2003_-_Gmurman__TV_i_MS

4. Задана случайная функция Х (t) = t +U 61п t + V cos t, где U

и V- случайиые величины, причем М (И) = м (V)=O, D (U)=D (V)=5. М (UV)=O. доказать, что: а) Х (t)-нестационарная фуикция;

б) Х (t)-стационарная функция.

Оmв. а) mx(t);econst; б) m.(t)=const, Xx(tI, t.)=5{:os(t.-tI).

Х

б. Известна корреляционная функция k" (1) = 3е-111 стациоиар­

ной случайной функции Х (t). НаЙти корреляционную функцию слу­

чайной функции У (t) =5Х (t).

Оmв. kll ('t) = 75е- I't"" •

6. Задана корреляционная функция k" ('() = 2е-1't"1 стационариой

случайной функции Х (t), Найти нормированную корреляционную

функцию.

Оmв. р" (-r)=е-'t"I.

7. Заданы две стациоиарные случайные Фуикции Х (t)=cos (2t+'P)

и у (t)=sin (2t+q», где q>-случайная величина. распределенная

равномерно в интервале (О, 21'1). Доказать, что заданные функции

стационарно связаны.

хххх

10. Задана корреляционная функция kx (т)=е-! 't" t стационарной

t

случайной функции Х (t). Найти дисперснюинтеграла У (t)= ~ Х (э)dэ,

о

Оmв. DIJ (t) = 2 (t +e-t-l).

Глава двадцать пятая

ЭЛЕМЕНТЫ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ

СТАЦИОНАРНЫ Х СЛУЧАЙНЫ Х ФУНКЦИЙ

§ 1. Представление стационарноА C.IIучаАноА

функции в виде гармонических колебаниА

со случаАными амплитудами и C.IIучаАными

В этой rлаве вводится новая характеристика

стационарной случайной функции-спектральная плот­

ность, которая упрощает теоретические и практические

431

расчеты. В частности, используя ее, можно найти ха­

рактеристики выходной функции стационарной линейной

динамической системы по известным характеристикам

входной функции (см. § 8).

Далее будет показано, что стационарную случайную

функцию, вообще говоря, можно представить в виде гар­ монических колебаний со случайItыми амплитудами и случайными фазами.

1. Рассмотрим случайную функцию вида z(t)=Исоsrot+Vsiпrot, (*)

где w-пщ:тоянное действительное число; И и V-некор­

релированные случайные величины с математическими

ожиданиями, равнымн нулю, и одинаковыми дисперсиями:

mu =тv = о, D u = D v = D.

Преобразуем правую часть соотношення (*):

Z (t) = V ( ~ cos rot + sin wt).

Положив И/V = tg qJ н выполнив элементарные выкладки,

ское колебание со случайной амплитудой

VИ2+V2, случайной фазой wt+агсtg(ИJV) и ча­

стотой ш.

Заметим, что, по допущению, тu = тv = о, поэтому И

и V-центрированные случайные величины: U=И и V=V.

Легко убедиться, что тz и) = о. Следовательно, Z и)­

центрированная случайная функция:

Z и) = Z (t).

Покажем, что Z (t) = И cos rot + V sin wt -стационарная

случайная функuия. Действительно, математическое ожи­

дание тz (t) = о, т. е. постоянно при всех значениях аргу­

мента. Найдем корреляционную функцию, приняв во

внимание, что Z (t) = Z (t):

K z (tl' t2) = м ri иl) z (t 2)] = М [Z (tl) Z (t.)] =

= м [(И cos rot 1 +V sin wt 1) (И cos rot 2 +V sin wt 2)]'

432

Выполнив элементарные выкладки *), получим

торая является суммой конечного числа слагаемых вида (*):

n

Х (t)= ~ [Ujсоsю,i+Visiпю,t],

j= 1

где случайные величины V 1 и V j не коррелированы, их

математические ожидания равны нулю и дисперсии вели­

чин с одинаковыми индексами равны между собой:

D (и,) = D (Vi ) = D.

Заметим, что Х (t)-центрированная функция, т. е•

•

Х (t) = Х и). Действительно, математическое ожидание каждого слагаемого суммы (**) равно нулю; следова­ тельно, математическое ожидание mх (t) этой суммы также

равно нулю и, значит,

того, слагаемые суммы (**) попарно не коррелированы

(см. далее пояснение), поэтому корреляционная функuия этой суммы равна сумме корреляционных функций сла­

гаемых (см. гл. XXIII, § 15, следствие 1 из теоремы 2).

