2003_-_Gmurman__TV_i_MS

н а б л ю д е н 11 й (и сп ы т а н и й) н а к а ж Д о м у р о в н е

(общая сумма квадратов отклонений наблюдаемых значе­

ний от общей средней Х),

р

SФакт = q ~ (ХГРJ-Х)2

1 = 1

(факторная сумма квадратов отклонений групповых сред­

них от общей средней, которая характеризует рассеяние

«между группами»),

+ ~ (Х/а -ХгР2)Z + ... + ~ (Xfp-ХгрР)Z

(остаточн.ая сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений группы от своей групповой средней, которая

характеризует рассеяние «внутри групп»).

Практически остаточную сумму находят по равенству (см. § 3, следствие)

351

3 а м е ч а н и е. Для упрощения вычислений ВЫЧJlтают из каждого

наблюдаемого значения одно и то же число С, примерно равное

общей средней. Если уменьшенные значения Yij=)',ij-C, то

Q

где Qj= ~ У~/-сумма квадратов уменьшеиных значений признака

;= 1

всоотношение (**).

по я с н е н ия. 1. Убедимся, что SФакт характеризует

воздействие фактора Р. Допуст,Им, что фактор оказывает

существенное влияние на Х. Тогда группа наблюдаемых значений признака на одном определенном уровне, вообще говоря, отличается от групп наблюдений на других уров­

нях. С.педовательно, различаются и групповые средние,

причем они тем больше рассеяны вокруг общей средней, чем большим окажется воздействие фактора. Отсюда сле­

дует, что для оценки воздействия фактора целесообразно составить сумму квадратов отклонений групповых сред­ них от общей средней (отклонение возводят в квадрат,

чтобы исключить погашение положительных и отрица-

-тельных отклонений). Умножив эту сумму на q, получим

Sфакт' Итак, SФакт характеризует воздействие фактора.

2. Убедимся, что SOCT отражает влияние случайных причин. Казалось бы, наблюдения одной группы не

должны различаться. Однако, поскольку на Х, кроме

фактора Р, воздейству~т и случайные причины наблюде­

ния одной и той же группы, вообще говоря, различны

и, значит, рассеяны вокруг своей групповой средней. Отсюда следует, что для оценки влияния случайных при­

чин целесообразно составить ~YMMy квадратов отклонений наблюдаемых значений каждой группы от своей групповой

средней, т. е. Socт. Итак, SOCT характеризует воздействие

случайных причин.

352

3. Убедимся, что Sобщ отражает влияние и фактора и

случайных причин. Будем рассматривать вс.е наблюдения как единую совокупность. Наблюдаемые значения при­

знака различны вследствие воздействия фактора и случай~

ных причин. Для оценки этого воздействия целесообразно

составить сумму квадратов отклонений наблюдаеу.,·IЫХ зна­

чений от общей средней, т. е. SОбщ'

Итак, Sобщ характеризует влияние фактора и случай­

ных причин.

Приведем пример, который наглядно показывает, что

факторная сумма отражает влияние фактора, а остаточ­

ная -влияние случайных причин.

Пример. Двумя приборами произведены по два измерения физи­ ческой величины, истинный размер которой равен х. Рассматривая

вкачестве фактора систематнческую ошибку С, а в качестве его

уровней - систематические ошибки С1 и С2 соответственно первого

н втор()го прибора. показать, что Sфакт определяется систематиче­ скими, а Sост-случайными ошибками измереинЙ.

Реш е н н е. Введем обозначения: 0;1, 0;2 - случайные ошибки

первого и второго измерений первым прибором; ~1' ~2-случайные

ошибки первого и второго измерений вторым прибором.

Тогда наблюдаемые значения результатов измерений соответст­

веино равны (первый индекс при х указывает номер измеРt!ниSJ,

а второй - номер прибора):

ха =Х+С1+0;1, Х'I =х+С} +0;2; Х12=Х+С, +~1. Х'2=Х+С'+ ~2'

Среднне значения измерений первым и вторым приборами соот­

ветственно равны:

Хгр 1 =Х+С1 + [(0;1 +(2 )/2] =Х+С1+0;,

Хгр 2 =Х +С,+ [Фl+ ~2)/2] = Х+С2+ (J.

