2003_-_Gmurman__TV_i_MS

аргумента, как и должно быть для стационарноА случайной фуаКЦИIi.

§ 2. Свойства корреляционной функции

стационарной случайной функции

С в о й с т в о 1. Корреляционная функция ста­

ционарной случайной функции есть четная функция:

k x (''t) = k x ( - т).

Д о к а з а те л ъ с т в о. Корреляционная функция лю­

бой случайной функции при перестановке аргументов не

изменяется (см. гл. XXIIl, § 10, свойство 1). В частно­

сти, для стационарной функции

функцuи стационарной случайной функции не nревышаеm

ее значения в начале координат:

Ik~ (Т) I~ k" (О).

Д о к а з а т е л ь с т в о. для любой случайной функции

Ik x (Т) I~ Vk x (О) k~ (О) = k x (О).

§ З. Нормированная корреляционная функция

стационариой случайной функции

Кроме корреляционной функции для оценки сте­

пени зависимости сечений стационарной случайной функ­

ции ИСПОЛЬЗУIОТ еще идну характеристику-нормирован­

ную корреляционную функцию.

42\

Ранее нормированная корреляционная функция была

в частности, для стационарной фуикции числитель и зна­

менатель этой дробн имеют вид (см. § 1, соотношения (*)

и (**» к" иl' t.) =k" ('t), ах (t) = V Dx (t) = V k" (О). Следо­

вательно, для стациоиарной фуикции правая часть (*)

равна k x ('t)/k x (О) и является фуикцией одного аргу­

мента '[; очевидно, и левая часть (*)-функция от '[.

Нормированной корреляционной функцией стационар­ НОй случайной функции называют неслучайную функцию

аргумента '[:

Р" ('t) = k" ('t)/k x (О).

Абсолютная величина нормированной корреляционной

функции стационарной случайной функции не nревышает

единицы. Справедливость этого свойства уже была дока­

зана ранее для любой случайной функции (см. гл. XXIII, § 11). В учебных целях докажем его непосредственно для

стационарной функции.

Приняв во внимание, что абсолютиая величина част­ вого равна частному абсолютных величин, получим

..оиарноЙ случайной функции Х (t). Найти нормированную корреля­ uонную функцию.

Реш е и и е. Воспользуемся определением нормированной корреля­

x

иrак, искомая иормированная корреляционная фуикция

р" (-r) = cos -r.

Заметим, что р" (О) = 1, как и должно быть в соответствии с за­

ачакием, пркве.q.енным в ~M параграфе,

422

§ 4, Стационарно связанные CJlучаАные функцни

Стацион,арн,о связан,н,ыми называют две случай­

ные ФУНКЦИИ Х (/) и У и), если их взаимная корреля­

ционная функция зависит только от разности аргумен­

ТОВ 't= t,-t1 :

RXI/ (11' t.) = , XIJ (т).

Взаимная корреляционная функция стационарно свя­ занных случайных функций обладает следующим своА-

ством:

rху (т) = rI/Х ( - 't).

Это равенство следует из своАства 1 взаимной корреля­ циониой функции (при одновременной перестановке ин­ дексов и ~pГYMeHTOB взаимная корреляционная функция

не нзменяется):

, ХII и.- t1 ) = rуХ (ti - ! .), или,Ху (т) = rI/X ( - т).

Геометрически свойство можно истолковать так: гра­ фик кривой rI/Х ( - т) симметричен графику кривой rху ('t)

отиосительно оси ординат.

Заметим, что если каждая из двух случайных функ­

ций стационарна, то отсюда еще нельзя заключить, что

их взаимная корреляционная функция зависит только от

разности аргументов.

Стацион,арн,ы..ми и стацион,арн,о связанн,ыми называют

две стационарные случайные функции Х (t) и У (t), взаим­ ная корреляционная функция которых зависит только от разности аргументов 't=t.-t 1 •

Пример. Заданы две стационарные случайные функции Х (/) == =cos(t+<p) и Y(t)=5In(t+<p), г~ <p-СJl}'.чаЙная величина. рас­ пределенная равномерио в интервале (О,2п). Доказать, что заданные

стационарные функции стационарно связаны.

Реш е н и е. Ранее было наАдеио, что т (/) = О (см. § 1, примеР)i

аналогично можно получить, что m (t) =0. Запишем центрированные

функции: "

Х (t) =Х и)-mх (/) =Х (t)= СО5 (t+<p),

'1(t) = У (t) - т" (/) = У (/) - 51n (1 +ер).

Найдем взаимную корреляционную функцию:

R"'II (t 1• (.)=М [Х (t 1) l'(/.»== м [со, (/1 +<р) 51n (t.+1p)}=а

=М [ sln (tl-tl)+s~n (/ 1 +t.+2<p) ] =

=sin (t2-/1) +М [slп (tl~tl+2ep)] •

423

Итак, взаимная корреляционная функция заданных стационар­

ных случайных функций зависит только от разности аргументов;

следовательно, эти функции стационарно связаны.

