2003_-_Gmurman__TV_i_MS

Пример 3. Найти корреляционную ФУI{КЦИЮ стационарной случай­

ной функции Х (t), зная ее спектральную плотность

Реш е н и е. Используя формулу

00

k", ('t) = 2 ~ s", (ю) соз O>'t d't

О

И учитывая, что s'" (О» = 0>0 В интервале (О, (00), имеем

w.

k", ('t) = 2so Scos О>'{ d't.

О

Выполнив интегрирование, получим искомую корреляционную функцию:

kx ('t) =2so siп <Oo't/'t.

§4. Нормированная спектральная плотность

Наряду со спектральной плотностью часто исполь­

зуют нормированную спектральную плотность.

Нормuрованной спектральной плотностью стационар­

ной случайной функции Х и) называют отношение спек­

тральной плотности к дисперсии случайной функции:

ф

SXНOPM (О) = Sx (ю)/Dх= SK (0)/ ~ Sx (О) dю.

- 00

Пример. Задаиа спектральная плотность 5,. (ю) = 5/(n; (1 +(1» стационарной случайной функции Х (1). Найти нормированную сп{tк­

тральную плотность.

Ре ш е н и е. НаАдем дисперсию:

чеro разделим заданную спектральную П.llотность на дисперсию D" = 5;

в .тоге ПО.llучим

S'" .орм (О» = I/(n; (1 +( 2».

Нормированная спектральная плотность представима

в виде косинус-преобразования Фурье нормированной

корреляционной функции:

..,

S", норм (ю) = ~ ~ Рк (Т) ros о)тdT.

Действительно, чтобы получить эту формулу, достаточно

разделить на Dx обе части соотношения (***) (см. § 3).

В свою очередь, нормированная корреляционная функ­

ция выражается через нормированную спектральhую плот­

ность при помощи обратного преобразования Фурье:

00

Рх(t) = 2 ~ Sx норм (<О)cos oo't' doo.

О

равна единице.

§ 5. Взаимная спектраJlьная ПJlОТнОСТЬ

стационарных и стационарно связанных

с.лучаЙных функций

Пусть Х (t) и У (t)-стаnионарные и стационарно

связаниые случайиые фуикции со взаимной корреляцион­

ной функuией 'ХII ('t').

8эаu.мноЙ спектральной плотностью двух стационар­

ных и стационарно связанных случайных функций Х (t) и У (t) называют функцию SXII (00), определяемую преобра­

зоваиием Фурье:

случайной функции Х (/). Найти: 8) взанмную корреляцнонную функ­ цню; б) взаимную спектральную плотность случайных функций Х (')

и у (/) = Х (' +t о).

442

Реш е н и е. а) Легко убеднться, что У (/) -стационарная функ­

ция. НаАдем взаимную корреляционную функцию:

RX1J ('1' ·1,) = м [Х ('1) у (/,)] = М [Х (/1) Х (t.+/ o)] = =kx [(I,+t O) - t1] =kx (1"+/0)·

Отсюда видно, что стационарные Функцни х (1) и У (/) стационарно

связаны (их взаимная корреляцнонная функция зависит только от разности аргументов '().

б) Найдем взаимную спектральную плотность:

5IZ>

sхll(ш)=-= 2~ kx(.. +to)e-{bl~d.. =

- 00

= е{(М' _1_ 500 k x (.. +/0) e-ibl(~+t.) d ('f+to)=elblt • Sx «(1).

2п

- 00

Итак, нскомая взаимная спектральная плотность

SX1J (ш) =eiblt • Sx (ш).

§ 6. Дельта-функция

Дельта-функция б (t) является примером обобщен­

ной функции (обобщенная Функцuя-предел последова­

тельности однопараметрического семейства непрерывных функций). Дельта-функцию определяют тем условием, что она ставит в соответствне всякой непрерывной функции f (t) ее значение при t = О:

00

~ б и) { (t) dt = {(О).

Правую часть равенства можно представить в виде пре­

дела:

Таким образом, дельта-функцию можно рассматривать

как предел последовательности функций бе (t) при е-О.

443

Физически дельта-функцию можно истолковать как

плотность единичной массы, сосредоточенной в нуле.

Можно' доказать, что дельта-функция представима ин­

тегралом Фурье:

CD

б (t) = 2~ SеНМdoo.

-со

Отсюда

ею

S е,юt doo = 2n б (t).

3 а м е ч а н и е. В приложениях часто используют соотношенне.

со

S t (t) 6 (t -/ o) dl = t (/0)'

которое вытекает из сказанного выше.

§ 7. Стационарный белый шум

Стационарным белым шумом называют стацио­

нарную случайную функцию Х (t), спектральная плотность

которой постояниа:

Sx (00) = s = const.

Найдем корреляционную функцию белого шума. Исполь­

зуя формулу (**) (см. § З)

окончательно имеем

Таким образом, корреляционная функция стационар­

ного белого шума пропорциональна дельта-функци"; коэф­

фициент пропорциональности 2ns называют интенсив­

ностью стацuон.арного белого шума.

444

Дельта-функция равна нулю при всех значениях 't' * О, поэтому и КQрреляционная фrнкция k x ('t') также равна

нулю при этих же значениях 't' это видно из формулы (**)].

