2003_-_Gmurman__TV_i_MS

ДОПОЛНЕНИЕ

А. Пример расчета многокаИ8JIьиоА систеМЫ

мaccoвoro обслуживании с отказами меТОАОМ МонтеКар.llО

Пусть в систему массового обслуживаиия с отка­

зами (заявка ПОI<идает такую систему, если все каналы

заняты), состоящую из N каналов, поступает простейший

поток заявок (см. гл. VI, § б), причем плотность распре­

деления промежутка времени между двумя последова­

тельнымн заявками задана:

f (Т) = л.е-"~ (л. > О, 0< 'f< 00).

Каждая заявка поступает в первый канал. Еслн п~рвьdi канал свободен~ то он обслуживает заявку; если первый

канал занят, то заявка поступает во второй канал, обслу­

живается им (если канал свободен) или передается в тре­ тий канал (если первый и второй каналы заняты) и т. д.

В случае, если в момент поступлення заявкн все ка­

налы заняты, наступает отказ, т. е. поступившая заявка

не обслуживается и из дальнейшего рассмотрения исклю­

чается.

Ведется подсчет числа обслуженных заявок и числа

отказов. Если заявка обслужена, то в «счетчик обслу­

женных заявок» добавляют единицу; при отказе t"ДИНИЦУ

добавляют в 4Ссче:гчик отказов".

Ставится задача: найти математические ожндания

числа обслуженных заявок и числа отказов за заданное

время Т. Для решения этой задачи производят n испы­ таний, каждое длительностью Т, и определяют в каждом испы!ании число обслуженных заявок Н число отказов.

Введем обозначения:

tOf)C1l-длительность обслуживания заявки каналом; t .. -момент освобождення i-ro канала;

тk- момент поступления k-й заявки;

тk-длительность времени между поступлениями k-й

все каналы свободны. Эга заявка поступит в первый

канал и будет им обслужена за время 106('" В счетчик

обслуженных заявок надо записать единицу.

Разыграем момент Т. поступления второй заявки, для

чего выберем случайное число '1 И разыграем Т1 (учиты­

вая, что 't'распределено по показательному закону) по

формуле (см. гл. XXI, § 7, пример 2)

Т1 = - (l/л) lп r l'

Следовательно, вторая заявка поступит в момент времени

Та = f 1 +Т1= О+Т1= Т1•

Если окажется, что t1 ~ Т: (вторая заявка поступила

_ после того, как первый канал освободился), то вторая

заявка будет обслужена первым каналом и в счетчик

обслуженных заявок надо добавить единицу.

Если же окажется, что t1 > T z• то первый канал занят, и заявка поступит во второй канал и будет им обслужена,

поскольку расчет начат в предположении, что все каналы

свободны; в счетчик обслуженных заявок надо добавить

единицу.

Дальнейший расчет производнтся аналогично. Если

внекоторый момент времени поступления очередной

заявки все каналы заняты, то наступает отказ и в счетчик

отказов надо добавить единицу.

Испытание заканчивается, если очередная заявка по­

ступит в момент времени, превышающий момент окончания

испытания, т. е. если T k + 1 > Т.

В итоге i-ro испытания в счетчиках окажутся соот­

ветственно число обслуженных заявок 'м,. оtlСJI И число

отказов 'м,. отк'

Пусть произведено всего n испытаний, каждое длитель­

ностью Т, причем ~ f-M испытании зарегистрировано

АС; обе.. обслуженных заявок и М; отк отказов. В качестве

оценок искомых математических ожиданий принимают

выборочные средние:

Для вычисления наименьшего числа испытаний. кото­

рые с надежностью 'V обеспечат наперед заданную верхнюю

452

границу ошнбкн б~ можно использовать формулу (см. гn.

Предполагалось, что время обслуживания - неслучаА­

ная величниа; еCJ1И время обслуживания случайно, то

расчет производится аиалогично. Разумеется для разы­

грывания случайного времени обслуживаиия иадо задать

8.КОПЫ его распределения для каждого канала.

На практике расчет производят ЭВМ.

Б. Применение мето.. Монте - КаРоЮ

к вwчислениlO оп~.еJleННWХ интеГРLl108

Приведем одии из способов вычисления определенных иитегралов методом Монте-Карло-сnособ IIсреднения nодынmегральной функцutl.

ТfеБУется найти оценку J: определениого интеграла

J == Sер (х)" . Рассмотрим случайиую величииу Х, распре-

•

делеииую равномерио в интервале интегрирования (о, Ь)

сплотиостью f (х) = 1/(Ь-а). Тогда математическое ожи­

даиие

OrcIOAa

ь

Sер (х)dx = (Ь-о)·М [ср (х)]•

•

Замени" математическое ожидание М [ер (Х)] его оцеи-

45э

кой-выборочной средней, ПОЛУЧИМ оценку J~ искомого

интеграла:

n

~ ер (Xj)

l~ = (b-а) . ...;I_=..;...I_-.

n

где х{-возможные зиачения случайной величины Х.

