2003_-_Gmurman__TV_i_MS

жается на произведение <р (t 1 ) Ф (t 2 ):

если

Х1 (t) = Х (t) <р (t) и Уl и) = у (t)ф (t),

ляционной функции дву" случайных функций не nревы­

шает среднего геометрического их дисперсий:

I R"y иl' t.) I~V D" (tl) Dy(t 2)·

Доказательства этих свойств аналогичны доказатель­

ствам свойств корреляционной функиии.

§ 14. Нормированная взаимная корреляционная

функция

Наряду с взаимной корреляиионной функцией

u о

для оценки степени зависимости сечении двух случаиных

функций пользуются характеристикой-нормированной

взаимной корреляuионной функцией.

Нормированной взаимной корреляционной функцией

двух случайных функций Х (t) и У (t) называют нес.лучаЙ­

Нормированная взаимная корреляционная функция

имеет те же свойства, что и взаимная корреляционная функция (см. § 13), причем свойство 4 заменяется сле­ дующим свойством: абсолютная величина нормированной взаимной корреляционной функции не nревышает единицы:

Ipxy(tl' t2)1~1.

Лример. Найти нормированную взаимиую корреляционную функ­

цию двух случайных функций Х(t)=tИ и у (t)=t2И, где И-слу­ чайная величииа, прИчем D (И) = 3.

Реш е н и е. Ранее при решеиии примера (см. § 12), в котором

заданы те же функции, что и в настоящем примере, были найдены функции:

R"y(ll, 12)=3/1t~, Х(/)=/(И-mu), У(I)=t2 (И-mu).

Польэуясь Иими результатами, легко иайдем корреляционные функции:

/(,,(/.,1.)=3/.'1' 1(1/(t., (1)=3/И

и нормированную функцию:

оиальиой зависимостью:

У(/)=t 2 U =1 (tИ) =tX (/).

§15. Характеристики суммы случайных функций

Пусть Х (t) и У(t)-случвйиые фуНКЦИИ. Найдем

характеристики суммы этих фУНКD.fllI: по известным ха­

рактеристикам слагаемых.

Теорема 1. Маme.мати.еск.ое ()~иe суммы двух

случайных функций равно сумме .математических ожи­

даний слагаемых:

если

Z (t) == Х (t) +У (t),

то

m z (t) = т" (О + тN(t).

Эта теорема уже была приведена ранее (см. § 5, своА­

СТ80 3); здесь она помещена для систематизации изло­

жения. Методом математической индукции теорему можно

обобщить на n слагаемых.

Z(t)=X(t)+Yt

то

m z (t) = т" (t) +т1/'

3 а м е q а н н е 1. Цеитрироваииая фуикция суммы случайиыJC функций равна сумме центрированиых слагаеМL(Х:

если

Z (/)=X (t)+Y (t),

то

l (1)= Х (п+У (/).

402

Действительно•

•

Z (/)=Z (t)-m. и)=[Х (t)+y (t)J-[т" (I}+тy(i)] =

= [Х (1) - т" (t) J+[у (t) - тll(tH.

Отсюда

1. (t) = Х (t) +У (t).

Теорема 2. Корреляционная функция сум.мы д8УХ кор­

релиР08анных случайных функций равна сумме корреля­

ционных функций с.lЮгtlгмых и 8эаи..,ной корреляционной

функции, которая nрu.6a8ляеmся дtю.жды (с разным nо­

ряд"ом следования аргументов):

Выполнив умножение, приравняем математические ожи­ дания обеих частей равенства:

М [2 иl) 2 (t 2 )] = М [Х иl) Х иl)] +м [У (t 1 ) у(t.)] + +М [Х (t 1 ) У (t 2 >1 + м [У (tl) Х (t 2 )].

По определению корреляционной и взаимной корреля­

ционной функций имеем

K Z (t 1 • ( 2 )=K,,(tl' t 2 )+Ky (f 1 • t 2 )+R"y(tl' f z)+R y,,(tl' (2 )·

Учитывая, что Ryx иl' t 2 ) = R"y (t •• t 1 ) (см. § 13, свой­

ство 1). окончательно получим

К• иl' t 2 )=K" (/1' t2 )+Ky (tl' t2 )+R"y(tl' tl)+R"y и•. t 1 )· (*)

Методом математической индукции теорему можно

обобщить на n попарно коррелированных случайных

функций:

если

n

Z (t) = ~ Х{(t),

/= 1

то

Следствие 1. Корреляционная функция суммы двух

некоррелuрованнbI.X случайных функций равна сумме кор­

реляционных функций слагаемых:

если

Z (t) = Х (t) + У (t),

то

К• (t 1 • t.) = К" (t 1 , t 2 ) +Ку (t 1 , t.).

Доказательство. Так как функции X(t) и Y(t)

не коррелированы, то их взаимные корреляционные функ,,:

ции равны нулю. Следовательно, соотношение (*) при­

мет вид

Kz(tt, t,,)=K,,(ti. tl)+Ky(tt, t l )·

Методом математической индукции следствие можно ~ить на n попарно некоррелированных функций.

с n а г а е м ы х.

С л е Д с т в и е 2. Корреляционная функция случайной

функции Х (t) и некоррелированной с ней случайной вели­

чины У равна сумме корреляционной функции случайной

функции и дисперсии случайной велич.ины:

если

Z(t)=X(t)+Y,

то

K z (i 1 • t.)=K,,(tl' t.)+DII ,

п о я С н е н и е. Случайную величину У можно считать

случайной функцией. не изменяющейся прн изменении

404

ных функций. По теореме 1

т, (е)=т" (t)+m y (1)= м (tИ) +М (t2V)=tM (И) +t 2 M (V)=Зt+бt'.

б) Найдем корреляционную функцию суммы Z (/). Так как слу­ чаАные величины И и V не коррелированы, то их корреляциониый

момент равен нулю:

м [(И -3) (V-б)] =0.

Следовательио. взаимная корреляционная функция

а значит. функции Х и) и у (е) не коррелированы. Поэтому искомая

корреляционная функция в силу следствия 1

К, (/1' 12)=К" (/1. 12)+Ку (/1./2)'

Выполнив выкладки. окончательно получим

К, (11. 1,)=O,2/1t2 +5tИ.

в) Найдем искомую дисперсию:

D, (1)= К, (1. 1) =O,2t2 +5/4 ,

§16. ПРОИЗ80дная случайной функции

иее характеристики

При изучении случайных величин встречалось

рата разности Х,,-х стремится к нулю при n _ 00;

м [(Х,.-Х)2] = О.

Случайную величину Х называют пределом в среднеквад­

ратичном последовательности случайных величин Х1•

X 1 • •••• X ll • ••• и пишут

Х = 1.i.m.X,..

Заметим, что из среднеквадратичной сходимости сле­

дует сходимость по вероятности; обратное утверждение,

вообще говоря, неверно.

Случайную фУнкцню Х (t) называют дифференцируе­

мой, если существует такая функция Х' (t) (ее называют

производной), что

М-+О

Пусть известны характеристики случайной функции.

Как найтн хараКтеристики ее производной? Ответ на этот

вопрdс дают теоремы, приведенные ниже, причем р а с­

сматриваются только среднеквадратично

дифференцируемые случайпые функции.

Теорема t. Математическое о:жuдt'lние nроизводной

Х' (t) = х от СЛучаЙн.оЙ функции Х (t) равно nроизводной

от ее математического ожидания:

т; (t) = т; (t).

Доказатель.ство. По определению производноиv,

М ..... о

Приравняем математические ожидания обеих частей ра­

венства, а затем изменим порядок нахождения матема­ тического ожидаиия и предела (законность изменения по­ рядка этих операций примем без доказательства):

М [Х' (t)] = Нm М [ Х (t+~:-X (t) ].

&t ..... o

Используя свойства математического ожидания, получим

М [Х' (t)] = Нт тх (t +/1~~-тx (t) = т;(t).

&t-+O

Итак, т;; (t) = m;(t).

406

З а м е ч а н и е 1. По существу Доказаио, что для Средн.еквадра­ тичеClCи дифференцируемых случаЙНЫХ фуюсций операции нахождения AIame.ttamU'U!CKoгo ожидания и дифференцирования .ttожно менять .tteCmtLflU. Действительио, запишем доказанную теорему так:

М[Х' (t)]={M(X(t»)}'.

Мы видим. ЧТО в левоА части равенства сиачала находят пронзвод­ ную. а затем математическое ожидание; в правой части-наоборот.

Пример J. Зная математическое ожидание тх (1) = (а+ t случай­ ной фуикции Х (1), найти математическое ожидание ее производноА.

