2003_-_Gmurman__TV_i_MS
.pdf
В.Е. ГМУРМАН
Теория
\1
веРОЯI'ностеи
и математическая статистика
Издание девяmoе. стереотипное
Ре"O.tIеид!J8оно
МuнucmерсmfЮAi оброзовОНUJI
Российской Федерации
в ICOчесmве учебною nосoбшl
для cтyдeнmtJ6 fIY308
Москва
«Высшая школа. 2003
УДК 519.2 ББК 22.171
Г 55
Гмурмаи, В. Е.
Г 55 Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов/В. Е. Гмурман. - 9-е изд., стер. -
М.: ВЫСШ. ШХ., 2003. - 479 с.: ил.
ISBN 5-06-004214-6
Книrа (8-е IJ3Д. 200Д.) содеРЖИТ в основном весь матеРlJал проrpам- мы по тeoplJlJ вероятностей IJ математической стаТНС1Ике.Большое внима ние уделено стаТlJстическнм методам обработки экспеРlJменталъных дан ных. В КОJЩе каждой главы помешены задачи с OTвeтaмlJ.
Предназначается для студентов вУЗ08 и ЛUЦ. использующих вероят Itосrrшые и сmamuстические методы при решении nрактuческих задач.
УДК
ББК
519.2
22.171
ISBN 5-06-004214-6 © ФГУП «Издательство «Высшая школа», 2003
Орпинал-макет данного IJЗДания ЯВЛJlется. собственностью IJздательства «Высшая UlJ(ола», IJ ero репродуцироваНlJе (воспрОlJзведение) любым способом
без соглаСия издательства запрещается.
ОГЛAВJlEНИЕ
Введение ..................... ............ .................... ........................ .... ................... |
14 |
ЧАcrь ПЕРВАЯ
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
гАйва первая. OeнOlllUe по....... |
ТeOPIIII 8ерОИ1IOCТei....... |
•••••••. •••••••• |
17 |
|
§ 1. |
ИСllытания и события ............................................................... |
|
|
17 |
§ 2. |
Виды случайиых событий .......... ........ ............... ........ |
..... ........... |
17 |
|
§ 3. |
Классическое определение вероятности ................................. |
|
18 |
|
§ 4. Основные ФОРМУJIЫ комбинаторmcи .................................... |
'" |
22 |
||
§ 5. Примеры иепосредствеНJfОro вычисления вероятностей ...... |
23 |
|||
§ 6. Orносиrельиая 'lастatа. Устойчивоcrь lJtRосительной часто- |
|
|||
ТЫ ..... |
••....••.••••..••••..••••••••.••.••••••.•.....•..•.••••.•...•..•. '" •••. •.... .... |
.•. ..•. ..•• ......• |
24 |
|
§ 7. Оrpаниченность классическою определения вероятности.
Статистическая вepoJIТНOCТЬ..... .... |
...• .... .•..••..••.. ....•... .... |
•.•. ••..•... •... ... |
26 |
§ 8. Геометрические вероятности......... |
........................................... |
|
27 |
Задачи .............................................................................................. |
|
'" |
30 |
Глава вторая. Теорема CJIO.eIIII. aepo8'l1lOC'l'ei••••••••••••••••••••••••••••••••• |
31 |
||
§ 1. Теорема сложения вероятностей несовместиых собьпий ..... |
31 |
||
§ 2. Полная rpуппа событий ................. |
•....................... |
................... |
33 |
§ 3. Противоположные события ........... |
........................ |
................... |
34 |
§ 4. Принцип прапической неllOЗМОХИОСТИ маловеро!ПНЫХ |
|
||
событий ........... .... ............................... |
..... ............ .... ........................... |
|
35 |
Задачи .............................................. |
'" ..................... .... .... |
................... |
36 |
Глава тpemыI. Теорема умно.ени КроlП1lOCТd............................... |
|
37 |
|
§ 1. Произведение событий.............................................................. |
|
|
37 |
3
§ 2 |
Условная вероятность |
37 |
§ 3 Теорема умножения вероятностей |
38 |
|
§ 4 Независимые события Теорема умножения для независимых |
|
|
событий |
40 |
|
§ 5 |
Вероятность появления хотя бы одного события |