Так как величииа Х распределена равномерно в интер­

= ~ (Х+1) "; б) абсолютную погрешность l'- ,; 1; В) миинмальuое

1

ЧRCJЮ испытаниА. которые с надежностью 1'=0.95 обеспечат верхнюю rpаннцу ошибки 6=0.1.

Р еш е н и е. Используем формулу

/1=(3-1). ~~1-=-0--=2. ~~I-;:-O--

РезуJlЬТ8ТЫ 10 испытаниА приведеиы В табл. 36. Случайные числа

ВЗJlТы из приложения 9 с тремя зиаками после запятой.

Таблица з6

Номер не-\ 1121з14151617\8\9\10

пытання i

=xi+ 1

Сложнв числа последней строки таблнцы, 1IахоДим ~ q> (Х;) = 29,834.

454

Искомая Оценка интеграла

'~ =2.(29,834/10)=5,967.

б) Найдем абсолютную пог~шность, приняв во вниманне, что

3

1= ~ (х+ l)dx=6:

I

1/-1; I =6-5,967 =0,033.

В) Найдем дисперсию усредняемой функции q> (Х) = Х+1, учи­

тывая, что случайная ьеЛИЧИllа Х в интервале иитегрирования (1,3)

a 2 =D (Х+ I)=D (Х)= 1/3.

г) Найдем минимальное число испытаний, которые с нндеж­

ностью 0,95 обеспечат верхнюю границу ошнбки 6 = 0,1. Из равен­

ства Ф(t)=О,95/2=О,475 по таблице приложения 2 находим t=I,96.

Искомое минимальное Число ИСпытаний

В. Примеры СJlучайных процессов

1. Процесс Пуассона. Рассмотрим простейший

поток случайных событий, наступающих в интервале

одного события за малый промежуток времени tJ.t есть

щения вывода используем следствие. которое можно по-

и

лучить из приведенных выше своиств:

4) вероятность того, что за малое время tJ.t наступит

ровно одно собы'tие, пропорциональна 6.t с точностью до

бесконечно малой высшего порядка относительио At:

455

а) Найдем вероятность РО и) того, что за в р е м я

Д л и т е л ь н О С Т И t н е н а с т у п и т н и од н о г о с о­

б ы т и я. Для этого примем во внимание, что на проме­

жутке t + tJ.t не наступит НИ одного события, если на каждом из ДВУХ промежутков t и tJ.t не появится ии

одного события.

События «За время At не появилось ни одного собы­

тия., 4Споявилось одно событIiе», «появилось более одноrо

события» образуют полную группу, поэтому сумма ве­

роятностей ЭТИХ событий равна единице:

Ре (tJ.t) + Р) (tJ.t) + P k > 1 (tJ.t) = 1.

Заметим, что, перейдя к пределу при I1t -+ О, найдем

P.(O)=I. (****)

Подставим (***) в (Н):

Ре (t + I1t) = Р, (t) [1- лl1t -о (l1t)1.

Отсюда

РО (t +tJ.t)- Р. (t) = - 'АР.. (t) М-о (l1t) Ро (t).

Разделив обе части равенства на I1t и перейдя к пределу при tJ.t - О, получим дифференциальное уравнение

P~ (t) = - 'АР, (t),

общее решение которого

Ре (t) = Се-М.

Используя (НН), найдем, что С = 1 и, следовательно,

мя t ровно одного события. д'ля зтого опреде­

лим вероятность того, что З3 время t + I1t событие по­

явится один раз. Так будет в ДВУХ несовместных случаях:

466

1) событие наступит за время t и не наступит за время At,

2) событие не наступит за время t и наступит за время At.

явнтся два раза. Так буде'I в трех несовместных случаях:

По формуле полной вероятиости,

Р1 (! + At) = Р. (/) Ре (At) + Р. (/) Р. (At) + Р. (t) Р, (A/).

Заменим Р. (At), Р. (At) и Р. (/) соответственно по фор­

мулам (***), (*) и (**.....); примем во внимание условие 4; перенесем Р, (t) в левую часть равенства, разделим обе

его части на АI и перейдем к пределу при А' - о. 8 итоге

получим ди~реициальное уравнение

Р; (/) + ЛР, (t) = )"lte-1..1 .•

Решив это уравненне, найдем вероятность того. что за время t появится ровно два события:

(Щ'е-а"

Аналогично можно получить вероятность ТОГО, что за

время t наступит k событий:

(At). е-а"

P.(/) = kl •

условиям, то ЧИСЛО событий, наступающих за фиксиро­

ванное время t, распределено по закону Пуассона с па­

раметром Лt. Другими словами, если Х (t)-число событий

простейшего потока, наступивших за время t, то при

фиксированном t функция Х (t) есть СJlучайная величина,

распределенная по закону Пуассона с параметром Лt.

Функцию Х и) называют случайным nроцессом Пуассона. Очевидно, каждая реализация Х и) есть неубывающая

ступенчатая функuия.

Процесс Пуассона широко используется при решении

многих задач практики и особенно в теории массового

обслуживания.

