2003_-_Gmurman__TV_i_MS

Если, например, предполагают, что генеральная сово­ купность распределена по закону Пуассона, то оцени­

вают один параметр л., поэтому r = 1 и k =5-2.

Пос~ольку односторонний критерий более «жестко» отвергает нулевую rипотезу, чем двусторонний, построим

правостороннюю критическую область, исходя из требо­

вания, чтобы вероятность попадания критерия в эту об­

ласть в предположении справедливости нулевой гипотезы

была равна принятому уровню значимости а:

Р [х!l > )(;~p (а; k)] = а.

Таким образом. правосторонняя критическая область

определяется неравенством х2 > )(;~p (а; k), а область при­ нятия нулевой гипотезы-неравенством )(;2 < x~p (а; k).

Обозначим значение критерия, вычисленное по дан­

ным наблюдений, через Х~а6л И Сформулируем правило

проверки нулевой гипотезы.

Правило. Для того чтобы при заданном уровне зна­

чимости проверить нулевую гипотезу Ho~ генеральная

совокупность распределена нормально, надо сначала вы­

числить теоретические частоты, а затем наблюдаемое

значение критерия:

Х~аБJI = ~ (n,-nа2/n, (**)

и по таблице критических точек распределения х2 , по

гипотезу.

Если Х~lIБJI > х~р-нулевую гипотезу отвергают.

менее 5-8 вариант; малочисленные группы следует объединять в од­

ну, суммируя частоты.

3 а м е ч а н и е 2. Поскольку возможны ошибки первого и вто­

рого рода, в особенностн еслн согласование теоретическнх и эмпи­

рических частот «слишком хорошее», следует проявлять осторожность.

Например, можно повторить опыт, увеличить число наблюдений, вос­ пользоваться другими критериями, построить график распределеиия, вычислить асимметрию и эксцесс (см. гл. XVII, § 8).

3 а м е ч 8 н И е 3. Для' контроля вычислении формулу (**) пре­

образуют к виду

331

Рекомендуем читателю выполнить это пре06разование самостоятеJJЬИО,

мальном распределеиии геиеральиой совокупиости, если известиы эм­

пирические и теоретические частоты:

Реш е н и е. Вычислим Х~аб.n, для чего СОС1авим расчетиую

табл. 26.

К о н т р о л ь: Х~аб.n = 7,19:

[~n'/nt]-n = 373,19-366 = 7,19.

Вычислеиия произве,о.еиы правильно.

Найдем число степеней свободы, учитЬ/вая, что число групп вы­

борки (число различных вариаит) s = 8; k = 8 - 3 = 5.

т а.бл и ц а 26

1 2 З 4 5 б 7 8

332

§ 24. Метрдика вычисления теоретических частот

нормального распределения

Как следует из предыдущего параграфа, СУЩНОСТЬ

критерия согласия Пирсона состоит в сравнении эмпири­ ческих и теоретических частот. ЯСНО, что эмпирические частоты находят из опыта. Как найти теоретические часто­

ты, если предполагается, что генеральная совокупность

распределена нормально? Ниже приведен один из способов

решения этой задачи.

1. Весь интервал наблюдаемых значений Х (выборки

объема n) делят на s частичных интервалов (Х" X1'+1) оди­

наковой длины. Находят середины частичных интервалов

Х; = (Х; +Xi+1)/2; в качестве частоты ni варианты- Х; при-

.

нимают число вариант, которые попали в ,-и интервал.

Витоге получают последовательность равноотстоящих

вариант и соответствующих им частот:

Х4iII: ••• х·s

При этом ~ n; = n.

2. Вычисляют, например методом произведений, выбо-

рочную среднюю х* и выборочное среднее квадратическое

отклонение 0*.

3. Нормируют случайную величину Х, т. е. переходят

4. Вычисляют теоретические вероятности Pi попадания

Х в интервалы (Х" Xi+l) по равенству (Ф (z)-функция Лапласа)

и,, наконец, находят искомые теоретические частоты

ni =nPI"

Прнмер. Найти теоретические частоты по задаииому интервально­

му распределению выборки объема n =200, предполагая, что генераль­

ная совокупность распределена нормально (табл. 27).

