МЭИ(ТУ) Физика

нении по всем свободным электронам оно обратится в нуль. Таким образом, искомый дипольный момент р0 = ex(t) определяется только последним членом выражения (6):

Благодаря сделанному ранее предположению о том, что падающая волна плоскополяризована, последнее равенство можно записать в векторном виде:

p0 = − e2E2 .

meω

Тогда [см. (4)] вектор поляризации

P = − e2 N0E

meω2

и на основании (2) и (3)

РЕШЕНИЕ

Подставив выражение (7) в (1), найдём фазовую скорость как функцию циклической частоты, т. е. закон дисперсии:

Из этого выражения очевидно, что в данной среде фазовая скорость электромагнитных волн больше скорости света в вакууме.

Следует помнить, что весь вывод основывается на приближённой модели, согласно которой разреженная плазма представляет собой совокупность положительных ионов и электронов, не взаимодействующих между собой.

Предположение о плоскополяризованной волне не принципиально и введено только для упрощения расчета. Пренебрежение взаимодействием волны с ионами также несущественно, так как дипольный момент, обусловленный колебаниями ионов, пренебрежимо мал вследствие очень большой массы ионов по сравнению с массой электронов.

Полученное выражение фазовой скорости хорошо согласуется с опытом в большом диапазоне частот – от видимого света до радиоволн (ω > 108 с–1).

Задача 22.4

На плоскопараллельную стеклянную пластинку падает под углом Брюстера iБр узкий пучок естественного света. Коэффициент отражения ρ = 0,080. Найти степень поляризации света, прошедшего через пластинку.

АНАЛИЗ

Степень поляризации частично поляризованного света

где Imax, Imin – максимальная и минимальная интенсивности плоскополяризованных

дения (т. е. плоскости, проходящей через луч падающий и луч отражённый). Световой пучок, прошедший через верхнюю поверхность пластинки (луч 2), содержит волны, в которых вектор Е колеблется в плоскости падения Е|| (на рисунке обозначены черточ-

ками), и волны, в которых вектор Е колеблется нормально плоскости падения Е (на рисунке обозначены точками). Так как луч 2 падает на нижнюю поверхность пластины тоже под углом Брюстера, то луч 3, отражённый от неё, также полностью поляризован. Свет, прошедший через обе поверхности (луч 4), поляризован частично. Суммарная ин-

тенсивность этого пучка складывается из интенсивности I||(4) волн, в которых вектор Е колеблется в плоскости падения, и интенсивности I (4) волн, в которых вектор Е колеб-

лется нормально плоскости падения. (Здесь и в дальнейшем верхний цифровой индекс соответствует номеру светового пучка.) Так как пучки 1 и 3 содержат только волны, в

которых вектор Е колеблется нормально плоскости падения, очевидно, что I||(4 ) > I (4 ) .

Поэтому

Imax(4 ) = I||(4 ) , Imin(4) = I (4).

Интенсивность волн, в которых вектор Е лежит в плоскости падения, при условии прозрачности пластины и падения света под углом Брюстера не изменяется при прохождении через пластину, поэтому

Согласно теории Френеля, отношение интенсивности отражённого света к интенсивности падающего для выбранного направления колебаний вектора E (в данном слу-

чае для E ) зависит только от суммы (либо разности) углов падения и отражения. Так как данная пластинка плоскопараллельная, условия отражения на верхней и нижней гранях одинаковы, поэтому с учётом выражения (5)

Очевидно, что интенсивность соответствующих волн в световом пучке, прошедшем через нижнюю поверхность,

Задача 22.5

На пути частично поляризованного света помещён идеальный николь (поляризационная призма). При его повороте на угол α = 60° из положения, соответствующего максимальному пропусканию света, интенсивность прошедшего света уменьшилась в три раза. Найти степень поляризации падающего света.

АНАЛИЗ

Данная призма Николя, как и всякое идеальное поляризующее устройство, пропускает только такой свет, в котором вектор Е совершает колебания в строго определённом направлении, называемом главным направлением данного поляризатора. Падающий свет, по условию, частично поляризован.

Допустим, что при распространении света в направлении оси OZ (рис. 22) суммарная интенсивность Ix волн, в которых вектор Е колеблется вдоль оси ОХ, максимальна. начальном положении, когда николь пропускает максимум света, главное направление АА1 николя, очевидно, параллельно оси ОХ, и интенсивность прошедшего света

При повороте николя на угол α от начального положения через николь пройдёт и часть света, в котором вектор напряженности Е совершал колебания вдоль оси ОХ, и часть света, в котором вектор Е совершал колебания вдоль оси OY. Если предположить, что волны с интенсивностью Ix обладали некоторым амплитудным значением вектора напряжённости Е01, то, как видно из рисунка, при повороте николя через него пройдёт

только составляющая, амплитуда которой пропорциональна cos α. Если в волнах с интенсивностью Iy амплитуда вектора напряжённости Е02, то через николь пройдёт составляющая, амплитуда которой пропорциональна sin α.

Таким образом, после поворота николя через него проходят волны, в которых до прохождения через николь вектор Е совершал колебания как вдоль оси ОХ, так и вдоль оси OY. После прохождения николя во всех волнах вектор Е совершает колебания в на-

правлении A′A1′ – новом главном направлении николя. Амплитуды каждой из прошед-

ших составляющих равны:

Следует обратить внимание на то, что эти волны не когерентны, так как в падающем пучке волны, в которых векторы Е колеблются во взаимно перпендикулярных направлениях, обусловлены разными актами испускания. После прохождения николя некогерентность импульсов сохраняется и суммарная интенсивность света, прошедшего

шения (1)-(3) позволяют найти степень поляризации падающего света.

