2003_-_Gmurman__TV_i_MS

В свою очередь, в соответствии с правилом настоящего пара­

графа эта задача сводится к разыгрыванию дискретной случайной величины Х, закон распределения которой

Р0,12 0,48 0,08 0,32

Используем правило § 4. Выберем 6 случайных чисел, например:

чайное число r 1 = 0,45 принадлежит интервалу 1\2' поэтому наступило

событие А2=АВ. Аналогично наАдем нсходы остальных нспытаниЙ.

Итак, искомая последовательность исходов разыгранных нспыта-

ннА такова: АВ, АВ, АВ, АР. АВ. АВ.

А2 =АВ, при"ем Р (АВ)=Р (А)-Р (АВ) =0,8-0.5=0,3;

А.=АВ, причем Р (АВ)= Р (В)-Р (АВ) =0,6-0,5:=0,1;

стью 0,1.

Рекомендуем закончИТЬ решенне самостоятельно, считая для

определенности, что выбраны с,.1учаАные числа: 0,65; 0,06; 0,59; 0.33'. Для контроля приводим ответ: АВ, АВ, АВ, АВ.

П о я с и е н и е. Так КаК А=АВ+АВ, то Р (А)=Р (АВ)+Р(АВ).

Orсюда

Р (АВ) = Р (А)- Р (АВ).

Аналогично получнм, ЧТО

р(АВ) = Р (В) - Р (АВ).

§7. Разыгрывание непрерывной CJlучаАноА

величины. Метод обратных функций

Пусть требуется разыграть непрерывную случай­

ную величину Х. т. е. получить последовательность ее

возможных значений Xl (i = 1, 2, ... ), зная функцию распределения F (х).

Теорема. Если r i -случайное число. то возможное зна­

чение х, разыгрываемой непрерывной случайной величины

Х с заданной функцией распределения F (х), coomвeт-

371

ствующее , /' является корнем уравнения

F (х{) = '/.

Д о к а з а т е л ь с Т В о. Пусть выбрано случайное число , 1 (О =::;;;" i < 1). Так как в интервале всех возможных зна­

чений Х функцня распределения F (х) монотонно возра­ стает от О до 1, то в этом интервале существует, причем

только одно, такое значt'ние аргумента х" при котором

фуикция распределения примет значение '1' Другими

словами, уравнение (*) имеет единственное решение

Х1 = F-l (, ,),

где F-t-функция, обратная функции у=Р(х).

Докажем теперь, что корень х, уравнения (*) есть возможное значение такой непрерывной случайной вели­

чины (временно обозначим ее через ~, а потом убедимся,

Действительно. так как F (х) - монотонно возрастаю­ щая функция в интервале всех возможных значений Х. то в этом интервале ббЛЬШJ1М значениям аргумента соот­

ветствуют большие значения функции, и обратно. Поэтому,

если с < х{ < d, то F (с) < , l'< F (d), и обратно [учтено,

что в силу (*) F (xJ = '1]'

Из этих неравенств следует, что если случайная

величина ~ заключена в интерваJlе

и обратно. Таким образом, неравенства (**) и (***) рав­

интервал, принадлежащий интервалу (О, 1), равна его

длине (см. гл. XI, § 6, замечание). В частности,

/

Р[Р (с) < R < F (d)]=F (d)-F(c).

372

СледоватеJIЬНО, соотношение (****) можно записать в виде

р (с < ~ < d) = F (d)-F (с).

Итак, вероятность попадания ~ в интервал (с, d) равна

приращению функции распределения F (х) на этом интер­

вале, а это означает, что ~ = Х. Другими словами. числа

хн определяемые формулой (*), есть возможные значения величины Х с заданной функцией распределения F (х),

что и требовалось доказать.

Правило 1. Для того чтобы найти возможное значение

Х; непрерывной случайной величины Х, зная ее функцию распределения F (х), надо выбрать случайное число , ,.

приравнять его функции распределения и решить отно­

сительно Х1 полученное уравнение

F (xJ='j.

3 а м е ч а н и е 1. Если решить это уравнение в явном виде не

удается, то прибегают к графическим илн численным методам.

Пример [. Разыграть 3 возможных значения непрерывиой слу­

чайной величины Х, распределениой равномерно в интервале (2, 10).

Реш е н и е. Напишем функцию распределения величииы Х, рас­

пределен.,оЙ равномерно в интервале (а, Ь) (см. гл. XI, § 3, пример):

F (х) = (х - a)j(b - а).

