МЭИ(ТУ) Физика

ния происходят с равными амплитудами и с одинаковой циклической частотой. Это позволяет считать, что, во-первых, все «изображающие» векторы равны по модулю, вовторых, их взаимное расположение с течением времени не изменяется, поэтому достаточно показать положение «изображающих» векторов в момент t = 0.

Вектор a1, изображающий процесс ξ1 = A1cos ωt, расположится вдоль оси x; угол, образуемый другими векторами с осью x, определяется соответствующей начальной фазой φ0k = (k – 1)Θ. Векторная диаграмма для произвольного Θ

показана на рис. 10. [Очевидно, Θ есть разность начальных фаз между k-м и (k + 1)-м колебаниями, где k = 1, 2, 3, 4.] Вектор А соответствует результирующему колебанию. Его модуль, как видно из рисунка, зависит от угла Θ и может быть рассчитан в общем виде.

В этом случае все «изображающие» векторы сонаправлены и А = 4A1. Если «изображающие» векторы образуют замкнутый многоугольник, то результирующая амплитуда А = 0, т. е. все колебания как бы уничтожают друг друга. В данном случае таким замкнутым многоугольником будет квадрат и разность фаз

Векторные диаграммы для И1 = р2 и И2 = 32р приведены на рис. 11а, б. Так как

число складываемых колебаний чётное, результирующая амплитуда обращается в нуль также и при

Рис. 11

В этом случае векторы, соответствующие процессам 1 и 2, 3 и 4, направлены в противоположные стороны и попарно уничтожают друг друга. Условия (4) и (5) могут быть сведены к условию

где m ≠ N, 2N, ... (в данном случае N = 4). Следует обратить внимание на то, что условие

(3) для Θ (постоянной разности фаз между двумя соседними колебаниями), соответствующее максимуму результирующей амплитуды А1, совпадает с условием максимума при сложении двух колебаний. Условие (6) нулевой результирующей амплитуды отличается от соответствующего условия при сложении двух колебаний.

Задача 21.7

Плоская монохроматическая волна длиной λ = 0,54 мкм падает на тонкую собирающую линзу L (рис. 12) с фокусным расстоянием f = 50 см. Вплотную за линзой расположена плоская диафрагма D с круглым отверстием, а за диафрагмой, на расстоянии d = 75 см от неё, находится экран Э, на котором наблюдается дифракционная картина. При каких радиусах отверстия в центре дифракционной картины будет максимум освещённости? Главная оптическая ось линзы перпендикулярна фронту падающей волны, плоскости диафрагмы и экрану наблюдения и проходит через центр С отверстия.

АНАЛИЗ

Для расчёта дифракционной картины свободную часть фронта волны следует разбить на зоны Френеля. Как известно, зона Френеля – это свободный участок фронта волны, крайние вторичные (виртуальные) источники которого посылают в рассматри-

ваемую точку волны с разностью фаз π, т. е. с разностью хода ∆Φ = λ/2 (под крайними виртуальными источниками понимаются такие, которые находятся на минимальном и максимальном расстояниях от точки наблюдения). Так как волны от всех виртуальных источников, располагающихся на открытой части фронта падающей волны (т. е. в отверстии), распространяются в одной среде (в воздухе), то разность хода ∆Φ определяется только разностью расстояний от виртуальных источников до точки М.

На линзу, по условию, падает пучок параллельных лучей (плоская волна), которые за линзой должны собраться в её главном фокусе F. Это значит, что на диафрагму с отверстием падает световая волна, фронт которой – сфера радиуса R = f с центром в главном фокусе F линзы. Зоны, проведённые из точки М экрана, лежащей на перпендикуляре, опущенном из центра отверстия, имеют форму сферических колец; первая зона – форму шарового сегмента. На рис. 13 показаны (в сильно увеличенном масштабе) и обозначены цифрами первые три зоны.

Если линза тонкая, то центр зоны 1 практически совпадает с точкой О – центром линзы. Так как фронт волны обращён вогнутостью к экрану, то расстояния от края зоны 1 до точки М меньше, чем ОМ, на λ/2, от края зоны 2 – на 2λ/2 и т. д. Тогда расстояние от точки В (край отверстия) до точки М

где k = 1, 2, 3, ... – число зон Френеля, которые отверстие диафрагмы оставляет открытыми. Так как зоны Френеля равновелики по площади, а результирующие волны от двух соседних зон Френеля приходят в точку М с разностью фаз π, то максимум освещённости в точке М наблюдается тогда, когда отверстие в диафрагме оставляет открытым нечётное число зон Френеля. Это соответствует k = 1, 3, 5, … в выражении (1).