Общая средняя

х= (Хгр 1 +Хгр 2)/2 =х+ (С} +С2)/2]+ [(о; +(J)/2J,

факториая сумма

Sфакт = (Хгр }-х)1!+(Хгр 2-;)2.

Подставив величины, заключенные в скобках, после элементарных преобразовании получим

SФакт = [(С}-С2)2/2] +(C}-C1 ) (0;- (J) +[(0;- ~)2/2].

Мы видим, что SФакт определяется главным образом, первым слагаемым (поскольку случайные ошибки измерений малы) и. следо­ вательно, действительно отражает влияние фактора С.

Остаточная сумма

SOCT= (Xll-Xrp })2+ (Х21-ХГР })2 + (Хl1- ХГР 2)' + (XI2Xrp ,)2.

Подставив величины, заключеиные в скобках, получим

SOCT = [(о;} - 0;)2 +(О;а - 0;)') +((l}l-I})' +(~I- ~)2).

Мы видим, что SOCT определяется случайными ошибками измере­

ний и, следовательно, действительно отражает влияние случайиых

причин.

3 а м е ч а н и е. То, что SOCT порождается случайными причинами,

следует также из равенства (см. § 3, следствие)

причин.

§3. Связь между общей, факторноА

иостаточной суммами

Т а б л и ц а 31

Sобщ = (Хl1-Х)' + (X 21 -X)2 + (X12 -X)2 + (х22-х)2.

Вычтем и прибавим к каждому наблюдаемому значению

на первом уровне групповую среднюю ХГРl' а на вто­

РОМ-Хгр2' Выполнив возведение в квадрат и учитывая, что сумма всех удвоенных произведений равна нулю

(рекомендуем читателю убедиться в этом самостоятельно),

получим

SОбщ = 2 [(xrp1 -X)2 + (Хгр2 -х)2] + [(xl1 - Xrp1)2+

+(~21-ХГРl)2 +(xlz-Xrp2)' + (Х22-ХГР2)'] =

=SФакr + Socr.

354

ями. Покажем, что решение этой задачи сводится к срав­

нению факторной и остаточной дисперсий по критерию

Фишера-Снедекора (см. гл. XIX, § 8).

1. Пусть нулевая гипотеза о равенстве нескольких

средних (далее будем называть их групповыми) пра­

вильна. В этом случае факторная и остаточная дисперсии являются несмещенными оценками неизвестной генераль­ ной дисперсии (см. § 4) и, следовательно, различаются

незначимо. Если сравнить эти оценки по критерию Р, то очевидно, критерий укажет, что нулевую гипотезу о

равенстве факторной и остаточной дисперсий следует

принять.

Таким образом, если гипотеза о равенстве групповых

средних правильна, то верна и гипотеза о равенстве фак­

торной и остаточной дисперсий.

2. Пусть нулевая гипотеза о равенстве групповых средних ложна. В этом случае с возрастанием расхожде­

ния между групповыми средними увеличивается фактор-

ная дисперсия, а вместе с неи- и отношение F на6л = Sфакт~ /SостI '

В итоге РНа6Л окажется больше Ркр и, следовательно, гипотеза о равенстве дисперсий будет отвергнута.

Таким образом, если гипотеза о равенстве групповых

средних ложна, то ложна и гипотеза о равенстве фак­

торной и остаточной дисперсий.

Легко доказать от противного справедливость обрат­ ных утверждений: из правильности (ложности) гипотезы

одисперсиях следует правильность (ложность) гипотезы

осредних.

Итак, для того чтобы проверить нулевую гипотезу о равенстве групповых средних нормальных совокупностей

с одинаковыми дисперсиями, достаточно nрове!'ить по

критерию F нулевую гипотезу о равенстве факторной и

осrrшточной дисперсий. В этом и состоит метод диспер­

сионного анализа.