Ре w е н и е. Искомое математическое ожидание

,

т. и)=тх (t)= [t 2 + е]' =2е+ 1.

х

З а м е ч а н и е 2. Если первая производная дифференцируема, то производную от первой производной называют второй nроиэводной

и обозначают через Х" (/). Аналогично определяют производиые более

высокиХ порядков.

З а м е ч а н и е 3. Теорему 1 можно обобщить: математнческое

ожидаиие производной порядка n равно производноА этого же по­ pnДKa от математического ожидания случайноА функции.

Теорема 2_ Корреляционная функция nРОUЗ80дной от

случайной функции Х и) ра8ха второй с,М,ешаflНОй nроиз8одной от ее корреляционной функции:

Изменив порядок операций нахождения математического

ожидания и дифференцирования (на основании замеча­ ния 1), окончательно получим

Итак,

407

Пример 2. Зная корреляционную функцию К" (/1, /,)= 2tltl+/~/:

c.nучаЙноЙ функции Х (/), нанти корреляционную функцию ее проиэ­ водиой.

Реш е н и е. Найдем частную производную от заданной корре­ ляциоиной фуикции по /1:

д (2tlt2+i~t:)

д/1

Найдем частиую производную от полученного результата по t l :

Искомая корреляционная функция

К. (/1. /2)=2+4/1/2_

Х

Теорема 3. Взаимная корреляционная функция случай­

ной функции Х (t) и ее производной Х' (t) = х равна част­ ной производной от корреляционной функции по соот­ ветствующему аргументу [если индекс х при R записан

на первом (втором) месте, то дифференцируют по пер­

вому (второму) аргументу]:

Д О К а з а т е л ь с Т В о.

а) По определению взаимной корреляционной ФУНК-

Изменим порядок операций дифференцирования и

нахождения математического ожидания:

Итак, искомая взаимная корреляционная Функцня

б) Доказывается аналогично.

408

t l • получим

Итак, искомая взаимная корреляционная функция

§17. Интеграл от случайной функции

иего характеристики

Интеграло,М, от случайной функции Х (t) по

отрезку [О, t] называют предел в среднеквадратическом

u

интегральнои суммы при стремлении к нулю частичного

интервала t!t.si максимальной длины (переменная интегри­ рования обозначена через s, чтобы отличить ее от пре­ дела интегрирования t):

t

Y(t)=l.i.m.~X(si)t!t.Sj"= ~ X(s)ds.

Пусть известны характеристики случайиой функции.

Как найти характеристики интеграла от случайной фуик­

ции? Ответ на этот вопрос дают теоремы, приведенные

ниже.

Теорема 1. Математическое ожидание интеграла от

случаЙНОЙ функции равно интегралу от ее 'м'атемати­

ческого ожидания:

если

t

У (t) = ~ Х (s) ds,

о

то

t

ту (t) = Sтх(s) ds.

о

Д О К а 3 а т е л ь с т В о. По определению интеграла.

у (t) = l.i.m. ~ Х (s,) t!t.s j •

45j-+O

409

Приравняем математические ожидания обеих частей ра­

венства;

м [У (t)] = М [l.i.m. ~ Х (Sj) &Sj].

I!!.Sj -+ О

Изменим порядок нахождения математического ожи­

дания и предела (законность изменения порядка этих

операций примем без доказательства):

М [У (е)] = lim [М ~ Х (Sj) &Sj].

I!!.s/-+ О

Воспользуемся теоремой сложения математических ожиданий:

З а м е ч а н и е. По существу доказаио, что операции нахождения

математичесlCOZО ожидания и среднеквадратичного интегрирования МОЖНО менять местами. Действительно, запишем доказаииую тео-

рему так:

M[i X(s)ds ]=i M[X(s)]ds.

Видим, ЧТО В левоА части равенства сначала находят иитеграл,

а затем математическое ожндание; в правой части - иаоборот.

Пример 1. Зная математич~кое ожиданне т" (t) = 21 + 1 случай­ ной Фуикции х (t), наАти матеМатическое ожидаиие интеграла

t

у (t) = ~ Х (s) ds.

о

Реш е н и е. Искомое математическое ожидание

Теорема 2. Корреляционная функция интеграла от случайной функции Х (t) равна двойному интегралу от ее корреляционной функции:

410