В п. 1 доказано, что корреляционная Функuия каждого

слагаемого (**) зависит только от разности аргументов t~-tl' Следовательно, корреляционная функция сум­

433

или

n

k x ('t) = ~ D, cos<O,.'t',

i= 1

где 't' = t . - t1"

Таким образом, с л у чай н а я Ф у н к Ц и я Х (t) в и д а

(**) есть стационарная функция (разумеется,

должны выполняться условия, указанные в п. 2).

Принимая во внимание, что (см. п. 1)

X i (t) = V и~ +~ sin (<o,t +<1',),

где ер, = arctg (U,!V,), заключаем, что сумму (**) можно

записать в виде

n

Х (t) = ~ vи:+V~ sin (<О,е + epi)'

,= 1

Итак, если случайная функция Х (е) может быть пред­

ставлена в виде суммы гармоник различных частот со случайными амплитудами и случайными фазами, то Х (t)-

стационарная функция.

СnектральнЬЦt разложением стационарной случайной

функции называют представление этой функции в виде

суммы гармонических колебаний различных частот со случайными амплитудами и случайными фазами.

П о я с н е н и е. Покажем, что слагаемые суммы (**)

попарно не коррелированы. Для простоты, не теряя общ­

ности доказательства, ограничимся двумя слагаемыми:

Х1 (t) = U1 соз <Olt + V1 5in <Olt и

Х. (t) = и. соsю.t +V. sin <o.t.

Убедимся, что их взаимная корреляционная функция

равна нулю и, следовате.льно, они не коррелированы

(см. гл. XXIII, § 12):

:= М [(и1 соз ю1t1+ V1 sin ю1(1) (и1 соsю.t. + V. sin ю.t.)].

Выполнив умножение и вынеся неслучайные множители

за знак математического ожидания, найдем

RXl Х. (t1> t l) = cos ю1t1 СО5 ю.t.М (иlи1) +

+siп <Oltl cos<o.t.M (lI.V1) +sln <o.t. cos <OltlM (иlV.) +

+siп <Oltl sin <o.t.M (V1V.).

434

Случайные величины U l' U 2' V1 • V~ попарно не корре­

лированы, поэтому их корреляционные моменты равны

нулю; отсюда следует, что все математические ожидания

парных произведений этих величин равны нулю. Напри­

мер, корреляционный моме»т величин U1 и U I равен нулю:

• о

f!u,u. = М (и1U 2) = О; так как эти величины центрирован-

ные (см. п. 1), то M(U1U.)=0.

Итак, взаимная корреляционная функция Rx,x. (t 1 , t.) =

=О, что н требовалось доказать.

§ 2. Дискретный спектр стационарной CJ1учаАной

функции

д. Частоты - произвольные числа, количество их конечно. Пусть стацнонарная случайная функция Х (t)

может быть представлена в виде спектрального разло­

жения

причем сохраняются допущения, указанные в начале п. 2

(см. § 1). Найдем дисперсию одной гармоники Х; (t), учитывая, что случайные величины U i и V j не коррелн­

рованы и дисперсии величин с одинаковыми индексами

+ D [Vj sin w"t] = COs2 wJD (U j ) + sin 2(i)jt D (V j ) =

= (cos2 (i)J + sin2 IOjt) D, = D j •

Итак,

Таким образом, дисперсия i-й гармоники спектраль­

ного разложения (*) равна дисперсии случайной вели­

чнны иj. или, что то же, дисперсии случайной величины V j • Найдем теперь дисперсию стационарной случайной

функции Х (1), приняв во внимание, что слагаемые

не коррелированы (см. § 1) и поэтому дисперсия их суммы

равна сумме дисперсий слагаемых (см. гл. XXIII, § 15,

замечание 2):

D [Х(t)] = D C~Х;(t)] = '~D [Х,(t)].

435

Напишем корреляциоиную функцию [см. § 1, фор­

мула (***)] рассматриваемой стационарной случайной

функции X(t), положив ООj=лi/Т, n=оо:

щими частотами, равна сумме дисперсий слагаемых

гармоник (если сумма существует, т. е. ряд (**) сходится).

Заметим, что соотношение (*) можно рассматривать как разложение корреляционной функции в ряд Фурье

в соответствие дисперсию D j , то получим, как и в случае

о т с т о я Щ и е (соседние спектральные линии находятся одна от другой на одном и том же расстоянии 6.00 = п/Т).