44 |
Задачи |
47 |
|
Глава четвертая CJ1eдC'I'IJIIII теорем CJlOJКeRИИ И УМВО1lreRИК .............. |
48 |
|
§ 1 Теорема сложения вероятностей совместных событий |
48 |
|
§ 2 Формула полной вероятности |
50 |
|
§ 3 |
Вероятность гипотез Формулы Бейеса |
52 |
Задачи |
53 |
|
Глава пятая ПОIl1'()JleRИe исllbll'8llllЙ ••••••••••••••••• •••••••••••• ••• ................ |
55 |
|
§ I |
Формула Бернулли |
55 |
§ 2 Локальная теорема Лапласа |
57 |
|
§ 3 |
Интегральная теорема Лапласа |
59 |
§ 4 |
Вероятность отклонения относительной частоты от постоян- |
|
ной вероятности в независимых испытаниях |
61 |
|
Задачи |
63 |
|
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Глава шестая |
ВIЩЫ CJly'laiиыx 8eJIИЧИВ. 3аURИе дискретной случай- |
|
|
IICJII ~..................................................... |
|
••••••••••••••••••••••••••••• |
()~ |
§ 1 Случайная величина |
64 |
||
§ 2 Дискретные и непрерывные случайные величины |
65 |
||
§ 3 |
Закон распределения вероятностей дискретной случайной |
|
|
величины |
|
65 |
|
§ 4 |
Биномиальное распределение |
66 |
|
§ 5 |
Распределение Пуассона |
68 |
|
§ 6 |
Простейший поток событий |
69 |
|
§ 7 |
Геометрическое распределение |
72 |
|
§ 8 |
Гипергеометрическое распределение |
73 |
|
Задачи |
|
74 |
|
Глава седьмая |
Математическое ОJDJЩlиие дискретной случайной |
|
|
~ ........................................................................................ |
|
75 |
|
§ I |
Числовые характеристики дискретных случайных величин |
75 |
|
§ 2 |
Математическое ожидание дискретной случайной величины |
76 |
|
§ 3 |
Вероятностный смысл математического ожицания |
77 |
|
4
§ 4 |
Свойства математического ожидания |
78 |
§ 5 |
Математическое ожидание числа появлений события в |
|
независимых испытаниях |
83 |
|
Задачи |
84 |
|
Глава восьмая ДиспepcIIJI две&реlllОЙ с.учайвой lIe.III'IIIIIW •••••••••••••••• |
85 |
|
§ 1 Целесообразность в~ения числовой харакrеристики рассе |
|
|
яния случайной величины |
85 |
|
§ 2 |
ОПОIOнение случайной величины от ее математического |
|
ОЖRдания |
86 |
|
§ 3 |
Дисперсия дискретной случайной величины |
87 |
§ 4 |
Формула для вычисления дисперсии |
89 |
§ 5 |
Свойства дисперсии |
90 |
§ 6 |
Дисперсия числа появлений события в независимых испы |
|
таниях |
92 |
|
§ 7 |
Среднее квадратическое отклонение |
94 |
§ 8 |
Среднее квадратическое отклонение суммы взаимно |
|
независимых случайных величин |
95 |
|
§ 9 Одинаково распределенные взаимно независимые случайные |
|
|
величины |
95 |
|
§ 10 Начальные и центральные теоретические моменты |
98 |
|
ЗlЩaчи |
100 |
|
Глава девятая |
Зuoи 60JIWIIIIX чвce.n...•...•...•.....................•............... |
1О1 |
|
§ 1 |
Предварительные замечания |
101 |
|
§ 2 |
Неравенство Чебышева |
101 |
|
§ 3 |
Теорема Чебышева |
103 |
|
§ 4 |
Сушность теоремы Чебышева |
106 |
|
§ 5 |
Значение теоремы Чебышева для прaкrики |
107 |
|
§ 6 |
Теорема БернуJVlИ |
108 |
|
З~ачи |
|
110 |
|
Глава десятая |
ФУИIЩIIJI расиределеиu веРОJlТllостей СJlYЧайной |
|
|
~ •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• |
111 |
||
§ 1 |
Определение функции распределения |
111 |
|
§ 2 |
Свойства функции распределения |
112 |
|
§ 3 |
График функции распределения |
114 |
|
ЗlЩaчи |
|
115 |
|
Глава одuннадцатая IIлoтвосп. раСпpe.!l.eJlelllUl вер6J1111остей иепре- |
|
||
~ ~ ~ ............................................................ |
ll() |
||
§ 1 |
Определение плотности распределения |
116 |
|
§ 2 |
Вероятность попадания непрерывной случайной величины |