Условие (1) для нечётных k совместно с геометрическими соотношениями, которые легко могут быть получены при рассмотрении треугольников ВСМ и BCF, позволит найти искомый радиус отверстия.

РЕШЕНИЕ

Если обозначить расстояние ОС через х, то OM = d + x, СF = f – х.

Треугольники ВСМ и BCF прямоугольные, и с учётом выражения (1) можно записать

где r – искомый радиус отверстия. Раскрывая скобки и пренебрегая членами, содержащими х2, λ2 и хλ, как малыми величинами второго порядка, получим

Уравнения (2) составляют систему относительно неизвестных х и r. При совместном решении этой системы находим

r = dkλ−dff .

Если k = 1, то радиус отверстия r = 0,90 мм.

Задача 21.8

Плоская монохроматическая волна интенсивности I0 падает нормально на плоскую диафрагму Д (рис. 14) с круглым отверстием радиуса r. На каком расстоянии от диафрагмы следует расположить экран наблюдения Э, чтобы для точки М экрана, лежащей на одном перпендикуляре с центром С отверстия последнее включало одну зону Френеля? Какова интенсивность света в этом случае в точке М? Как изменится интенсивность, если закрыть

половину площади отверстия (центральную часть или по Рис. 14 диаметру)? Длина волны падающего света λ.

АНАЛИЗ

Если на диафрагму с отверстием падает световая волна, то для расчета дифракционной картины свободную часть фронта падающей волны следует разбить на зоны Френеля – участки, крайние виртуальные источники которых посылают в точку наблю-

дения волны с разностью фаз ΘΦ = π, т. е. с разностью хода ∆Ц = λ2 . Если всё простран-

ство между отверстием диафрагмы й экраном наблюдения однородно, то разность хода равна разности расстояний от крайних виртуальных источников зоны до рассматриваемой точки экрана наблюдения. По условию, падающая волна плоская, точка M лежит

на перпендикуляре, восставленном из центра отверстия, поэтому первая (центральная) зона Френеля представляет собой круг с центром в точке С, все последующие зоны – плоские концентрические кольца. Расстояние от крайней точки В первой зоны, совпадающей в данном случае с отверстием в диафрагме, до точки М больше, чем расстоя-

Так как интенсивность волны, приходящей в какую-либо точку пространства, прямо пропорциональна квадрату амплитуды волны, приходящей в эту же точку пространства, то для расчета интенсивности следует провести геометрическое построение, которое позволило бы найти амплитуду А1 результирующего колебания, приходящего в точку M от всех виртуальных источников первой зоны, и амплитуду А0 результирующего колебания при отсутствии диафрагмы (т. е. когда число открытых зон Френеля k → ∞). Разобьём первую зону на отдельные равные элементы, настолько малые, чтобы все виртуальные источники такого элемента посылали в точку М волны в одной фазе. Это возможно, если все точки этого элемента равноудалены от точки М. Такими элементами можно считать тонкие кольца толщины ∆r с центром в точке С. Пусть θ1 – разность фаз между волнами, приходящими в точку М от соседних колец, ai – амплитуда результирующей волны, посылаемой одним кольцом. Тогда, используя векторный метод сложения гармонических колебаний, можно найти результирующую амплитуду в точке М от первой зоны. Однако результат будет тем точнее, чем тоньше каждое из рассматриваемых колец. В пределе ∆r → 0, а число таких элементарных колец m → ∞.