§ З. Непрерывный спектр стационарной случайной функции. Спектральная плотность

Среди стационарных случайных функций есть

такие функции, корреляционные функции которых нельзя

представить в виде

k x ('t) = ~ D j cos oo{t' (Dj > О),

437

где число слагаемых конечно или счетно. Спектр ~тих

функций не дискретный, а непрерывный. Для рассмот­

рения стационарных случайных функций с непрерывным спектром необходимо ввести понятие спектральной плот­

ности.

Выше, когда частоты гармоник спектрального разло­

жения стационарной случайной функции были дискрет­ ными и равноотстоящими, был получен дискретный ли­

нейчатый спектр, причем соседние частоты отличались

на величину 1100 = 'Л/Т. Пусть Т--+- (х), тогда 1100 ---+ О.

Ясно, что при 9ТОМ частота изменяется непрерывно (по-

9ТОМУ обозначим ее через 00 без индекса), соседние ординаты спектра сближаются и в пределе вместо дискретного спектра мы получим JI е пр еры в н ы й спектр, т. е. каж­

дой частоте 00 (00 ~ О) соответствует ордината, которую обозначим через s; (00).

Хотя отрицатеЛЬJlые частоты физического смысла не

имеют, для упрощения вычислений целесообразно считать,

что частоты изменяются в интервале ( - (Х), (Х», И вместо

ФУJlКЦИИ s; (00) рассматривать функцию, которая имеет

вдвое меньшие ординаты:

S~ (00) = S; (00)/2.

Спектральной плотностью стационарной случайной

функции Х (/) называют функцию Sx (00), которая связана с корреляционной функцией k~ (Т) взаимно обратными преобразованиями Фурье: ..

Sx (00) = 2~ 5k" (Т) е-{ю'(dT,

-00

QCI

k" (Т) = ~ S~(ю) еlюt dю.

-CI>

Эти формулы называют формулами Винера-Хинчина.

В действительной форме они представляют собой взаимно обратные косинус-пре06разования Фурье:

438

Важное значение спектральной плотности состоит

в том, что, зная ее, можио найти корреляционную функ~

цию, и обратно (в этом смысле спектральн~я плотность и корреляционная функция эквивалеНТRЫ); кроме того, как уже было указано, использование спектральной плот­

ности в ряде случаев значительно упрощает теоретические

ипрактические расчеты.

Подчеркнем, что, как следует из формулы (***), с п е K~

тральная плотность-чеТRая функция:

sx(- ш) = Sx (ш).

Выясним вероятностный смысл функции Sx (ю). Поло­

сия соответствует частичному иItтервалу частот .6.ro.

В частности, частичному интервалу дш = rob-roa соответ­

ствует дисперсия

По теореме о среднем,

D х = (<iI" - <il a ) Sx (юс) = .6.юs", (юс).

где Юа < ЮС < ю".

Отсюда

S'" (юс) = D",!8ro.

Из 3ТОЙ формулы заключаем:

а) величину S'" (юс) можно истолковать как сред Н ю ю

п л о т н о с т ъ Д и с пер с и и на частичном интервале /).ro,

содержащем частоту юс;

б) при .6.ю - О естественно считать, что s'" (юс) - n л о т­

Н О С Т Ь Д и с пер с и и в точке ЮС' Поскольку никаких ограничений на частоту (ос наложено не было. получен­ ный результат справедлив для любой частоты.

439

Итак" сnеютральная nлотnосmь оnисьюает распределе­

ние дисперсий стационарной случайной функции по ne- nрерывно из.меняющеЙся частоте.

Из вероятностного смысла спектральной функции сле­

дует, что спектральная плотность-неотрица­

тельная функция Sx«(iJ)~O.

Пример 1. Найти спектральную плотность стационарной случай­

Интегрируя по частям, окончательно получим искомую спектраль­

ную плотность:

Sx (00) = sin 2 ffi/(п(U2).

Пример 2. Найти спектральную плотность стационарной случай­

ноА функции Х (/), зная ее корреляционную функцию k x (Т) = De-a. ''(', а> о.

Следовательно,

Sx(oo)=,~ [ 5ea.'te-i(а)'(dт+5e-a.'(e-((a)'(d't]=

= :: и-"~00-,,,,,'"+5,-о'0+''''''"J

Выполнив интегрирование, иайд("м искомую спектральную RJЮТ-

ВОСТЬ:

440