По условию, а=2, Ь= 10, следовательно,

F (Х) = (х - 2)/8.

Используя правило настоящего параграфа, иапишем уравнеиие

для отыскания возможных значеинй Xj, для чего приравняем функuию распределения случайному числу:

(XI-2)/8= 'j.

Orсюда Xj=8'i+2.

Выберем 3 случайных числа, например, '1=0,11, '2=0,17,

показательному закону, заданному функцией распределения (параметр А > О известен)

F (Х)= '_е-Ах (Х > О).

Требуется найти явную формулу для разыгрывания возможных зна-

чеиий Х.

Реш е н и е. Используя правило настоящего параграфа, напишем

уравнение

-Ах.

'-е '='j.

Решим это уравнение относительно Xl:

-Ах.

е 1 = 1-,/, или -АХ, =]п (1- 'д.

313

Orсюда

Случайиое число r i заключено в иитервале (О, 1); следовательн().

число I - r j также случайиое и принадлежит интервалу (0,1). Дру­

гими словами, величины R и l-R распределены одинаково. Поэтому

для отыскання Х/ можно воспользоваться более простоА формулоА

относительно Xl уравнение

Правило 2. Для того чтобы найти возможное значение

х{ непрерывной случайной величины Х, зная ее плот­

ность вероятности f (х), надо выбрать случайное число

'1 и решить относительно Xl уравнение

или уравнение

%/

Sf (х) dx = r i •

а

где а-наименьшее конечное возможное значение Х.

возможиых значений Х.

374

Ре щ е 11 и е. НаПhшем в соответствии справилом 2 уравнение

Xi

л S(I-'Лх/2) dx= ,/.

о

Выполнив интегрирование и решив полученное квадратное уравнение

относительно Xi, окончательно получим

Xi=2(1- У I-,;}/Л.

§ 8. Метод суперпозиции

Пусть функция распределения разыгрываемой

случайной величины Х может быть представлена в виде

линейной комбинации двух функций распределения:

F (х) = C1F 1 (х)+СаР,,(х) (Ct>O, Са >0).

По числу r 1 разыгрываем возможное значение Z (см. § 4).

Если окажется, что Z = 1, то ищут и~комое возможное

значение Х из уравнения F1 (х) = r а; если Z = 2, то ре­

шают относительно х уравнение Р" (х) = r 111'

Докажем, что функция распределения разыгрываемой

случайной величины равна заданной функции распреде­

ления. Воспользуемся формулой полной вероятности

(см. гл. IV, § 2)

Р (А) = Р (81) Рв, (А) + Р (8а) РВ. (А).

Обозначим через А событие Х < х; тогда

Р (А) = Р (Х < х) = F (х).

Рассмотрим гипотезы 81: Z = 1 и 82: Z = 2. Вероятности

9ТИХ гипотез в силу (*):

P(81 )=P(Z=I)=C1 и P(8a)=P(Z=2)=Ca• (***)

375

Используя реЦl~ние примера 2 (см. § 7). в котором была найдена

явная формула Х= -(l/Л) 'п' для разыгрывания возможных значений

показательного распределения с задаиным параметром А. окончательно

получим:

х= -(1/2) In '2. если ,!. < 0,25; x=-IП'I, если '1;;;;'0,25.

§ 9. Приближенное разыгрывание иормальноА

случайной величины

Напомним предварительно, что если случайная

величина R распределена равномерно в интервале (О, 1),

:го ее математическое ожидание и дисперсия соответственно

pllBHbl (см. гл. Х 11, § 1, замечание З):

м (R) = 1/2, D (R) = 1/12.

Составим сумму n независимых, распределенных рав­

номерно в интервале (О, 1) случайных велнчин RJ (j = 1,

2, ...• n):

n

~ RJ •

1=1

Для нормирования этой суммы найдем предварительно

еематематическое ОЖlfдание и дисперсию.

Известно. что математическое ожидание суммы слу­

чайных величин равно сумме математических ожиданий

слагаемых. Сумма (***) содержит n слагаемых, матема­

тическое ожидание каждого из которых в силу (*) равно

1/2~ следовательно, математическое ожидание суммы (***)

м[± Ri ] =n/2.

J = 1

Известно, что дисперсия суммы независимых случай­

ных величин равна сумме дисперсий слагаемых. Сумма

(***) содержит n независимых слагаемых, дисперсия каж­ дого из которых в силу (**) равна 1/12; следовательно,

377

дисперсия суммы (***)

D[± RJ ]=n/12.