РЕШЕНИЕ

Степень поляризации светового пучка до прохождения николя

Из выражений (2) и (3) следует, что

I2 = I x cos2 α + I y sin 2 α .

Так как I2 = I1/3, то [см. (1)]

I x cos2 α + I y sin 2 α = I3x ,

откуда для α = 60°

I x = 9I y .

Тогда [см. (4)] Р = 0,8.

венного луча (при условии, что направление распространения света перпендикулярно оптической оси кристалла) меньше, чем показатель преломления no обыкновенного луча. Тогда скорость v1 Ez-волны внутри кристалла максимальна; скорость v2 Ey-волны минимальна. Пройдя через пластинку толщины d, эти волны приобретут добавочную разность фаз

Так как v1 > v2, Ez-волна начнёт опережать во фазе Ey-волну. Так как d (no − ne )= λ2 ,

то результирующая разность фаз с учётом (1) и (2)

ϕz −ϕy = ∆ϕ + (ϕ0 z −ϕ0 y )= р2 .

При такой разности фаз световая волна окажется поляризованной по левому кругу.

Задача 22.7

Лазер на рубине излучает в импульсе длительностью τ = 0,5·10–3 с энергию W = 1 Дж в виде почти параллельного пучка с площадью сечения S = 0,8 см2. Длина волны излучения лазера λ = 0,694 мкм. Найти плотность потока фотонов в пучке и давление света на площадку, расположенную перпендикулярно пучку. Коэффициент отражения ρ = 0,6. Расчёт давления произвести с помощью корпускулярных представлений.

АНАЛИЗ

Согласно корпускулярной теории, свет – это поток фотонов, каждый из которых обладает энергией εν, и импульсом pν. Как известно,

где h = 6,6·10–34 Дж·с – постоянная Планка. Направление вектора pν совпадает с направлением распространения света.

Учитывая первое из выражений (1), можно найти общее число фотонов, излучаемых лазером:

Если мощность лазера постоянна в течение времени излучения и постоянна по площади поперечного сечения пучка, то плотность потока фотонов можно записать в виде

Давление света на произвольную площадку σ определяется изменением импульса фотонов при их ударе об эту площадку. Отражение света равнозначно абсолютно упругому удару, поглощение – неупругому. Если площадка расположена перпендикулярно направлению распространения света, т. е. перпендикулярно импульсу pν фотона до удара, то импульсы фотона после упругого и неупругого ударов соответственно

pν′ = −pν , pν′′ = 0 .

Если за некоторый промежуток времени ∆t о площадку ударится ∆N фотонов, причем ∆N´ из них отразится, то суммарное изменение импульса всех ударившихся о площадку фотонов

Зная коэффициент отражения, равный отношению отражённой энергии к падаю-

Средняя за промежуток времени ∆t сила f , действующая на площадку σ со сто-

роны фотонов, согласно второму и третьему законам Ньютона,

РЕШЕНИЕ

Подставляя выражение (2) в (3), получаем

j = hcSWλτ = 8,8 1025 с−1 м−2 ,

j – плотность потока фотонов.

Для того чтобы определить давление света, подставим выражения (4) и (6) в (5):

∆P = −pν ∆N(1+ ρ).

падающем пучке и, следовательно, перпендикулярна площадке σ, поэтому можно использовать формулу (8):

pс = pν (1+ ρ)∆N .

σ∆t

Так как плотность j потока фотонов не изменяется со временем и вдоль сечения светового пучка, то очевидно, что ∆N/(σ∆t) = j. Учитывая второе из выражений (1), получим

pс = hj(1λ+ ρ) = 0,13 Па.

Задача 22.8

На уединённый медный шарик падает монохроматический свет, длина волны которого λ = 0,165 мкм (ультрафиолет). До какого потенциала зарядится шарик, если работа выхода электрона для меди А = 4,5 эВ?

АНАЛИЗ

Под действием падающего ультрафиолетового излучения происходит вырывание электронов из металла (внешний фотоэффект). Вследствие вылета электронов медный шарик заряжается положительно. Электрическое поле шарика тормозит вылетевшие электроны, однако если их кинетическая энергия достаточно велика для преодоления электростатического притяжения, то они будут уходить практически в бесконечность; при этом потенциал шарика будет возрастать. Максимальный потенциал φmax, до которого может зарядиться шарик, определяется наибольшей начальной кинетической энергией Wк электронов, с которой электроны вылетают из металла:

Эта энергия может быть определена из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта:

где h – постоянная Планка, ν – частота фотона падающего излучения.

РЕШЕНИЕ

Найдём максимальную кинетическую энергию электронов при вылете их из метал-

ла [см.(2)]:

Uз = 1 В. Найти контактную разность потенциалов. Работа выхода для вольфрама

А = 4,5 эВ.

АНАЛИЗ

На рис. 24 представлена вольтамперная характеристика фотоэлемента, работающего на внешнем фотоэффекте, По оси абсцисс отложена приложенная разность потенциалов между освещаемым катодом и анодом, по оси ор-

динат – сила фототока. В области U > 0 фотоэлектроны, вылетающие с поверхности катода, попадают в ускоряющее внешнее поле. В области U < 0 внешнее поле тормозит движение электронов, и наличие тока в этой области однозначно свидетельствует о том, что фотоэлектроны покидают катод с начальной кинетической энергией, позволяющей преодолевать приложенное тормозящее поле.

Очевидно, что максимальная кинетическая энергия Wк электронов должна определять задерживающий потенциал Uз, при котором сила фототока обращается в нуль: