2003_-_Gmurman__TV_i_MS

Глава девятнадцатая

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИ Х

ГИПОТЕЗ

§1. Статистическая гипотеза. Нулевая

нконкурирующая. простая и сложная гипотезы

Часто необходимо знать закон распределения

генеральной совокупности. Если закон распределения

неизвестен, но имеются основания предположить, что он

имеет определенный вид (назовем его А). выдвигают ги­

потезу: генеральная совокупность распределена по за­

коиу А. Таким образом, в этой гипотезе речь идет о в и Д е

предполагаемого распределения.

Возможен случай, когда закои распределения известен.

а его параметры неизвестны. Если есть основания пред­

положить, что неизвестный параметр 8 равен определеи­

м о и в е л и ч и н е пар а м е т р а одного известного рас-

пределения.

Возможны и другие гипотезы: о равенстве параметров

двух или нескольких распределений, о независимости

выборок и многие другие.

Статистической называют гипЬтезу о виде неизвест­

ного распределения, или о параметрах известных рас­

пределений.

•Например, статистическими являются гипотезы:

1)генеральная совокупность распределена по закону

Пуассона;

2)дисперсии двух нормальных совокупностей равны

между собой.

В первой гипотезе сделано предположение о виде неизвестного распределения, во второй -о параметрах двух известных распределений.

Гипотеза «на Марсе есть жизнь:. не явлsreтся статисти­

ческой. поскольку в ней не идет речь ни о виде. ни

опараметрах распределения.

Наряду с выдвинутой гипотезой рассматривают и про­ тиворечащую ей гипотезу. Если выдвинутая гнпотеза будет

отвергнута, то имеет место прот'иворечащая "Гипотеза. По

этой причине эти гипотезы целесообразно различать.

Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу Но.

281

Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу H 1 , которая противоречит нулевой.

Например, если нулевая гипотеза состоит в предпо­

ложении, что математическое ожидание а нормального

распределения равно 10, то конкурирующая гипотеза, в частности, может состоять в предположении, что a.:l= 10.

Коротко это записывают так: Но:а=10; H 1 :a.:l=10.

Различают гипотезы, которые содержат только одно

нболее одного предположений.

Лростой называют гипотезу, содержащую только одно

предположение. Например, если л-параметр показатель­

ного распределения, то гипотеза Но:л = 5-простая. Ги­

потеза Но: математическое ожидание нормального рас­

пределения равно 3 (о известно)-простая.

Сложной называют гипотезу, которая состоит из ко­

нечного или бесконечного числа простых гипотез. Напри­

мер, сложная гипотеза Н: л > 5 состоит из бесчислеиного множества простых вида Нj;л =bj , где Ьj-любое число,

большее 5. Гипотеза Но: математическое ожидание нор­

мального распределения равно 3 (а неизвестно)-сложная.

§ 2. Ошибки первого и второго рода

Выдвинутая гипотеза может быть правильной

или неправильной, поэтому возникает необходимость ее проверки. Поскольку проверку производят статистиче­

скими методами. ее называют статистической. В итоге

статистической проверки гипотезы в двух случаях может

быть принято неправильное решение, т. е. могут быть

допущены ошибки двух родов.

Ошибка первого рода состоит в том, что будеТ' отверг­

нута правильная гипотеза.

Ошибка второго рода состоит в том. что будет принята

неправильная гипотеза.

Подчеркнем, что последствия этих ошибок могут ока­

заться весьма различными. Например, если отвергнуто

правильное решение. «продолжать строительство жилого

дома». то эта ошибка первого рода повлечет материаль­

ный ущерб; если же принято неправильное решение «про­

должать строительство», несмотря на опасность обвала стройки, то эта ошибка BTOPQrO рода может повлечь ги­

бель людей. Можно привести примеры, когда ошибка

первого рода влечет более тяжелые последствия. чем

ошибка второго рода.