1= (

Огсюда среднее квадратическое отклонение суммы (***)

O':t = V nЛ2.

Пронормируем рассматриваемую суммуt для чего выч­

тем математическое ожидание и разделим результат на среднее квадратическое отклонение:

n

~ RJ -(n/2)

1=(

~-:-уr=n::;:/I;::::2'-- •

, В силу центральной предельной теоремы при n - + 00

распределение этой нормированной случайной велИЧИНЫ

стремится к нормальному с параметрами а = О и о' = 1. При конечном n распределение прибли­

женно нормальное. В частности, при n= 12 получим

достаточно хорошее и удобное для расчета приближение

J2

~ RJ -6.

1=1

Правило. Для того чтобы разыграть возможное зна­

чение Х{ нормальной случайной величины Х с парамет­ рами а = О и (J = 1, надо сложить 12 независимых слу­

чайных чисел И из полученной суммы вычесть 6:

12

Х{= ~ ГJ-б=S{-б.

1... 1

Прнмер. а) Разыграть 100 возможных значений нормальной БеЛИ­

чины Х С параметрами а=О и 0= 1; б) оценить параметры разыг­ раиноА величины.

Реш е н и е. а) Выберем 12 случайных чисел из первой строки таблицы *), сложим их и из полученной суммы вычтем б; в итоге

имеем

Xl=(O,tO+O,09+ ... +0,67)-6=-0,99.

Аналогично, выбирая из каждой следующей строки таблицы пер­ вые 12 чисел, найдем остальные возможные значения Х.

*) См.: Большев Л. Н., Смирнов Н. В. Таблицы матема­

тической статистики. М., «Наука», 1965, с, 428-429.

378

б) Выполнив расчеты, получим искомые оценки:

а*=Хв ::.,.- 0,05, 0--= YD B :::... 1,04.

аи средним квадратическим отклонением (1, то, разыграв по пра­

вилу настоящего параграфа возможное значение Xi, находят искомое

возможное значение по формуле

Zj = (1Xi+а.

Эта формула получена нз соотиошения (z;-а)/а=XJ.

3аАачи

1. Разыграть 6 зиачений дискретиой случайной велнчнны

Х, закон распределения которой задан в виде таблнцы

у к а з а н и е. Для определенностн принять, что выбраны слу­

чайные числа: 0,28; 0,53; 0,91; 0,89.

Отв. А, А, А, А.

3. Заданы вероятности трех событий. образующих полную группу:

р (А.) = 0,20, Р (AJI) = 0,32, Р (Аз) = 0,48. Разыграть б нспытаний,

вкаждом из которых появляется одно из заданных событий.

ук а з а н Н е. Для определенности принять, что выбраиы слу­

чайные числа: 0,77; 0,19; 0,21;)),51; 0,99; 0,33.

таний, в каждом из которых вероятность появления события А равна

тания, в каждом нз которых вероятности появления событий заданы:

р (А)=0,4, Р (В)=0,6, Р (С)=0,5.

числа: 0,075; 0,907; 0,401; 0,344.

Оmв. A 1 • A s, А4, А,.

~_ События А и В зависимы и совмесТны. Разы\'рать 4 Испыта­

иия, в каждом нз которых заданы вероятности: Р (А) =0,7, р (В) =0,6,

р (АВ)=О,4.

379

величины Х, распределенной равномерно в интервале (6, 14).

У к а з а н и е. Для определенности принять, что выбраны C.'IY-

чайные числа: 0,11: 0,04; 0,61; 0,93. Отв. 6,88; 6,32; 10,8"8; 13,44.

9. Найти методом суперпозицни явные формулы для разыгрыва­ ния непрерывной случайной величины Х, заданиой фуикцией рас­

пределения

F (х) = 1- (1/3) (2е- 2Х +е-SЧ, 0< х < 00.

Отв. Х= -(1/2) lп Г2, если rl < 2/3; x=-(1/3) Iп г" если Гl~ 2/3.

f (х)=О.

Отв. Xl= -rj/(b-ar,).

Глава двадцать вторая

ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ЦЕПЯХ МАРКОВА

§ •• Цепь Маркова

Цепью МаРК08а называют последовательность

испытаний, в каждом из которых появляется только одно

из k несовместных событий A1 , А•• ...• А. полной группы,

причем условная вероятность Plf(S) того, что в S-M испы­

зует цепь ~apKOBa и полная группа состоит из четырех

З8О