2003_-_Gmurman__TV_i_MS

с в о й с т в о 1. Математическое ожидание неслучай­

н,QЙ фун,IЩUU ер (t) равно самой н,ес.llУчайной функции:

М[Ч> (t)] = q> (t).

Св о й с т в о 2. Нес.llУчаЙныЙ .множитель ер (t) МОЖНО

выносить за знак .маmематического ожидан.ия:

М [ер (t) Х (t)] = q> (t) М [Х (t)] = q> (t) тх (t).

С в о й с т в о З. Мате.м.атическое ожидание су.ммы двух

случайных функций равно сум.м.е .математич.еских ожида­

ний слагае.м.blX:

м[Х (t)+ У (t)] =тх (t)+m" и).

Сл е Д с т в и 'е. Для того чтобы найти .м.аmе.матическое

ожидание су.м..м.ы случайной и неслучайной функций, доста­

точно к мате.м.атическ'О.м.у ожиданию случайной функции nрибавить неслучайную фУllкцию:

М[Х (t) + q> (t)] = тх (t) + q> (t).

Рекомендуем самостоятельно доказать приведенные свойства, учитывая, что при любом фиксированном зна­

чении аргумента случайная функция ЯВJlяется случай­

ной величиной, а неслучайная функция - постоянной

величиной. Например, свойство 3 доказывается так: при

фиксированном значении аргумента случайные функции

Х (t) и У (t) являются случайными величинами, для

которых математическое ожидание суммы равно сумме

математических ожидаиий слагаемых.

Пример. Найти математическое ожидаиие С.1учаЙноА функции Х (t) = и cos t, где U - случайиая велнчииа. прllчем М (И) = 2.

Реш е и и е. Найдем математическое ожидание, учитывая, что

неслучайный МНОЖИтель осо5 t можио вынести З8 ЗН8К математического

ожидания;

м [Х (t)l=M (и <:05 t}=<:05 tM (И)=2 СО5 t.

Итак, искомое математическое ожидание

тx(t)=3cost.

§ 6. дисперсия случайной функции

Рассмотрим случайную функцию Х (t). -При

фиксированном значении аргумента, например при t = t1 ,

получим сечение-случайную величину Х (t1) с диспер­

сией D (Х (tl)];;;:: о (предполагается, что дисперсия любого сечения существует). Таким образом, каждое фиксирован-

391

ное значение аргумента определяет сечение--случайную

величину, а каждой случайной величине соответствует

ее дисперсия. Отсюда следует. что каждому фиксирован­

ному значению аргумента t соответствует определенная

дисперсия; это означает, что дисперсия случайной функ­ ции есть функция (неслучайная, причем неотрицательная)

от аргумента t; ее обозначают через D x (t). В частном

случае D" (t) может сохранять постоянное значение при

всех допустимых значениях аргумента. Дадим теперь

определение дисперсии.

дисперсией случаЙНОЙ функции Х (t) называют неслу­

чайную:неотрицательную функцию D" (t), значение которой

при каждом фиксированном значении аргумента t равно дисперсии сечения, соответствующего этому же фиксиро­

ванному значению аргумента:

D" (t) = D [Х (t)].

Дисперсия характеризует степень рассеяния возмож­

ных реализаций (кривых) вокруг математического ожи­

дания случайной функции (<<средней кривой:.). При фик­

сированном значении аргумента дисперсия характеризует

степень рассеяния ВОЗМОжных значений (ординат) сечения вокруг математического ожидания сечения (<<средней

ординаты»).

Часто вместо дисперсии рассматривают среднее квад­

ратическое отклонение случайной функции, которое

определяют по аналогии со средним квадратическим

отклонением случайной величины.

Средни'м квадратически'м отклонение'м случайНОй ФУНК­

ции называют квадратный корень из дисперсии:

ох (t) = VD" (t).

§ 7. Свойства дисперсии случайной функции

Используя свойства дисперсии случайной вели­

чины, легко получить свойства дисперсии случайной

392

изведению квадрата неслучайного .множителя на диспер­

сию случайной функции:

D LX (t) q> (t)] = q>2 (t) D x (t).

Рекомендуем самостоятельно доказать приведенные

свойства, учитывая, что при любом фиксированном зна­ чении аргумента случайная функция является случай­

ной величиной, а неслучайная функция - постоянной

величиной.

Пример. Найти дисперсию случайной функции Х (t)=И sin t, где И-случайная величина, причем D(И)=6.