282

3 а м е ч а н и е 1. Правильное решеиие может быть принято также

вдвух случаях:

1) гипотеза принимается, причем и в Действительности она пра­

вильная;

2) гипотеза отвергается, причем и в действительности она неверна.

3 а м е ч а н и е 2. Вероятность совершить ошибку первого рода принято обозначать через ~; ее называют lIРОВlleAl. знаЧUAl.осmu. Наи­

более часто уровень значимости принимают равНЫМ 0,05 ИЛИ 0,01. ЕCJlИ, например, принят уровень значимости, равный 0,05, то зто означает, что в пяти CJlучаях из ста имеется риск допустить ошИбку

первого рода (OТBeprHyrb правИЛЬНУЮ гипотезу).

§ 3. Статистический критерий проверки нуяевой

гипотезы. Наблюдаемое значение критерия

Для проверки нулевой гипотезы используют спе­

циалыiо подобранную случайную величину. точное или

приближенное распределение которой известно. Эгу ве­ личину обозначают через и или Z, если она распределена

нормально. F или v2 -по закону Фишера-Снедекора,

Т-по закону Стьюдента. х2-по закону «хи квадрап и т. д. Поскольку в этом параграфе вид распределения

во внимание приниматься не будет. обозначим эту величи­ ну в целях общности через К.

Статистическим критерием (или просто критерием) называют случайную величину К. которая служит для

проверки нулевой гипотезы.

Например, если проверяют гипотезу о равенстведис-

в качестве критерия К принимают отношение исправлен­

ных выборочных дисперсий:

F =sVs~.

Эга . величииа случайная. потому что в различиых опытах

дисперсии прииимают различиые. наперед неизвестные

зиачения, и распределена по закону Фишера-Снедекора.

Для проверки гипотезы по данным выборок вычисляют частные значения входящих в критерий величин и таким

образом получают частиое (наблюдаемое) значение кри­

терия.

наблюдаемым значением Киа6J1. называют значение кри­

терия, вычисленное по выборкам. Например, если по двум

выборкам найдены исправленные выборочные дисперсии sl = 20 и s: = 5. то наблюдаемое значение критерия F

Fиа6.в =sUs~ = 20/5 = 4.

283

§ 4. Критическая область. Область принятия

гипотезы. Критические точки

После выбора определенного критерия множество

всех его возможных значений разбивают на два непере­

секающихся подмножества: одно из них содержит значе­

ния критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается,

адругая - при которых она принимается.

Критич.ескоЙ областью называют совокупность значе­

можно сформулировать так: если наблюдаемое значение

критерия принадлежит критической области-гипотезу

отвергают, если наблюдаемое значение критерия принад­

лежит области принятия гипотезы-гипотезу принимают.

Поскольку критерий К-одномерная случайная вели­

чина, все ее возможные значения принадлежат некоторому

интервалу. Поэтому критическая область и область при­

нятия гипотезы также являются интервалами и, следо­

вательно, существуют точки, которые их разделяют.

Критическими тОЧКllAlи (границами) kир иазывают

точки, отделяющие критическую область от области при­

нятия гипотезы.

Различают одностороннюю (правосторон.нюю или лево­

стороннюю) и двустороннюю критические области.

Правосторонней называют критическую область, опре­ деляемую неравенством К> kир, где kир-положительное

число (рис. 23, а).

Левосторонней называют критическую область, опре­

деляемую неравенством К < kир, где kир-отрицательное число (рис. 23, б).

Односторонней называют правостороннюю или лево­

стороннюю критическую область.

двусторонней называют критическую область, опреде­

ляемую неравенствами К < k1 , К> k., где k. > k1 •

В частности, если критические точки симметричны

284

относительно нуля, двусторонняя крнтическая область

определяется неравенствамн (в предположенин, ЧТОkкr>О):

К<-kкp, К > kKP ' нли равносильным неравенством К 1>

>kкp (рис. 23, в).