3 а ме ч а н и е. Длите~'1ьность времени между появле­

ниями двух последовательных событий простейшего потока

(случайная величина Т) распределена по показательному

закону. Действительно, убедимся, что функция распре­ деления случайной величины Т имеет вид

F(t)= I-е-Лt •

События Т < t и Т ~ t противоположны, поэтому Р(Т< t)+P(T~t)=I.

или

F(t)+P(T~t)= 1.

Отсюда.

F (t) = 1- Р (Т ~ [).

Р (Т ~ ') есть вероятность того, что за время длительно­

сти t не появится ни одного события потока; эта вероят­

ность, как показано выше, равна е-Лt •

Итак.

F(t)=I-e- At ,

что и требовалось доказать.

2. Винеровский процесс. Известно, что если в жидкость

погрузить маленькую частицу, то она под влиянием уда­

ров молекул жидкости будет двигаться по ломаной линии со случайиыми иаправлениями звеиьев. Это явление на­ зывают броун.овским движением по имени английского

ботаника Р. Броуна, который в 1827 г. открыл явление. но не объяснил его. Лишь в 1905 г. А. Эйнштейн описал брауновское движение математическИ. В 1918 г. и в по­

следующие годы американский ученый Н. Винер построил

458

математическую модель, более точно описывающую броу­

новское движение. По этой причине процесс броуновского

движения называют винеровским процессом.

Прежде чем определить винеровский процесс, вве.цем

предварительио понятия .нормальиого процесса и процесса

сиезависимыми приращениями.

Случайный процесс Х (t) иазывают НOPAUlAbНbUf. (гаус­

деляется его характеристиками: математическим ожИJUl­

нием и корреляциоиной функцией.

Случайиый процесс Х (t) иазывают nроцессом с неэа­

BUCUMbUfU nрUращеНUЯAlU, если его приращеиия иа вепе­

рекрывающихся интервалах взаимно независимы, т. е.

симы, Процесс снезависимыми приращениями определяется

распределением приращений Х (/) - Х (s) для произволь­

ных 1 и s. Если приращение Х (/)-X (s) зависит только

от разности I-s, то процесс называют nроцессом со

cmaЦUОНЛРНbUf.U nрuращенuямu.

ВинеРО8Ским nроцессом (процессом броунot/ClWZO дви­

жения) называют нормальный случайный процесс Х (/)

снезависимыми стационариыми приращ~ниями, для ко­

Важное зиачеиие вииеровскоro процесса состоит в том,

что ои используется при изучении МНОГИХ .цругих слу­

чайиых процессов.

3. МаРКО8Ский случайный процесс. Используем терми­ нологию, введенную в гл. ХХII, § 1. Пусть в каждый

момент времени некоторая система может находиться

в одном из состояний Е1, Е,• ... (число состояний ко­

нечно 8.'1И счетио). Если система случайно переходит из

то говорят, что в системе происходит случаиныи процесс.

Если при этом вероятность перехода из состояиия Е{

в состояние Е! завпсит только от состояиия Е; и ие за­

висит от того, IWrAa и как система пришла в это состоя­

ние, то случайный процесс Х (t) называют .марковСIШAt.

Другими словами, если для каждого момента времени t.

459

жеством состояний (число состояний конечно или счетно. переходы из состояния в состояние происходят скачком)

и с непрерывным множеством состояний, а также разли­

чают npoueccbl с дискретным временем (моменты переходов фиксированны) и с непрерывным временем (моменты пе­

реходов случайны).

В качестве примера рассмотрим процесс обслуживания простейшего потока заявок системой массового обслужи­

вания с ожиданием (в такой системе заявка ~становитсЯ в очередь», если все каналы заняты) и показательным

временем обслуживания; покажем, что этот проuесс

является марковским.

Допустим, что в момент времени ' 6 система находи­

лась в некотором определениом состоянии (обслуживается

некоторое число заявок, причем обслуживание каждоЙ

из них уже длилось определенное время). Назовем условно ~будущим обслуживанием» обслуживание для моментов

времени t > t o' которое определяется:

а) длительностью оставшегося времени обслуживания

заявок, поступивших до момента t(\;

б) числом заявок, которые поступят после момента 'о;

в) длительностью обслуживания этих заявок.

Убедимся. что будущее обслуживание не зависит от

того, как происходило обслуживание до момента (6.

Действительно:

а) длительность оставшегося времени обслуживания

заявок, которые уже обслуживались в момент 10' не за­

висит от време"и обслуживания в силу характеристи­

ческого свойства показательного распределения;

б) число заявок, которые поступят после момента 10'

не зависит от числа заявок, которые поступили до мо­

мента t o• в силу свойства отсутствия последействия про-·

стейшего потока;

в) длительность обслуживания заявок, поступивших

после момента t 6 , очевидно, не зависит ни от числа заявок,

которые поступили до момеита '6' ни от длительности

обслуживания каждой из них.

Итак, будущий проuесс обслуживания (при t > t o) за­

висит только от состояния системы в момент ео и не зависит

от того, как протекала работа системы до моменТа 10. Дру­

гими словами, npouecc обслуживания простейшего потока заявок системой с ОЖИДанием и показательным законом времени обслуживания является марковским процессом.