Реш е и и е 1. Найдем середины интервалов Х7 = (Х, +Х{+1)/2. Например, x~=-(4+6)/2=5. Поступая аналогично, получим последова-

333

тельиоc:rь равноотсrоящих вариант х; и соответствующих им частот nj:

334

Искомые теоретические частоты помещены в последнем столбце табл. 29.

§ 25. Выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена и проверка гипотезы

оего значимости

Допустим, что объекты генеральной совокупно­ сти обладают двумя качественными признаками. Под ка­ чественны,М подразумеваегся признак, который невозмож­

но измерить точно, но он позволяет сравнивать объекты между собой Н, СJlедовательно, расположить их. в порядке

убывания или возрастания качества. Для определенности

нию> на первом месте находится объект наилучшего каче­

ства по сравнению с остальными; на втором месте ока­

жется объект «хуже» первого, но «лучше» других, и т. д.

Пусть ~ыборка объема n содержит независимые объ­ екты, которые обладают двумя качественными признака­

ми А и В. ДЛЯ оценки степени связи признаков

вводят, в частности, коэффициенты ранговой корреляции Спирмена (изложен в настоящем параграфе) и Кендалла

(см. § 26).

Для практических целей использование ранговой кор­

реляции весьма полезно. Например, если установлена

335

высокая ранговая корреляция междv двумя качествен­

ными признаками изделий, то достаточно контролировать

изделия только по одному из признаков, что удешевляет

и ускоряет контроль.

Расположим сначала объекты выборки в порядке ухуд­

шения качества по признаку А при допущении, что в с е объекты ~меют ра зличное качество по обоим

при з н а к а м (случай, когда это допущение не выполняет­ ся, рассмотрим ниже). Припишем объекту, стоящему на i-M месте, число-ранг X j , равный порядковому номеру объекта.

Например, ранг объекта, занимающего первое место, Х1 = 1; объект, расположенный на втором месте, имеет ранг Х2 = 2, и т. д. В итоге получим последовательность рангов по

признаку А: Х1 = 1, Х2 = 2, ... , ХN= n.

Расположим теперь объекты в порядке убывания ка­

чества по признаку В и припишем каждому из них

ранг Yj, однако (для удобства сравнения рангов) и н Д е к с i

при У будет по-прежнему равен порядко­ вому номеру объекта по признаку А. Напри­ мер, запись У2 = 5 означает, что по признаку А объект

стоит на втором месте, а по признаку В-на пятом.

В итоге получим две последовательности рангов:

по признаку А ... Х1, Х2, ••• , ХN

по признаку В ... Уl' У2' "', Уn

Заметим, что в первой строке индекс i совпадает с по­

рядковым номером объекта, а во второй, вообще говоря,

не совпадает. Итак, в общем случае Х; =1= Yj.

Рассмотрим два «крайних случая».

1. Пусть ранги по признакам А и В совпадают при

всех значениях индекса i:Xj = Yj. в этом случае ухуд­

шение качества по одному признаку влечет ухудшение

качества по другому. Очевидно, признаки связаны: имеет

место «ПОlIная прямая зависимость».

«противоположная зависимостЬ».

На практике чаще будет встречаться промежуточный

случай, когда ухудшение качества по одному признаку

влечет для некоторых объектов ухудшение, а для дру­ гих-улучшение качества. Задача состоит в том, чтобы

336

имеем

~dl=~(Uj-V;)1 = ~ur-2~Uivj+~vl=

-= [(nз -n}/6]-2 ~ U1V/.

Отсюда

Da = ~(щ-u)2/fl. = ~ ипn = (n 3-n)jl2n = (n l -l)/l2.

Отсюда среднее квадратическое отклонение

(Уа = V (n 2 -1)/12.

Аналогично найдем

Следовательно,

Подстав_ив правые части этого равенства и соотно­ шения (***) в (*), окончательно получим выборочный коэф­ фициент ранговой корреляции Сnирмена

~ иl = ~ (Х, -х)2 = ~xl2х ~Xj+ n (х)2,

после элементарных выкладок получим

~и'=(nЗ-.n)/12.