3 а м е ч а н и е 1. Если факториая дисперсия окажется меньше

остаточной, то уже отсюда следует справедливость гипотезы о равен­

стве групповых средних и, зиачит, нет надобиости прибегать к кри­

терию Р,

3 а м е ч а н и е 2. Если нет увереииости в справедливости пред­

положения о равенстве дисперсий рассматриваемых р совокупностей,

сиониого анализа при уровне значимоСТИ 0,05 проверить нулевую

356

Таблица 32

гипОТЕЗУ о равенстве групповых средних. Предполагается, что выборки извлечены из нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями.

357

и (****»:

SОБЩ=.~Qj- [( ~ Tj)~1(pq>] =266-0=266;

Найдем остаточную сумму квадратов отклонений:

SOCT = SоБЩ-Sфакт= 266-152= 114.

Найдем факторную и остаточную дисперсии:

гл. XIX, § 8), для чего найдем наблюдаемое значеиие критерия:

Fнаб:n.=S2факт/Soc~ т=76/12,67 = 6.

Учитывая, Ч'Ю число степеней свободы числителя k 1 = 2, а зиа­

менатео1Я k 2 = 9 и уровень зиачИмости а = 0,05, по таблице приложе­

ния 7 находнм критическую точку:

Fкр(О,05; 2; 9) = 4,26.

Так как Fнабл> Fкр-нулевую гипотезу о равеистве групповых

средних отвергаем. Другими словами, груrшовые средние св целом»

дроби с одннм знаком после запятой, то целесообразно перейти к

числам Yij= 10Xjj-C, где С-примерно среднее зиачение чисел 10xjj'

Ха1 = 12,6, 10, приняв Yij= 10'Хij-12З, получим: Y1l = 121-123 = -2, У21= 122-123=-1, Уаl= 126-123=3.

Аналогично поступают, если после запятой имеется k знаков:

Уц= IOkX(/-С'

§ 6. Неодинаковое число испытаний

на различных уровнях

Выше число испытаний на различных уровнях

предполагалось одинаковым. Пусть число испытаний на

различных уровнях, вообще говuря, различно, а именно:

358

случае общую сумму квадратов отклонений находят по

формуле

наблюдавшихся значений признака соответственно на уров­

нях F 1" F а' ... , Fр;

n=ql+qz+ ... +qр-общее число испытаний (объем

выборки).

Если для упрощения вычислений И3 каждого наблю­

давшегося ~начения Хu вычитали одно и то же число С

и приняли Yij =x/j-C, rn

SОбщ=[Ql+Q.+ ... +Qp]-[(T1 +T.+ ... + Тр)l/n].

359

Остальные вычисления производят, как и в случае

одинакового числа испытаний:

SOCT = Sобщ-Sфаку>

S~aKT = Sфакт/(р-l), S~T= SOCT/(n-p),

Пример. Произведено 10 испытаний, из них 4 на первом уровне

фактора, 4- на втором и 2 - на третрем. Результаты испытаний прн­

ведены в табл. 34. Методом дисперсионного анализа при уровне зна­ чимости 0,01 проверить нулевую гипотезу о равенстве групповых средних. Предполагается, что выборки извлечены из нормальных

совокупностей с одииаковыми дисперсиями.

Используя табл. 35, найдем общую и факторную суммы квадратов

отклоиений:

Sобщ = ~ Qj-[(~ т,)2/n ] =3253- [(-27)2/IO] = = 3253-72,9 = 3180,1;

Sфакт= [(T~/ql) +(T:/q2) +(T=/qs)]- [(~ Tj )2/n] =

= (7744/4) +(441 /4) +(l600/2)l-72,90 = 2846,25-72,90 = 2773,35.

Найдем остаточную сумму квадратов отклонений:

SOCT = Sобщ -SФакт =3180,10-2773,35=406,75.

Найдем факториую и остаточную дисперсии:

З6О