2003_-_Gmurman__TV_i_MS

если

== ~ [Х (s)-тx(s)]d&,

о

у (t) = SХ (s) ds.

о

Поскольку под знаком определенного интеграла перемен­ иую интегрирования можно обозначать любой буквой,

обозначим переменную интегрирования в одном интеграле

через SI' а в другом-через 5. (чтобы отличить перемен­

ные интегрирования и пределы интегрироваиия):

Приравняем математическне ожидания обеих частей ра­

венства:

М[У(1,) уи.)]~мП~k (s,) k (s.) ds, dS.].

411

Изменив порядок операций нахождения математичес­

кого ожидания и интегрирования, окончательно получим

Ку(t l , t.) = /,~ '.~ Кх (51' 51) dS l dsJ •

Оо

Пример 2. Зная корреляционную функцию Кх (tj, t.) = 4t.tз +

+ 9/r/~ случайиой фуикции Х (t). найти корреляционную функцию

t

интеграла у и) = ~ Х (s) ds.

о

Реш е н и е. Используя формулу (••). найдем

t, t.

K y (t 1• 12)= ~ ~ (4S1S2+9s~s~) dS1 ds•.

Оо

Выполиив интегрирование, получим искомую корреляционную фуик­

цию:

ку и1. t2)=/~t~(J+/1t2)'

Теорема 3. Взаимная корреляционная функция случай­

-/

НОй функции Х (t) и интеграла У (t) = ~ Х (5) d5 равна

о

О

следовательно,

t.

у(е.) = ~ Х (s) ds.

о

412

Подставим правую часть этого равенства в (***):

о

б) Доказывается аналогично.

Пример 3. Задана корреляционная функцня Кх (11. t.) = 3t1t.

§18. Комплексные случаАные величины

иих числовые характеристики

в дальнейшем кроме действительных рассматри­ ваются и комплексные случайные функции. Эrи функции

и их характеристики определяют по аналогии с комплекс­

ными случайными в е л и ч и н а мм. поэтому начнем изло­

жение с комплексных величин.

Комплексной случайной величиной называют величину

Z = Х + Yi. где Х и У-действительные случайные ве­

,nичины.

413

Сопряженной случайной величине Z""" Х + уi назы­

вают случайную велнчину Z = Х - Yi.

Обобщим определения математического ожидания и

дисперсии на комплексные случайные величины так, чтобы,

в частности, при У = О эти характеристики совпали с ра­

нее введенными характеристиками действительных слу­ чайных величин, т. е. чтобы выполнялись требования:

Математическим ожиданием комплексной случаЙНОЙ

величины Z = Х +Yi называют комплексное число

mz=m,,+myi.

В частности, при у = о получим т, = т". т. е требо­

вание (*) выполняется.

Дисперсией комплексной С/ЦРШЙНОЙ величины Z назы­

вают математическое ожидание квадрата модуля центри-

•

рованной величины Z:

Dz = М [1 z11].

•

в частности, при у=о получим D ,I =M[(X)2]::z::D". Т. е.

требование (**) выполняется.

Учитывая, что математическое ожидание суммы равно

сумме математических ожиданий слагаемых, имеем

Dz = М [1 z12] = М [(Х)2+ (У)2] = М [(Х)21+ м [(У)2) ==

=D,,+Dy•

Итак, дисперсия комплексной случаЙНОЙ величины равна

сумме дисперсий ее деuствительной и .мнимой частей:

Dz = D,,+D y •

Известно, что корреляционный момент двух равных

случайных величин Х1 = Х1= Х равен дисперсии D,,-

положительному действительному числу. Обобщим опре­

деление корреляционного момента так, чтобы, в частности,

корреляционный момент двух равных комплексных слу­

чайных величин Z1 = Z2 = Z был равен дисперсии D z -

положительному действительному числу, т. е. чтобы вы·

полнялось требование

414

Корреляционным моментом двух ком.nлексtiblX случай­

ных величин называют математическое ожидание произ­

ведения отклонения одной из величин на сопряженное отклонение другой:

• •

f.Lz,zl = М [(Zl-mZ.) (Z.-mz.)]:;::a M[ZI Z.].

В частности, при ZI = Z. = Z, учитывая, что произведение

сопряженных комплексных чисел равно квадрату их мо-

т. е. требование (***) выполняется.

Корреляционный момент комплексных случайных ве­

личин Zl-Хl+Уli и Z.=X.+Y.i выражается через

Рекомендуем вывести !tTY формулу саМОСТОИТeJlЬКО.

§ t 9. Компneксные случайиые фуикции

иих характеристики

Комnлексн.оЙ слу-са.Йн.оЙ функцuей называют

функцию

Z (t) = Х (О +у (t) i,

где Х и) и У (t) -действительные случайные функции

действительного аргумента t.

Обобщим определения математического ожидания и

дисперсии на комплексные случайные функции так, чтобы,

в частности, при У = О этн характеристики совпалн с ра­

нее введенными характеристиками для действительных

случайных функций, т. е. чтобы выполнялись требования:

Математич еtжим ожиданием КQмnлеl(CНОЙ случайной

функции Z (t) = Х (t) + У (О i называют комплексную

функцию (неслучайную)

т• (t) = т" (t) +т" (t) i.

415

В частности, при У = О получим mz и) = mх (t), т. е. тре­

бование (*) выполняется.

Дисперсией комплексной случайной функции Z и) на­

зывают математическое ожидание квадрата модуля центри-

о

рованной функции Z (t):

D z (t) = М [1 i и) /2].