|
|
в заданный интервал |
116 |
||
5
§ 3. НахоqeниеФУНХЦИИ распределения по извеcmoй плarнocnt
распредe.neния................................... |
|
,................................................ |
118 |
§ 4. СвоАства плarнocти распределения........... .... .......... ................ |
119 |
||
§ S. ВеpolП"НocmblЙ CМLICJI ПJКJI1ЮC11I распределения .................. |
121 |
||
§ 6. 3аон paвнoмepHoro распределеНИJI всpoиrностей ................ |
122 |
||
Задачи................................................................................................. |
|
|
124 |
fJIQIJQ двt!нoiJцtzmD.R. HI, Е·... |
рас |
'.7 е.................................. |
124 |
§ 1. Числовые харапеРИСТИЮl непрерывных случайных величин |
124 |
||
§ 2. нор.wп.ROe распределение....................................................... |
|
|
127 |
§ 3. НорIlaJlЬН8JIIЦJИ1IaII.................................................................... |
|
|
130 |
§ 4. Влияние параметров нормальнoro распределения на форму |
. 131 |
||
нормальноЙ кривоЙ......................................................................... |
|
.. |
|
§ S. 8epoяmость ООlЩll3Ния в заданный иtrrepвan нормальной |
|
||
случайной величины.......................................................... |
|
:........ ...... |
132 |
§ 6. Вычисление вcpoRrНocm заданнoro OТXJIонеиия ................... |
133 |
||
§ 7. Правило трех сигм ..................................................................... |
|
|
134 |
§ 8. ПОНJП1lе о теореме Ляпунова. Формулировка цеtrrpaJJЬиой |
|
||
предельной теореМы.......................................................................... |
|
|
13S |
§ 9. Оценка O11UIOнения теоретическоro распределения IЛ нор- |
|
||
мальноro. Асимметрия и эксцесс .................................................... |
137 |
||
§ 10. Функция одноro случайноro apryмeкra и ее распределение |
139 |
||
§ 11. Математическое ОЖlWUfие функции одноro случайноro |
|
||
арryмеJПa..................................................... |
|
,.......................... _.......... |
141 |
§ 12. Функциядвух случайных apryмeкroв. Распределение суммы |
|
||
незавнсимых слагаемых. Уcroйчивость нормальноro распреде- |
|
||
ления................................................................................................... |
|
|
143 |
§ 13. Распределение «хн квадраР.................................................... |
|
14S |
|
§ 14. Распределение СТЬюдекra...................... |
;................................ |
146 |
|
§ 15. Распределение FФишера -СНедекора................................ |
147 |
||
Зацачи................................................................................................. |
|
|
147 |
ГЛOllQ тpuнaiJцo.maR. ПOlll3l'l'e.allO раепре...... ........................... |
149 |
||
§ 1. Определение показательноro распределеиия .......................... |
149 |
||
§ 2. ВероЯ11fОСТЬ попадания в заданный интервал показательно |
|
||
распределенной случайной величниы ............................................ |
150 |
||
§ 3. Числовые хараюеРИСТИЮl показательноro распределения.... |
ISI |
||
§ 4. Функция надежности |
................................................................ |
|
152 |
§ 5. Показательный закои надежности........................................... |
153 |
||
§ 6. Характеристическое свойство показательноro закона надеж- |
|
||
ности................................................................................ |
|
,.................. |
154 |
Задачи ................................ |
,., .... ,... ,.................... ,................................ |
155 |
|
Глава чеmWPlUJдцоl1UlJl. сктема .-ух c.I)"I8ЙIIIoIX 1e.i8'IIIII................... |
155 |
||
§ 1. ПОНJП1lе о системе иескольких случайных величин.............. |
155 |
||
6
§ 2. Закон распреде.lения вероятностей дискретной двумерной
случайной величины ........................................................................ |
. |
156 |
|
§ 3. Функция распределения двуМерной случайной величины .. |
. |
158 |
|
§ 4. Свойства функции распределения двумерной случайной |
|
||
величины ........................................................................................... |
|
. |
159 |
§ 5. Вероятность попадания случайиой точки в полуполосу ...... |
. |
161 |
|
§ 6. Вероятность попадания случайной точки в прямоyroльник. |
162 |
||
§ 7. Плотность совместного распределения вероятностей непре |
|
||
рывной двумерной случайной величины (двумерная плотность |
|
||
вероятности) " ................................................................................... |
|
. |
163 |
§ 8. НаХОJКllение функции распределения системы по известной |
|
||
плотности распределения ................................................................ |
. |
163 |
|
§ 9. Вероятностный смцсл двумерной ПЛОТНОСТИ вероятности ... |
|
164 |
|
§ 10. Вероятность попадания случайной точки в произвольную |
|
||
область ............................................................................................... |
|
. |
165 |
§ 11. Свойства двумерной плотности вероятности....................... |
. |
167 |
|
§ 12. Orыскание плотностей вероятн~ти составляющих двумер- |
|
||
ной случайной величины ................................................................ |
. |
168 |
|
§ 13. Условные законы распределения составляющих системы |
|
||
дискретных случайных величин ..................................................... |
. |
169 |
|
§ 14. Условные законы распределения составляющих системы |
|
||
непрерывных случайных величин ................................................... |
|
171 |
|
§ 15. Условное математическое ожидание..................................... |
. |
173 |
|
§ 16. Зависимые и независимые случайные величины ............... .. |
|
174 |
|
§ 17. Числовые характеристики систем двух случайных величин. |
|
||
Корреляционный момент. Коэффициент корреляции ............... |
,. |
176 |
|
§ 18. Коррелмрованность и зависимость случайных величин.... .. |
|
179 |
|
§ 19. Нормальный закон распределения на плоскости................ |
. |
181 |
|
§ 20. Линейная реrpeссия. Прямые линии среднеквадратической |
|
||
реrpeссии ........ |
,................................................................................... |
182 |
|
§ 21. Линейная корреляция. Нормальная корреляция.................. |
|
184 |
|
Задачи ............................................................................................... |
.. |
|
185 |
ЧАCfЬ ТРЕТЬЯ
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ Cl'АТИcrики
ГАма IIJlmнадцаmая. в..бopo'IвwIlIIe'IUJt •..••..•••••••••••••.••••••••.•....•..•.•.• |
187 |
|
§ 1. Задачи математической статистики ......................................... |
187 |
|
§ 2. Краткая историческая справка................................................. |
188 |
|
§ 3. |
Генеральная и выборочная совокупности............................... |
188 |
§ 4. |
Повторная и бесповторная выборJCИ. Репрезентативная ВЫ- |
|
борка................................................................................................... |
|
189 |
7
§ 5 Сnocoбы отбора |
|
|
190 |
||
§ 6 Статистическое распределение выборки |
|
192 |
|||
§ 7 |
':)\lпирнческая фуНКЦИЯ распрелелеНИII |
|
192 |
||
§ 8 |
Полигон и rиcтorpaмма |
|
|
194 |
|
Зanaчи |
|
|
1% |
||
ГЛQIЮ um:mШ1щamаll c.•.IКI18IfCI!Ie |
1""ШIIрс18 Р |
,ме- |
|
||
~................. |
|
...................................................... |
................ |
.... |
'~'7 |
§ 1 Статистические ouенки параметров распревсдения |
|
197 |
|||
§ 2 Несмещенные, зффективные и СОСТOlПСJlЪные оценки |
|
1911 |
|||
§ 3 |
Генеpa.nьнзя СреllНlUI |
|
|
II)q |
|
§ 4 |
Выборочная СреАНЯЯ |
|
|
200 |
|
§ 5 |
Оценка reнерanьной средней по выборочной средней Ус- |
|
|||
тойчивость выборочных средних |
|
|
20 1 |
||
§ 6 |
Групповая и об1WlЯ средние |
|
|
203 |
|
§ 7 ОтlUlOненис от общей средией и его свойство |
|
204 |
|||
§ 8 |
Генера,1Ьнан !lиспеfX.ИЯ |
|
|
205 |
|
§ 9 |
Выборочная .1ислерсия |
|
|
206 |
|
§ 10 |
|
Формула ДЛЯ вычисления дllсперсии |
|
|
207 |
§ 11 |
ГрупповаЯ, 8НУТРИГРУППОвая. мсжrpyППО8аЯ и общая |
|
|||
диспеРСШI |
|
|
207 |
||
§ 12 |
|
Сложение дисперсий |
|
|
210 |
§ 13 |
|
Оценка reнера,1ЬНОЙ дисперсии по испраR.1енноЙ выбороч- |
|
||
ной |
|
|
|
|
211 |
§ 14 ТОЧНОСТЬ OIleНКИ. доверительная llepOllТНOCТЬ (н:ureжность) |
|
||||
довеРII'J'eJlЬНЫЙ интервan |
|
|
213 |
||
§ 15 ДоверителЫNС ИiПepВdJlы для оцеНКИ м:rrематическоrо |
|
||||
ОЖlW1ния нормального распределения при известном (J |
|
214 |
|||
§ 16 Доверительные интервanы для оuенки математическоrо |
|
||||
ОЖид;lНИЯ нормальноrо paLпределеНИЯ при неИ3llC{.'Тном (J |
|
216 |
|||
§ 17 |
|
Оценка истинного значения измеряемой величины |
|
]19 |
|
§ 18 |
ДoвepttТeJlьtlыe интервалы для оценки cpellНeгo |
КDaII- |
|
||
parич«кою OI'kJIOнеНИII (J нормальною распревеленlUt |
|
220 |
|||
§ 19 |
|
Оценка точности измерений |
|
|
223 |
§ 20 |
Оценка вероятности (биномиального распределения) по |
|
|||
ОТНОСJПeльной частоте |
|
|
224 |
||
§ 21 |
|
Метод МОМСIПОВ ДЛII точечной оценки Шlраметро8 распре- |
|
||
деленИЯ |
|
|
226 |
||
§ 22 |
|
Метод наибольшею праlU10ПОдобия |
|
|
229 |
§ 23 |
|
Дpyrие хараJCreристнки вариauионною PfIД3 |
|
234 |
|
3ааачи |
|
|
2:)5 |
||
fAatJQ ~ Mn'O,IUoIl!К............. ПР"I, с._"''''' |
237 |
||||
§ 1 |
YCJlOВНble вapнaнты |
|
|
237 |
|
8
§ 2 Обычные, начanьные и ценrpaльнwe эмпирические мoмeкrы |
238 |
||
§ 3 Условиые эмпирические MOМCкrы OrыCJtaНИe ценrpaльных |
|
||
момеlПOВ по условным |
239 |
||
§ 4 |
Метод произведений ДIUI вычисления выборочных сptWteй |
|
|
и дисперсии |
241 |
||
§ 5 |
Сведение первоначальных вариантов к равнoorcтoящим |
243 |
|
§ 6 |
Эмпирические и выравнивающие (теоретические) частorы |
245 |
|
§ 7 |
Построение нормальной кривой по опытным даННЫМ |
249 |
|
§ 8 Оценка отклонения эмпирического распределения от нор- |
|
||
мального Асимметрия и эксцесс |
250 |
||
З~ачи |
252 |
||
Глава восемнадцamШI Э.вемевтw теорвв IЮIJIIUIЩJIII.......................... |
253 |
||
§ 1 Функциональная, статистическая и корреляционная |
|
||
зависимости |
253 |
||
§ 2 Условные средние |
254 |
||
§ ~ |
Выборочные уравнения регрессии |
254 |
|
§ 4 |
|
Отыскание параметров выборочного уравнения прямой |
|
линии среднеквадратичной регрессии по несгруппированиым |
|
||
данным |
255 |
||
§ 5 |
Корреляционная таблица |
257 |
|
§ 6 |
|
Отыскание параметров выборочного уравнения прямой |
|
линии реrpcссии по сгруппированным данным |
259 |
||
§ 7 |
Выборочный коэффициент корреляции |
261 |
|
§ 8 |
Методика вычиеления выборочною коэффициента корре- |
|
|
~~ |
~ |
||
§ 9 ПРИ\lер на отыскание выборочного уравнения прямой линии |
|
||
регрессии |
267 |
||
§ 10 |
Предварительные соображения к введению меры любой |
|
|
корреляционной связи |
268 |
||
§ II |
|
Выборочное корреляционное отношение |
270 |
§ 12 |
|
Свойства 8ыбоРО'IНОГО корреляционного отношения |
272 |
§ 13 |
Корреляционное отношение как мера корреляuионной |
|
|
"вязи |
Достоинства И недостaтtШ этой меры |
274 |
|
§ 14 |
|
Простейшие случаи криволинейнои корреляции |
275 |
§ 15 |
|
Понятие о \lНОJl:ественной корреляции |
276 |
Задачи |
278 |
||
Глава деflяmНflдцаmaR Статистическая ороверка СТ8тиCТll'llССUX |
|
||
ПlПО1'е3 |
|
|
281 |
§ 1 СтатистичесJ.ЗЯ mПОlеза Нулевая и конкурирующая, прос- |
|
||
тая и сложная mпотезы |
281 |
||
§ 2 Ошибки первого и второго рода |
282 |
||
§ 3 |
Статистический критерий проверки нулевой mпотезы На- |
|
|
блюдаемое значение критерия |
283 |
||
9
§ 4 |
КритическВJI область |
Область принятия гипотезы |
|
|
Критиtrеские точки |
|
|
284 |
|
§ 5 Отыскание правостороиней критической области |
|
285 |
||
§ 6 |
Orыскание левосторонней и двусторонней критических |
|
||
областей |
|
|
286 |
|
§ 7 Дополнительные сведения о выборе критической области |
|
|||
Мощность криreрия |
|
|
287 |
|
§ 8 Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных сово- |
|
|||
купностей |
|
|
288 |
|
§ 9 |
Сравненне исправленной выборочной дисперсии |
с |
|
|
mпотетической генеральной дисперсией нормальной совокуп- |
|
|||
ности |
|
|
293 |
|
§ 1О Сравнение двух средних нормальных генеральных совокуп- |
|
|||
ностей, дисперсии которых известны (независимые выборки) |
|
297 |
||
§ 11 |
Сравнение двух средних произвольно распределенных ге- |
|
||
неральных совокупностей (большие независимые выборки) |
|
303 |
||
§ 12 |
Сравнение двух средних нормальных генеральных совокуп |
|
||
ностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы (малые |
|
|||
независимые выООрЮl) |
|
|
305 |
|
§ 13 |
Сравнение выборочной средией с гипотетической генераль- |
|
||
ной средней нормальной совокупности |
|
308 |
||
§ 14 |
Связь между двусторонней критической областью |
и |
|
|
доверительным интервалом |
|
|
312 |
|
§ 15 |
Определение минимального объема выборки при сравнении |
|
||
выборочной и гипотетической генеральной средних |
|
313 |
||
§ 16 |
Пример на отыскание мощности критерия |
|
313 |
|
§ 17 |
Сравнение двух средних нормальных генеральных совокуп- |
|
||
ностей с неизвестными дисперсиями (зависимые выборки) |
|
314 |
||
§ 18 |
Сравнение наблюдаемой относительной частоты |
с |
|
|
гипотетической вероятностью появления события |
|
317 |
||
§ 19 |
Сравнение двух вероятностей биномиальных распределений |
319 |
||
§ 20 |
Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных |
|
||
совокупностей по выборкам различного объема Критерий Бар- |
|
|||
тлетта |
|
|
322 |
|
§ 21 Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных |
|
|||
совокупностей по выборкам одинакового объема Критерий Коч- |
|
|||
рена |
|
|
|
325 |
§ 22 Проверка гипотезы |
в значимости выборочного |
|
||
КОэффициента корреляции |
|
|
327 |
|
§ 23 |
Проверка гипотезы о нормальном распределении генераль- |
|
||
ной совокупности Критерий согласия Пирсона |
|
329 |
||
§ 24 |
Методика вычисления теоретических частот нормального |
|
||
распределения |
|
|
333 |
|
§ 25 ВЫборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена |
|
|||
и проверка гипотезы о его значимости |
|
335 |
||
10