МЭИ(ТУ) Физика

В интерференционной установке с бизеркалами Френеля источником света служит очень узкая щель, параллельная линии пересечения зеркал, находящаяся на расстоянии r = 10 см от неё (рис. 4). Угол между зеркалами α = 12'. Интерференционная картина наблюдается на экране Э, расположенном на расстоянии b = 120 см от линии пересечения зеркал. Найти: 1) ширину интерференционных полос на экране и их число; 2) сдвиг интерференционной картины при смещении щели на расстояние δS = 1,0 мм при неизменном расстояния r; 3) максимальную ширину щели, при которой интерференционная картина будет достаточно отчётливой.. Источник даёт монохроматическое излучение с длиной волны λ = 5500 Å.

АНАЛИЗ

В данном опыте источником света является узкая щель, которую можно рассматривать как светящуюся линию. Система бизеркал Френеля дает два мнимых изображения этой светящейся линии, располагающихся параллельно самому источнику и линии пересечения зеркал, т. е. параллельно оси O1Z1. Каждой точке S светящейся щели (линии) соответствуют два мнимых изображения S' и S". Эти три точки лежат в плоскости, параллельной плоскости X1O1Y1. На рис. 4 изображены точка Sк, соответствующая се-

редине светящейся щели (линии), и её мнимые изображения Sк′ и Sк′′. Любая пара мни-

мых источников, являющихся изображениями одной точки светящейся линии, напри-

мер Sк′ и Sк′′, представляет собой точечные когерентные источники. Источники явля-

ются когерентными, так как в любой момент они в точности повторяют все особенности излучения светящейся точки Sк: начальную фазу, направление колебаний вектора Е, возможное отклонение от монохроматичности.

Различные точки самой светящейся линии не когерентны между собой. Соответственно их мнимые изображения представляют собой некогерентные источники, т. е. волны, приходящие в одну точку экрана от этих источников, не дают интерференционных полос.

Волны, распространяющиеся от каждой пары когерентных источников, образуют в пространстве интерференционную картину в виде системы гиперболоидов вращения, каждый из которых соответствует определенной разности фаз. Если расстояние I между

мнимыми изображениями светящейся линии мало по сравнению с расстоянием d от них до экрана Э, то сечения гиперболоидов плоскостью экрана можно считать системой отрезков прямых, параллельных оси OZ. Разность фаз между волнами, приходящими от какой-либо пары когерентных источников (например, Sк′ и Sк′′) в некоторую точку эк-

рана, зависит в этом случае только от угла θ, который каждый луч образует с осью О1Х1

Таким образом, положение интерференционного максимума m-го порядка определяется углом θ и параметрами установки (r, α, b), от которых зависят расстояния l и d.

Для того чтобы с помощью равенств (1) и (2) рассчитать положение интерференционных полос и их ширину, рассмотрим ход интерферирующих лучей.

Точки Sк′ и Sк′′ являются мнимыми изображениями точ-

ки Sк соответственно в зеркалах I и II (рис. 5). По законам построения изображений в плоском зеркале расстояния

CSк′ = CSк′′ = CSк = r ,

т. е. все три точки Sк, Sк′ и Sк′′ лежат на окружности радиуса r с центром в точке С. Поэтому центральный угол

= dλm ym l

Число интерференционных полос можно определить, зная протяжённость области, в которой локализована интерференционная картина.

Смещение источника на расстояние δS (см. рис. 5) при неизменном r соответствует перемещению светящейся линии по цилиндрической поверхности радиуса r, ось которой совпадает с линией пересечения зеркал. При этом и источник Sк, и его мнимые изо-

бражения Sк′ и Sк′′ останутся на окружности радиуса r. При смещении источника на расстояние δS против часовой стрелки, например, в точку L, его мнимые изображения переместятся (по часовой стрелке) в точки L' и L"'. Положение этих точек при заданном положении точки L определяется законами построения изображений в плоском зеркале. Так как LL' и LL" перпендикулярны соответствующим зеркалам, смещения мнимых изображений Sк′L′ и Sк′′L′′ равны смещению δS источника Sк и соответствует повороту на угол δφ = δS/r. Расстояние между мнимыми источниками остаётся равным l.

В действительности любой светящийся источник обладает конечными размерами. Интерференционная картина представляет собой наложение интерференционных полос от линий, на которые можно разбить реальную светящуюся щель. При этом эти отдельные светящиеся линии не когерентны между собой. Для того чтобы интерференционная картина была достаточно различима,

расстояние δy между максимумами одного порядка, получаемыми от противоположных краёв щели, должно быть не больше половины ширины интерференцион-

ных полос, создаваемых в данной установке идеально узкой светящейся щелью. На рис. 6 сплошная линия показывает распределение интенсивности вдоль оси OY на экране в районе двух соседних максимумов, если интерференционная картина создана идеальной светящейся линией, расположенной на одном из краёв щели. На рисунке показаны максимумы m-го и (m + 1)-го порядков. Пунктирная кривая изображает максимум m-го порядка интерференционной картины, создаваемой светящейся линией, расположенной на другом краю щели.