так как крайние элементарные кольца соответствуют крайним виртуальным источникам одной зоны;

где L1 – результирующая амплитуда, которая получилась бы, если бы волны от всех элементарных колец первой зоны пришли в некоторую точку пространства без сдвига по фазе. Следовательно, при суммировании всех элементарных векторов ai, каждый из которых стремится к нулю, получится полуокружность, длина которой L1. Если

считать, что начальная фаза колебаний, приходящих в точку М от центра первой зоны, равна нулю, то окружность будет располагаться так, как на рис. 15а, результирующая амплитуда А1 равна диаметру этой полуокружности. Если проделать подобное построение для второй зоны, то вновь получится полуокружность, располагающаяся так, как показано на рис. 15а пунктиром. Длина этой второй полуокружно-

сти L2 < L1. Аналогичный результат будет для любой другой зоны, причём полуокружности, соответствующие чётным и нечётным зонам, будут располагаться так же, как L2 и L1 соответственно. Чем больше номер зоны, тем меньше длина соответствующей полуокружности. Согласна теории Френеля, амплитуда вторичных волн, излучаемых виртуальными источниками, прямо пропорциональна косинусу угла между нормалью к фронту волны и лучом, идущем от виртуального источника к точке наблюдения. Чем больше номер зоны, тем больше этот угол. Изменением амплитуды в пределах одной зоны можно пренебречь.

Подобные построения позволят найти амплитуды Аi результирующих колебаний в точке М в зависимости от площади и формы отверстия в диафрагме.

Если закрыть часть отверстия так, что отверстие окажется меньше первой зоны Френеля, то разность фаз Θ между крайними виртуальными источниками, располагающимися в центре и по внешней границе зоны, меньше π. При векторном построении получится только часть дуги полуокружности. Центральный угол, соответствующий этой дуге, равен Θ. Длина хорды, стягивающей дугу, равна амплитуде результирующего колебания. Если, наоборот, закрыть центральную часть отверстия так, что открытым останется кольцо, концентричное отверстию, то при векторном построении получится оставшаяся часть полуокружности, по которой можно найти фазу и амплитуду результирующего колебания. Зная амплитуды, можно найти соответствующие интенсивности

I, так как в любом случае Ii ~ Ai2 .

РЕШЕНИЕ

Используем равенство (1) и теорему Пифагора для ∆ВСМ:

откуда, пренебрегая λ2/4 как малой величиной второго порядка, получим

d = r12 .

λ

При полностью открытом волновом фронте построение приводит к спирали, по-

где А1 – амплитуда результирующего колебания при условии, что радиус отверстия равен радиусу первой зоны.

Падающая волна – плоская. Это значит, что интенсивность света, приходящего в точку М без диафрагмы, равна интенсивности I0 падающей волны.

При диафрагме, отверстие которой совпадает с первой зоной, интенсивность [см.

(4)]

I = 4I0 .

Если закрыть центральную часть отверстия, то это равнозначно тому, что на рис. 15а останется только верхняя половина дуги L1, и результирующая амплитуда

A1 2 = A21 . Тогда

I12 = I21 = 2I0 .

Если закрыть внешнюю половину первой зовы, то результирующая амплитуда колебаний в точке М не изменится. Изменится только начальная фаза ψ результирующего колебания (рис. 15a, пунктир).

Если закрыть половину первой зоны по диаметру, то амплитуда волны, испускае-

мой открытой половиной каждого элементарного кольца, ai′ = a2i , тогда

lim mai′ = L1 .

m→∞ 2

Фазовые соотношения при этом не изменяются. Следовательно, векторное построение даёт полуокружность, длина которой L´ = L1/2. Соответственно результирующая амплитуда равна диаметру этой полуокружности:

A1′2 = A21 .

Интенсивность света в точке наблюдения

I1′2 = I41 = I0 .

Задача 21.9

Плоская монохроматическая волна (длина волны λ = 0,60 мкм) падает на диафрагму Д с узкой щелью ширины b = 0,04 мм (рис. 16а). За щелью находится собирающая линза L (фокусное расстояние f = 40 см), в фокальной плоскости которой расположен экран наблюдения Э. Найти положения минимумов первого и второго порядков на экране и относительную интенсивность первого максимума. Построить график распределения интенсивности в дифракционной картине.

ский фронт, повёрнутый по отношению к фронту падающей волны на некоторый угол φ – угол дифракции. В падающей волне колебания во всех точках фронта происходят в одинаковой фазе. Вдоль фронта дифрагированной волны фаза от точки к точке изменяется, и для точек А и В (рис. 16б) разность фаз

Эта разность фаз, однозначно определяемая углом дифракции φ, сохраняется вплоть до соответствующей точки экрана. Тонкая линза не изменяет фазы проходящей через неё волны.