=М [Х иН'+ М [У (i)]2=D x (t)+D y (t).

Итак, дисперсия комплексной случайной функции равна

сумме дисперсий ее действительной и мнимой частей:

D z (О = D x (t) +D II и)·

Известно, что корреляционная функция действитель­

ной случайной функции Х (t) при разных значениях аргу­

ментов равна дисперсии D x и). Обобщим определение корреляционной функции на комплексные случайные

функции Z (t) так, чтобы при равных значениях аргу­ ментов t 1 = ' 2 = t корреляционная функция Кz (t. ') была

равна дисперсии Dz (t), т. е. чтобы выполнялось требо­

вание

Корреляционной функцией комплексной случаЙНQЙ

функции Z (t) называют корреляционный момент сечений

Z(/1) и i (t,,):

в частности, при равных значениях аргументов

Kz и, t) = М [,2 (t) Z (t)] = М [1 z/21 = Dz (t),

т. е. требование (***) выполняется.

Если действительные случайные функцин Х (t) и У (t)

коррелированы, то

KZ(t 1 , t 2 )=Kx (tl' t 2 )+Ky (tl' t 2 )+[Rxll (t l , t 1 )] -

-Rxy (t 1 , t 2 )]i;

416

Рекомендуем убедиться в справедливости этих формул,

Взаимной корреляционной функцией д8УХ комплексных

случайных функций называют функцию (неслучайную)

RZ,Z.(t1• t 2)=M[Zl(t,)Z'/,(t2)]'

в частности, при У1 = У2 = О получим

RZ,Z.(tl' t'/,)=M[X t (fl)X 2 (t2)]=R x ,x,(/ 1, 12)'

т. е. требование (****) выполняется.

Взаимная корреляционная функция двух комплексных случайных функций выражается через взаимные корре­ ляционные функции их действительных и мнимых частей

следующей формулой:

Rz,z.(tt. t2 )=R x,x.(t 1 , 12>+R y ,y.(tl' '2)+

+ [RX'!I' (t 2• t,)-R X1 !1. (t,. t2)J i.

Рекомендуем вывести эту формулу самостоятельно.

Задачи

J. Найти математнческое ожидание случайных ФУНКЦИЙ:

4. Найти: а) математическое ожиданне; б) корреляционную функ.

цию; в) дисперсию случайной функции Х (/) = U sin 2t, где и - слу­

чайная величина, .»ричем м (И) = 3, D (И) = 6.

417

rAe U и V - некоррелироваиные СЛУЧ8йные величииы. причем

М (И)=2, М (V)=3, D (и)=4. D(V)=5. Найти: а) математическое

ожндание; б) корреляционную функцию; В) дисперсню суммы Z(/)-

"""X(t)+Y (/).

Ук а з а н н е. Убедиться. что взаимная корреляцнонная функция

заданных случайных функций равна нулю и. следовательно. Х (t) и

418

14. Задана корреляцнонная функция К" (/1, 12) = соз ro 11 cos rotl

случайной функции Х (/). Найти: а) корреЛЯЦИОIIНУЮ функцию;

чайная величнна. причем М (И) = 5, D (И) = 1. Найти: а) математи­ ческое ожидание, 6) корреляционную функцию, В) дисперсию интег­

t

рала у (t) = ~ Х (s) ds.

функции Х (t). Найти взаимные корреляциониые функции: а) R"y (/1. 1,); t

б) R y " (/1. 12) случайных функций Х (t) и У tt) = ~ Х (s) ds.

о

Отв. а) RJo:y(tl. 12)=i1'УЗ; б) R YX (t 1• tl)=tИ/2.

Глава двадцать четвертая

СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКДИИ

§ 1. Определение стационарной случайной функции

Среди случайных функций целесообразно выде­ лить класс функций, математические ожидания которых

сохраняют одно и то же постоянное значение при всех

значениях аргумента t и корреляционные функции кото­

рых зависят только от разности аргументов tl - t1 • Ясно.

что для таких функций начало отсчета аргумента может

быть выбрано произвольно. Такие случайные функции

называют «стационарными В широком смысле» в отличие

от случайных функций, «стационарных В узком смысле» (в с е характеристики этих функций не зависят от самих

значений аргументов, но зависят от их взаимного рас­

положения на оси t).

Из стационарности в узком смысле следует стацио­

нарность в широком смысле; обратное утверждение ие­

верно.

419

Поскольку мы ограничиваемся корреляционной тео­

рией. которая использует только две характеристики

(математическое ожидание и корреляционную функцию).

далее рассмотрим случайные функции. стационарные в

широком смысле. причем будем их называть пррсто ста-

математическое ожидание которой постоянно при всех

значениях аргумеита t и корреляционная функция кото­

рой зависит только от разности аргументов 12 -t1 • Из этого

определения следует. что:

1) корреляционная функция стационарной случайной

функции есть функция одного аргумента 't=I.-е., Т. е.

нию ее корреляционной функции в начале координат

('t= О), т. е.

случайная величииа, распределеииая равиом~рио в иитервале (О, 2п).

Доказать, что Х (/) - стационарная случайиая фуикция. Реш е и и е. Найдем математическое ожидание:

т" (t) = М [соз (t +ер») = м [cos t соз ер-siп t sin ер)=соз 1М (соз «р)­

стоянно при всех значениях аргумента и ее корреляuионная фуик­

ЦНЯ зависит только от разиости аргументов. Следовательио, Х (t) - стационарная случайная функцня.

420