РЕШЕНИЕ

1. Запишем выражение (5) для m-й и (m + 1)-й светлых полос:

где AB∆y – число промежутков между максимумами.

Таким образом, число интерференционных полос N = 9.

2. При смещении источника интерференционная картина на экране не изменяется, а только смещается, в данном случае вправо (против оси OY). Сдвиг интерференционной картины

3. Расстояние δу' между двумя максимумами одного порядка от двух интерференционных картин, полученных от линейных источников, расположенных на краях щели, должно удовлетворять условию

Задача 21.4

Свет с длиной волны λ = 0,55 мкм падает на поверхность стеклянного клина под углом i = 15° (рис. 7). Показатель преломления стекла n = 1,5, угол при вершине клина α = 1´. Найти расстояние между двумя соседними минимумами при наблюдении интерференции в отражённом свете. Как изменится интерференционная картина, если клин освещать рассеянным светом той же длины волны? Рассчитать расстояние от вершины клина, на

Рис. 7

котором при угле падения i = 15° интерференционные

полосы начнут исчезать, если степень немонохроматичности света ∆λ/λ = 0,01.

АНАЛИЗ

По условию, на стеклянный клин падает плоская волна, которую в первом приближении можно считать монохроматической. При попадании на любую прозрачную пленку свет частично проходит сквозь нее и частично отра-

считать, что интерференционная картина при рассмотрении её в отражённом свете локализована на верхней поверхности клина. В частности, это позволяет использовать для расчета разности хода лучей схему, изображённую на рис. 8.

При отражении от верхней поверхности, т. е. от оптически более плотной среды, происходит изменение фазы волны на π, что соответствует изменению разности хода на λ/2. Таким образом, оптическая разность хода между лучами 1 и 2, отразившимися от

где f(d, n, i) – некоторая функция толщины плёнки, её показателя преломления и угла падения лучей.

При освещении параллельным пучком монохроматического света интерференционная картина – форма и размеры светлых или тёмных полос – зависит только от профиля самой плёнки. Очевидно, что в данном случае картина представляет собой чередование тёмных и светлых полос, параллельных ребру клина. Каждая полоса является множеством точек, для которых толщина стеклянного клина одинакова.

Для того чтобы выражение (1) записать в явном виде, рассмотрим ход лучей 1 и 2. Разность расстояний, проходимых ими, (AC + CB) – KB. Оптическая разность хода с учётом потери полуволны при отражении от верхней поверхности клина равна

Так как интерференционная картина образуется при зеркальном отражении света от обеих поверхностей клина, то при освещении его параллельным пучком наблюдение интерференционных полос возможно только при рассмотрении верхней поверхности клина под определённым углом зрения, зависящим от угла падения i. Если падающий свет рассеянный, то отражение будет происходить под разными углами. При определённом угле зрения глаз как бы выбирает интерференционные полосы, образованные лучами, падающими на клин под определённым углом i. Поэтому изменение угла зрения соответствует изменению угла I в уравнении (2).

При относительно большой толщине клина начнёт сказываться заданная немонохроматичность света. Если свет не является монохроматическим, то интерференционные картины, соответствующие различным длинам волн, накладываются друг на друга,

врезультате чего интерференционная картина может стать неразличимой.

Вусловии не оговорено, каков характер немонохроматичности падающего света: сплошная полоса, длины волн в которой лежат в пределах от λ до λ + ∆λ, или две тонкие линии с длинами волн λ и λ´ = λ + ∆λ. Если вести расчёт для второго случая, то интерференционная картина начнёт исчезать, когда расстояние между максимумами одного порядка для длин волн λ и λ´ окажется больше половины ширины интерференционных полосы, рассчитанной для λ. Это означает, что интерференционная картина ещё разли-

чима, если максимум m-го порядка для λ´ (рис. 6, пунктирная кривая) располагается в середине между максимумами m-го и (m + 1)-го порядка для λ, т. е. совпадает с минимумом m-го порядка для λ. Интерференционная картина начнёт исчезать (расплываться), если максимум m-го порядка для λ´ окажется ближе к максимуму (m + 1)-го порядка для λ.