Равенство же нулю корреляционной функции стационар­

ного белого шума означает некоррелированность любых

двух его сечений-случайных величин Х (t 1) иХ (tt) (t1*t.).

Благодаря этой особенностн белый шум находит широ­ кое применение в теории случайных функцнй н ее при­

ложеннях. Однако эта же особенность указывает на то,

что осущеСl вить белый шум невозможно, так как в дей­

ствительностн при очень близких значеннях t1 н t! соот­

ветствующне случайные величины Х иl) и Х и!) в извест­

ной степенн коррелированы.

Таким образом, стацнонарный белый шум-математи­ ческая абстракция, полезная для теорин случайных функ­ цнй н ее приложений. В частностн, белый шум нcrtоль­

ЗУЮТ дЛЯ моделировання С.1учаЙных процессов, которые

нулю:

НаАтн: а) корреляционную функцию; б) дисперсню случайной ФУНК­

цИИ Х (t).

Реш е н н е. а) Найдем искомую корреляционную функцию:

"t

б) Найдем искомую ..исперсию:

Итак,

§ 8. ПреобраЗ0вание стационарной случайной

функции стационарной линейной дииамической

системой

Стационарной линейной динамической системой

называют устройство, KOTOPO~ описывается л и н е й н ы м дифференциальным уравнением с постоянными коэффи­

циентами вида

точн«1 больших значениях t. т. е. по ОКOl\чании переход­

ного процесса, функцию У (t) можно считать стационарной. Подчеркнем, что при дальнейшем изложении предпола­

гается, что Х (t) и У(t)-стационарные случайные функции. Поставим перед собой задачу найти характеристики

выходной функции по известным характеристикам вход­ ной функции.

Найдем математичеСКQе ожидание ту, зная тх, для чего приравняем математические ожидания левой и правой

частей уравнения (*). Учитывая, что Х (t) и У (t)-ста­

ционарные случайные функции, а значит, математические

ожидания производных этих функций равны нулю, по­

лучим

апту = Ьmтх·

Пример 1. На вход линейноii ,динамической системы, описываемой

уравнением

У' (()+2У «)=5Х' (t)+6X (t),

подается стационарная случайная функция Х и) с математическим

ожиданием mх= 10. Найти математическое ожидание случайной функ­ ции У (/) на выходе системы в установившемся режиме (после зату­

хания переходного процесса).

Реш е и и е. Используя формулу (•• ), получим

m1l=Ьтmх/ап =(6/2)·lО=ЗО.

Введем понятия передаточной функции и частотной

характеристики, которые понадобятся далее. Предвари-

446

TeJ.1bHo запишем уравнение (*) в операторной форме, обо-

(аор" +a1Pn-l+ ... +аn) У (t)=

(****)

Передаточн'ОЙ фУн'кцией линейной динамической си­

стемы называют отношение многочлена относительно р

при Х (t) к многочлену при У (t) в операторнам уравне­

нии (* *"'):

Из соотношения (****) следует, что выходная н вход­

ная функции связаны равенством

У(t)=Ф(р)Х(t).

Частотн'ОЙ характеристикой линейной динамнческой

системы называют функцию, которая получается заменой

аргумента р в передаточной функции на аргумент 'т (ю-действительное число):

Ф (' )_ 60 (iro)1JI +61 (i6>)'II-:&+ ••• +Ьm tro - ao(i6»n+al(i6»n-:&+ ••• +an '

Доказано, что спектральные плотности выходной и входной функций связаны равенством

s 1I(ro) = S~ (ы) Iф (iro) 11.

Orсюда заключаем: для того что6ы найти спектраль­ ную плотность 8ЫХодной фУн'кции, надо УМн'ожить спект­ ральную nлотн'ость входной функции на кгадрат модуля

частотн'ОЙ характеристики.

Зная же спектральную плотность выходной Функции~

можно найти ее корреляционную функцию [§ 3. форму­

447

аследовательно, и дисперсию:

00

- 00

Пример 2. На вход линейной стационарной Аинамичесиоlf CHC'fe-

мы, описываемой ypaBllell!le~

зу, (1) +у (t) = 4Х' и) + Х (п,

подается стационаРllая случаЙJI3Я функция Х и) с корреляционной

функцией k x ('Т) = 6е- ll-.: 1. Найти дисперсию СJJучайной функции У (t)

Н3 выходе системы в установивwемся режиме.

2. Нандем передаточную функцию, для чего напишем заданиое уравнение в операторной форме:

(Зр + 1) У (t) = (4р+ 1) Х (1).

Отсюда

у (t)=~:t ~.X (/).

Следовательно, передаточиая функция

4p+l

Ф (Р)=Зр+ 1·

з. Найдем частотную характеристику, для чего заменим в пере­ даточной ФУНКl1Ии аргумент р на iю:

Ф(.

100Зi00 + 1

4.Найдем спектральную плотность выходной функции, для чего

умиожим спектральную плотность входной функции на квадрат мо­ дуля частотной характернстик.и:)= 4ioo+1

5. Найдем искомую дисперсию:

Представим подынтегральиую функцию в виде суммы простейшнх

дробей:

448