§ 8. Целесообразность введения корреляционной

функции

Математическое ожидание и дисперсия характе­

ризуют случайную функцию далеко не полно. Можно

привести примеры двух случайных функций, которые

имеют одинаковые математические ожидания и дисперсии,

но поведение которых различно. Зная лишь эти две

характеристики, в частности, ничего нельзя сказать

о степени зависимости двух сечений. Для оценки этой

зависимости вводят новую характеристику-корреляци­

онную функцию. Далее покажем, что, зная корреляцион­ ную функцию, можно найти и дисперсию; поэтому знать

закон распределения для отыскания дисперсии нет необ­

ходимости. Уже это обстоятельство указывает на целе­

сообразность введения корреляционной функции.

Прежде чем перейти к дальнейшему изложению, введем

понятие центрированной случайной функции по аналогии с понятием центрированной случайной величины {центри­

рованной случайной величиной называют разность между

случайной величиной и ее математическим ожиданием:

Х=Х-тх).

393

Центрированной случайной функцией называют раз­

ность между случайной функцией и ее математическим

ожиданием:

Х(t) = Х и)-т"и).

§9. Корреляционная фуикция случаАной функции

Рассмотрим случайную функцию Х (t). При двух

фиксированных значениях аргумента, например при t = t1

И t = t 2 , получим два сечения-систему двух случайных

снстему двух случайных величин, а каждой такой системе

соответствует ее корреляционный момент. Отсюда сле­

соответствует определенныи корреляционныи момент; это

означает, что корреляционный момент случайной функ­

ции есть функция (неслучайная) двух независимых аргу­

ментов t1 и t2,; ее обозначают через КХ ин t.). в частном

случае значения обоих аргументов могут быть равны между собой.

Приведем теперь определение корреляционной функции. Корреляционяой функцией случайной функции Х (t)

называют неслучайную функцию К" иl' t2) двух незави­

симых аргументов t1 и t2 , значение которой при каждой паре фиксированных значений аргументов равно корре-

u

ляционному моменту сечении, соответствующих этим же

фиксированным значениям аргументов:

394

Таким образом. достаточно знать корреляционную

функцию. чтобы найти дисперсию случайной функции.

Пример. Задаиа случаЙН8И функции Х (t) = и/, где И-случай­

ная величина, прнчем М(И)=4,D(И)=IО. Найти: а) корреляцио".

иую Фуикцию; б) дисперсию заданной случайиой функции. Реш е н и е. а) I-:{айдем математическое ожидаиие:

т,,(t)=M [Х (t))=M (Иt)=tМ (И)=4/.

Найдем центрированную функцию:

Найдем корреляциониую функцию:

Кх (/1, tз)=М [Х (t 1) k (t l »= м [(И-4) 11 (И-4) 1.) =

=/ltl М [(и-4)2] =t1/ s D (и)== 1011/•.

Итак, искомая корреляционная фуикция

Кх (11' t.) = IOt1t l •

б) Найдем дисперсию, для чего положим t 1=/2=/:

Dx(/)=Kx(t, t)=10tl.

Итак, искомая дисперсия

§ 10. Свойства корреляционной функции

КХ (t 1 • t l ) =КХ (t, • t 1 )·

Д о к а з а т е л ь С Т В о. По определению корреляционной

Правые части этих равенств равны (математическое ожи­

дание произведения не зависит от порядка сомножителей).

следовательно. равны и левые части. Итак,

K)f(t 1 • t.)=KX (t2' t 1 )·

З а м е ч а н и е 1. Прибавление к случаАной функции Х (t) не­ случайного слагаемого ер (t) ие "зменяет ее центрированной функции:

395

еC.IJИ

у (t) = Х (t) +ер (t),

то

~ (/) = Х (t).

Действительно, Математичесиое ожидание функции У (/)

MI/ (1) = mк (1) +ер (1).

СледоватеJlЬИО.

~ (I)=Y (t)-ml/ (t)=[X (t)+ep (t)]-[mx (/)+ep (1»)=

r:::: Х (/)-m x (/) = j" (/).

Итак,

у(t)=X (t).

Св о й с т в о 2. nри6авление к случайной функции Х (t)

неслучайного слагаемого q> (t) не изменяет ее корреляцион­

ной функции:

если

у (t) = Х (е) +q> (t),

3 а м е ч з н и е 2. При умножении СJlУ'lЗЙИОЙ функции Х (t) Jl8

JlеСJlУ'l8ЙНЫЙ NНОЖИ'l'eJ!Ь ер (t) ее центрированная функцня умножается

на этот же множитель:

если

У (t) = Х (t) ер (1),

то

9' (/) = j" (t) ср (t).