Для того чтобы найти условия минимума или максимума, не проводя расчёта зависимости интенсивности света от угла дифракции, разобьём щель на зоны Френеля. В данной схеме зоны эти имеют форму тонких полос, расположенных вдоль щели, ширина их, очевидно, зависит от угла дифракции. Минимум будет наблюдаться, если в щель уложится чётное число зон Френеля. В этом случае разность фаз Θ – разность фаз между волнами, идущими от крайних виртуальных источников щели, – должна быть равной четному числу π. Поэтому условие минимума для щели [см. (1)] имеет вид

где φm – угол дифракции, соответствующий минимуму m-го порядка. При дифракции Фраунгофера в точках, соответствующих минимуму интенсивности, волны, приходящие от соседних зон Френеля, гасят друг друга полностью, так как вследствие параллельности лучей амплитуды их одинаковы.

При наблюдении под углом φ = 0 имеет место центральный максимум (волны от всех виртуальных источников щели имеют одинаковую фазу). Приближённое условие максимума k-го порядка:

В этом случае в щели укладывается 2k + 1 зон Френеля. Выражения (2) и (3) при известном фокусном расстоянии линзы позволят найти положения минимумов и максимумов на экране. Для оценки интенсивностей следует провести геометрическое сложение колебаний, приходящих в некоторую точку экрана, которое позволит найти амплитуду Аφ результирующего колебания в некоторой точке экрана, соответствующей углу дифракции φ.

Разобьём для этого щель на z очень узких элементарных полосок ширины ∆b каждая. При достаточно малых значениях ∆b можно считать, что все виртуальные источники одной элементарной полоски излучают волны, которые при заданном угле φ подходят к линзе без разности хода. Так как тонкая линза не изменяет фазы проходящих через неё волн, эти волны придут к соответствующей точке экрана также без сдвига по фазе. Обозначим αi разность фаз между волнами от двух соседних элементарных полосок; ai – амплитуду результирующей волны, излучаемой одной полоской. Очевидно, результат векторного сложения будет тем точнее, чем меньше ширина ∆b каждой элементарной полоски и соответственно чем больше число z таких полосок. В пределе при ∆b → 0 число z → ∞. В этом случае

lim zαi = И = 2λрbsinϕ ,

z→∞

где Θ – разность фаз между волнами, излучаемыми виртуальными источниками, расположенными по краям щели;

lim zai = A0 ,

z→∞

где A0 – результирующая амплитуда колебаний, которая имела бы место, если бы волны от всех виртуальных источников приходили в некоторую точку экрана без разности фаз.

В данной схеме такой точкой является точка О, совпадающая с главным фокусом линзы. В точке О собираются лучи, параллельные оптической оси линзы, для которых угол дифракции φ = 0.

При векторном сложении колебаний, когда каждый из «изображающих» векторов стремится к нулю, получим плавную кривую, имеющую форму дуги окружности; её длина L = A0, где A0 – результирующая амплитуда в точке О экрана; соответствующий этой дуге центральный угол равен Θ (рис. 17). Искомая амплитуда Aφ – хорда, стягивающая эту дугу.

Для расчета Aφ рассмотрим ∆COD. Очевидно,

OD = A2ϕ = r sin И2 .

Радиус окружности r = L/Θ. Тогда

sin 2 И

Aϕ = A0 ( )2 ,

И 2 2

где A0 – амплитуда результирующего колебания в точке x = 0 экрана. Учитывая, что ин-

тенсивность I ~ Aϕ2 , получим

sin 2 И

I = AI0 (И 2)22 , (4)

где I0 ~ A02 – интенсивность центрального максимума; Θ = (2π/λ) b sin Θ – разность фаз между волнами, приходящими в данную точку экрана от крайних виртуальных источников на щели.

Как следует из выражения (4), I = 0, если sin (Θ/2) = 0, т. е. Θ/2 = mπ. где m = 1, 2, 3,

... или Θ = 2mπ. Учитывая выражение (1), получим условие минимума, совпадающее с

(2): b sin φ = mλ.

Значения угла φ, при которых интенсивность максимальна, можно рассчитать, как обычно, найдя dI/dΘ и приравняв эту производную нулю. Полученное уравнение не