РЕШЕНИЕ

Для расчёта расстояния между соседними тёмными полосами найдём толщину клина, соответствующего таким полосам. Условия минимумов m-го и (m + 1)-го порядков [см. (2)] можно записать в виде

где m = 1, 2, … (при m = 0 d0 = 0 – тёмная полоса по ребру клина). Вычтем одно выра-

Как видно из рис. 7, h = ∆s sin α. Тогда расстояние между соседними тёмными по-

Предельное условие различимости интерференционной картины заключается в том, что максимум m-го порядка для λ´ (рис. 6, пунктирная кривая) совпадает с минимумом m-го порядка для λ. Светлая полоса m-го порядка для λ´ удовлетворяет условию

Тёмная полоса m-го порядка для длины волны λ удовлетворяет первому из уравне-

уравнений (3), найдём, что наибольшая толщина клина, при которой интерференционная картина еще различима, равна

На расстоянии s > smax интерференционная картина исчезает.

Если падающий свет содержит длины волн, непрерывно изменяющиеся от λ до λ + ∆λ, то такую сплошную полосу можно представить как две линии шириной ∆λ/2 каждая, смещённые друг относительно друга на ∆´λ = ∆λ/2. Тогда, используя уже полученные выражения, найдём smax = 64 мм.

Задача 21.5

На плоскопараллельную плёнку с показателем преломления n = 1,3 падает нормально параллельный пучок белого света. При какой наименьшей толщине плёнка будет наиболее прозрачна для света с длиной волны λ1 = 0,60 мкм (жёлтый цвет)? При какой наименьшей толщине плёнка наиболее прозрачна одновременно для света с длинами волн λ1 и λ2 = 0,50 мкм (голубой цвет)?

1 На рисунке для наглядности угол падения лучей не равен нулю.

При отражении в точках В и С изменения фазы не происходит.

Если показатель преломления окружающей среды больше, чем показатель преломления плёнки, то изменение фазы на π произойдёт дважды и оптическая разность хода будет отличаться от выражения (1) на λ.

Плёнка наиболее прозрачна для света с заданной длиной волны, если разность хода, определяемая выражением (1), кратна четному числу полуволн (условие максимума):

где m = 1, 2, 3, ...

Приравнивая правые части выражений (1) и (2), можно, очевидно, ответить на поставленные вопросы.

РЕШЕНИЕ

Из выражений (1) и (2) для света с длиной волны λ1 получим

d = λ21nm . (3)

При такой толщине плёнка будет наиболее интенсивно окрашена в жёлтый цвет. Очевидно, наименьшая толщина плёнки соответствует m = 1 , т. е.

d1 = 2λn1 = 0,23 мкм.

Одновременное максимальное прохождение жёлтого и голубого света означает, что толщина плёнки удовлетворяет и условию (3), и условию

где k = 1, 2, 3, ...

Приравняв правые части выражений (3) и (4), найдём

λ1 = k .

λ2 m

Это значит, что наибольшая прозрачность одновременно для двух заданных длин волн возможна, если отношение этих длин волн равно отношению двух целых чисел. По условию,

λ1 = 6 = 12 = 18 и т. д., λ2 5 10 15

т. е. k = 6, т = 5 – минимально возможные значения. Наименьшая толщина плёнки, соответствующая этим значениям k и m [см. (3) и (4)],

d2 = 52λn1 = 62λn2 =1,15 мкм.

Таким образом, при толщине d2 = 1,15z мкм, где z – любое целое число, плёнка наиболее прозрачна одновременно для длин волн λ1 и λ2. Следует обратить внимание на то, что одновременная наибольшая прозрачность для двух длин волн оказывается возможной при толщине плёнки значительно большей, чем для одной длины волны. Следует также отметить, что в общем выражении для толщины плёнки (d = 1,15z) число z не должно принимать больших значений, так как в противном случае плёнка может оказаться прозрачной и для других длин волн.

Задача 21.6

Некоторое колебание возникает в результате сложения N = 4 колебаний одного направления, происходящих по закону ξk = A1 cos [ωt + (k – 1)Θ], где k – номер колебания, а А1 и Θ – постоянные коэффициенты. При каких значениях Θ амплитуда результирующего колебания максимальна и минимальна? Найти наибольшую результирующую амплитуду колебаний.

АНАЛИЗ

Результирующее значение ξ(t) в любой момент может быть выражено как

k =1

Так как каждый из процессов ξ(t) есть гармонический процесс с одной и той же циклической частотой ω, результирующий процесс также будет гармоническим с той же частотой:

Амплитуда А и начальная фаза ψ результирующего колебания могут быть найдены аналитическим методом при непосредственном решении тождества (1) после подстановки в него выражения (2) и выражений ξk(t) в явном виде. Однако результирующую амплитуду, а затем и условия, при которых она принимает экстремальные значения, проще найти, используя векторный метод сложения колебаний.

При использовании этого метода каждому гармоническому колебательному процессу ξk ставится в соответствие «изображающий» вектор ak. По условию, все колеба-