоса. Каждая из светлых полос ярче в точках, лежащих на оси O1Y.

Ордината любой светлой или тёмной полосы, соответствующей направлению излучения θ,

Сопоставляя выражения (1)-(3) и условия максимумов (или минимумов), можно рассчитать ширину интерференционных полос.

РЕШЕНИЕ

Ширину интерференционной полосы определим как расстояние между двумя соседними максимумами. Условие n-го максимума [см. (1), (2)]

где n = 0, 1, 2, ...

Так как d >> l, можно считать, что sin θ ≈ tg θ, тогда ордината n-го максимума на экране [см. (3), (4)]

yn = dλl n .

Ордината следующего максимума

yn+1 = dλ(n +1). l

Искомая ширина интерференционной полосы

∆y = yn+1 − yn = dlλ = 0,3 мм .

Таким образом, расстояние ∆y не зависит от порядка максимума, т. е. интерференционная картина имеет вид светлых и тёмных полос равной ширины.

Задача 21.3