Аналогично можно показать, что

~V, = (nЗ -n)/12.

338

Приведем свойства выборочного ко9ффициента корре­

ляции Спирмена.

С в о й с т в О 1. Если между качествеННЫ'ми nризна­

ка,Ми А и В и'меется «полная nрЯ'мая зависи'мость» в то'м

С'мысле, что ранги объектов совnадают при всех значе­

ниях i, то выборочный коэффициент ранговой корреляции

Сnир,Мена равен единице.

Действительно, подставив d l = Xl - Yl = О В (****), по­

лучим

Рв= 1.

Св о й с т в о 2. Если 'между качествеННЫ'ми nризнака,Ми

Аи В и'меется «противоположная зависи'мость» в то'м

соответствует ранг Уn= 1, то выборочный коэффициент

ранговой корреляции Сnир,м,ена равен 'минус единице.

Действительно,

d 1 = l- n, d'il= 3-n, ... , dn = (2n-1)-n.

Следовательно,

~dl=(I-n)2+(3-n)2+ ... +[(2n-l)-n]2=

= [1" +32 + ... + (2n-l)"]-2n [1 +3+ ... + (2n -1)]+

+ n ·n" = [n (4n 2 -1)/3]-2n ·n" + nВ = (n B -n)/3.

Подставив ~ dl = (n B -n)/3 в (****), окончательно по­

лучим

рв=-I.

С в о й с т в о 3. Если 'между качес,mвенны,Ми nризнака,Ми

Аи В нет ни «полной прямоЙ», ни «противоположной»

те,м зависи'мость .меньше.

Пример 1. Найти выборочный коэффициент ранговой корреляции

Спнрмена по данным ранга объектов выборки объема n = 10:

Реш е н и е. Найдем разности рангов dl=XI-Уi: -5. -2. -5.

3, 3, 1. - 3, 5, 2, 1.

Вычислим сумму квадратов разностей рангов:

~dr=25+4+25+9+9+ 1+9+25+4+ 1= 112.

НаЙд.ем нскомый коэффицнент ранговой корреляцин, учитывая, что n= 10:

Рв= 1 -[6 ~ d~/(nз-n)J = 1 - [6·112/(1000-10)] =0,32.

3 а м е ч а н н е. Если выборка содержит объекты с о Д н н а к 0-

в ы м к а ч е с т в о м, то каждому из них приписывается ранг, рав­

ный среднему арифметнческому порядковых номеров объектов. Напри­

мер, если объекты одинакового качества по признаку А имеют

порядковые иомера 5 и 6, то НХ рангн соответственно равны: Ха =

= (5+6)/2=5,5; хе =5,5.

Приведем правило, позволяющее установить значи­

мость или незначимость ранговой корреляции связи для

критическую точку:

Ткр = t кр (а.; k) V (1- p~)/(n - 2),

где n-объем выборки, рв-выборочный коэффициент ран­

говой корреляции Спирмена, t Kp (а; k)-критическая точка

д в у с т о р о н н е й критической области, которую находят

по таблице критических точек распределения Стьюдента,

по уровню значимости а И числу степеней свободыk=n-2.

Если IРв I < Т"Р- нет оснований отвергнуть нулевую

гипотезу. Ранговая корреляционная связь между качест­

венными признаками незначима.

Если IРвl > Т"р-нулевую гипотезу отвергают. Между

качественными признаками существует значимая ранговая

корреляционная связь.

"ример 2. При уровне значимостн 0,05 провернть, является ли

ранговая корреляционная связь, вычисленная в примере 1, значимой?

Реш е н и е. Найдем критическую точку двусторонней критичес­ кой'области распределения Стьюдента по уровню значимостн а. = 0,05

ичислу степеней сво60ДЫ k=n-2=IO-2=8 (см. приложение 6):

t"p (0,05; 8) = 2 ,31.

~айдем критнческую точку:

т"р= tKp (а; k) У(1 -р:)/(n-2) .

Подставив t Kp =2,31, n= 10, рв=О,24, получим Т"р=О,79.

Итак, Т"р=О,79, рв=О,24.

Так как Рв < Ткр - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу;

ранговая корреляционная связь между признаками незначимая.

340