действительно, Математическое ожиданне фУJlКЦИИ У (t) ml/(I)=M (Х (t) ер (t)J=1:p (t) mк (1).

Следовательио,

396

Итак,

у (t) = ~ и) <р (t).

С в О й с т В о З. При у.множенuu случайной ФУНlЩUU

Х и) на неслучайный .множитель qJ (t) ее корреляционная функция умножается на произведение qJ (tt) <р (tl );

если

у (t) = Х (t) <р (О.

то

Ku(t!. t.)=Kx(t1' t.) q:.(tl) q:.(t.).

Вынесем неслучайные множнтели за знак математического

ожидания:

K u иl' ts)=qJ (t 1) qJ (t.) М [Х (t1) Х и,)]=<Р (t1) <p(t l )KX(t 1• tl ).

Итак.

с в о й с т в о 4. Абсолютная величина корреляцион.н.оЙ функции не nревышает среднего геометрического дисперсий

соответствующих сечений:

IКХ (t1O t,) I~VDx (t 1 ) Dx «.).

Д о к а э а т е л ь с Т В о. Известно. что для модуля кор­

реляционного момента двух случайных величин справед­

ливо нераввнство (см. гл. XIV, § 17, теорема 2)

При фиксированных значениях аргументов t 1 и t. значе­

ние корреляционной функции равно корреляционному

моменту соответствующих сечений-случайных величин Х (t 1) и Х (tl)' Поэтому неравенство (*) можно записать так:

IКх иl' t.>I ~VDx (t 1) Dx (t.).

397

§ t t. Нормированная корреляционная Фуикция

Известно, что для оценки степени линейной за­

висимости двух случайных; величин пользуются коэффи­

циентом корреляции (см. гл. XIV, § 17, соотношение (*»

гху = J!xyl(oxOy).

втеории случайных функций аналогом этой характери­ стики служит нормированная корреляционная функция.

ционной функции.

Нормированной корреляционной функцией случайной

функции Х (t) называют неслучайную функцию двух неза­ виеимых переменных /1 и t 2 , значение которой при каж­

дой паре фиксированных значений аргумеитов равно ко­

эффициенту корре.тlЯЦИИ сечений, соответствующих этим

же фиксированным значениям аргументов:

Таким 06разом, зная корреляционную функцию, можно

найти нормированную корреляционную функцию.

Лример. Найтн нормированную корредяционную функцию слу­

Реш е н и е. Искомая нормированная корреляционная функция

398

Нормированная корреляционная функция имеет те же

свойства, что и корреляционная функция (см. § 10), при­

чем свойство 4 заменяется на следующее: абсолютная

величина нормированной корреляционной функции не

превышает единицы:

,рхиl' tl)l~l.

Это свойство следует из того, что при фиксированных

значениях аргументов значение нормированной корреля­ ционной функции равно ко~ициенту корреляции двух

случайных величин-соответствующих сечений, а абсо­ лютная величина коэффициента корреляции не превышает

единицы (см. гл. XIV. § 17, замечание 3).

Легко видеть из (*) или (**), что при равных значе­

ниях аргументов нормирощшная корреляционная функция

равна единице: Рх (t, t) = 1.

Очевидно, нормированная корреляционная функция

имеет тот же вероятностный смысл, что и коэффициент корреляции: чем ближе модуль этой функции к единице, тем J1инейная связь между сечениями сильнее; чем ближе модуль этой функции к нулю, тем эта связь слабее.

и t s определяет систему двух случайных величи", а каж­

дой такой системе соответствует ее корреляционный мо­ ме"т. Отсюда следует, что каждой паре фиксированных

значений t 1 и t 2 соответствует определенный корреляци­

онный момент; это ооначает, что взаимная корреляцион­

ная функции двух случайных функций есть функция (не­

399

ние которой при каждой паре фиксированных значений

аргументов равно корреляционному моменту сечений обеих

функций, соответствующих этим же фиксированным зна­

чениям аргументов:

Rxy (/1' t l ) = м [Х (t 1 ) У (tl)]'

КоррелироеаННЬUrtи называют две случайные функции,

если их взаимная корреляционная функция не равна

тождественно нулю.

Некоррелироеанными называют две случайные функции,

взаимная корреляционная функция которых тождественно

равна нулю.

индексов и аргументов взаимная корреляционная функция

не изменяется:

то

400