§ 5. Корреляционная функцня производной стационарной случайной функции

Теорема. Корреляционная функция nроизводной Х' (t) = х дифференцируе.моЙ стационарной случайной функции Х (t) равна второй nроизводной от ее корреля­

ционной функции, взятой со знако.м .минус:

k ic (Т) = - k: (т).

д О К а з а т е л ь с Т В о. Известно, что корреляционная

функция производной любой дифференцируемой случай­

По условию, Х (t)-стационарная функция, по~тому

ее корреляционная функция зависит только от разности

аргументов:

Видим, что искомая корреляционная функция зависит

только от '1", по~тому Ki(tl,t.)=ki:(T) ..

Итак,

424

Правая часть равенства зависит только от Т; следова­

тельно, и левая часть есть фуикция от т. Обозначив ее

через rх х (Т), окончательио получим

r х.1: (Т) = k~ (Т).

б) Доказывается аиалогичио.

Заметим, что поскольку взаимная корреляционная

стационарноА случ.аЙиоЙ функции Х (t). Найти взанмйую корреля­

ционную функцию. r хх (т) заданной случайной функции и ее пронз-

водной.

Реш е н и е. Воспользуемся формулой

r. (т) .... k: (т).

хх~

О

426

Принимая во внимание, что корреляционная функция стационарной случайной функции зависит только от раз­

T=~-2/1' 't=-~+2t2' И

выполннть интегрирование

по ~. Двойной интеграл по

.области OABD можно вычис­

t

D,,(t)=2 ~ (/-'t)k" ('t)dT.

О

427

ДеАствительно, положив t 1 == '. == t в формуле (.), полу­

чим

t О

1(" (t, () = ~ (t-'t) k. ('f)d'f- ~ (t-t-'f) d'f+

t

+ ~ (t - '()k x ('f)d'f.

После приведения подобных члеиов окончательио имet:м

t

D, (t) == 2 ~ (' -'f)k. ('f)d'f.

D,(/)-2 ~(/-"l)k. ('t) 61'-2 ~ (t-;-.;~th_

-21 ~I~"-!:+.....

ВЫПOJIНН. внтегриро_ние. пanучв" ИСКО"УIO ... сперсВlO:

О, (/) """ 2t .rcte t -In (1 +11).

ЭаIleТ1l'" что ФУНIЩН. У (1) не стацнон.рн•• та•••к ее .Рсперен.

не nocто.нн•• 8 ,а.исит от аргумент. '.

§ 8. Опре.uеиие ха.._тер8С"'_ ...ro....ее••х стационари..х цучаАн"х фун",и. из он"та

Ср~ди стациоиариых случа8ных фуикций NЮQКио

выделИТD класс функций, оценка характеристик которнх

путем усреднения миожества реализ~циА равносильна )'СреАнению по времени только одной реализации ..оста·

точно большой длительности.

Стационарную случайиую функu.ию Х (t) называют apгo(JuvclCOa, если ее характеристики. найденные усред­

HellHeM мн оже ст в а р е а л и з а ц и А, совпадают с соот­

ветствующими хараl\теристиками, полученными ycpe.ue-

иием по времени одной реализаци и x(t), которая

4~

наблюдалась на интервале (О, Т) достаточно большой

длительности.

L(остаточное условие 9РГОДИЧНОСТН стационарной слу­

В качестве оценки математического ожидания 9РГОДИ­

ческой стационарной случайной функции Х и) по наблю­ давшейся на интервале (О, Т) реализации х (t) принимают

среднее по времени ее значение:

Т

т~= ~ JX{t)dt.

Известно, что кор реляционная функция стационарной

случайной функции

k" (Т) = М [Х (п Х (t + т)].

ПО9ТОМУ можно воспользоваться соотношением (*), учи-

тывая, что функция Х (1 + Т) определена при t + 't~ Т

и, следовательно, t ~ Т-Т.

Итак, в качестве оценки корреляционной функции эргодической стационарной случайной функции приннмают

Т -Т

k;(1')=T~T S х• (t) х• (t +'t)dt

О

либо, что равносильно,

•

429

Практически интегралы вычисляют приближенно, на·

пример по формуле прямоугольников. С этой целью делят

принимает вид

n

m;= ~ [x(t 1 )At+x(t 2 )At+ ... +x(tn)At]= ~ L. х(tд.

i= 1

Учитывая, что At = Т/n, окончательно получим

т;= C~lХ({;)]/n.

Аналогично приближенно вычисляют интеграл (**),

полагая, что 'tпринимает значения At, 2At, ... , (n-I)Аt,

п/2, стационарной функцин Х (t). получнм функцию У (t),

430