§ 5. Отыскание правосторонней критической

области

Как найти критическую область? Обоснованный

ответ на этот вопрос требует привлечения довольно слож·

ной теории. Ограничимся ее элементами. Для определен-

о о

ности начнем с нахождения правостороннеи критическои

области, которая определяется неравенством К> kKP ' где k Kp > О. Видим, что для отыскания правосторонней кри­

'тической области достаточно найти критическую точку.

Следовательно, возникает новый вопрос: как ее найти?

Для ее нахождения задаются достаточной малой ве­ роятностью-уровнем значимости а. Затем ищут крити­ ческую точку kKp , исходя из требования, чтобы при усло­

вии справедлнвости нулевой гипотезы вероятность того, что критерий К примет значение, большее kKP ' была равна

принятому уровню значимости:

р (К> kKP) =а.

Для каждого критерия имеются соответствующие таб­

лицы, по которым и находят критическую точку. удов­

летворяющую этому требованию.

3 а м е ч а н и е 1. Когда критическая точка уже найдена, вычис­ ,/IЯIOт по данным выборок наблюденное значение критерия и, еCJIИ

область была определена исходя из требования, чтобы при

справедливости нулевой гипотезы выполнялось соотно­

шенне

Поскольку вероятность события К> kKp мала (а-малая вероятность), такое событие при справедливости нулевой

гипотезы, в силу принципа практической невозможностн

маловероятных событий, в единичном испытании не должно наступить (см. гл. 11, § 4). Если все же оно произошло,

т. е. наблюдаемое значение критерия оказалось больше kKP '

то это можно объяснить тем, что нулевая гипотеза ложна

285

и, следовательно, должна быть отвергнута. Таким обра­

зом, требование (*) определяет такие значения критерия,

при которых нулевая гипотеза отвергается, а они и со­

ставляют правостороннюю критическую область.

3 а м е ч а н и е 2. Наблюдаемое значеиие критерия может ока·

,аться большим kир не потому, что нулеваи гипотеза ложна, а по

JtРуГИм причинам (малый объем выборки, НЕЩ.остатки методики экспе­

римента и др.). В этом случае, отвергнув правИJJЬНУЮ нулевую гипо­

теву, совершают ошибку первоro рода. Вероятность этой ошибки равна уровню значимости (Х. Итак, пользуясь требованием (*), мы с вероятностью (Х рискуем совершить ошибку первого рода.

Заметим кстати, что в книгах по контролю качества продукции

вероятность признать негодной партию ГО,ltНЫХ изделий называют

сриском пронзводителя» , а вероятность принять негодную партию­

сриском потребителя».

3 а м е ч а н и е 3. Пусть нулевая гипотеза принята; ошибочно

J{yМaTЬ, что тем самым она доказана. действительно, известно, что

один пример, подтверждающий справедливость некоторого общего

утверждения, еще не доказывает его. Поэтому-более правильно гово,

рить «данные наблюдений согласуются с н.улевоЙ гипотезой и, следо­ вательно, не дают осиований ее отвергнуть».

На практике для большей уверенности принятия гипотезы ее

проверяют другими способами или повторяют эксперимент, увеличнв объем выборки.

Отвергают гипотезу более категорично, чем принимают. действи­

тельно, известно, что достаточно привести один пример, противореча­

щий некоторому общему утверждению, чтобы это утверждение отверг­

нуть. Если оказалось, что наблюдаемое значение критерия принадлежит

критнческой области, то этот факт и служит примером, противоречащим нулевой гипотезе, что позволяет ее отклонить.

§ 6. Отыскание левостороннеii и двустороннен

кр~тических областей

Отыскание левосторонией и двусторонней кри­

тическнх областей сводится (так же, как и для· право­ сторонней) к нахождению соответствующих критических

точку находят исходя из требования, чтобы при справед­

ливости нулевой гипотезы вероятность того, что критерий примет значение, меньшее kкp. была равна принятому

точки находят исходя из требования, чтобы при спра-

286

ведливости нулевой гипотезы сумма вероятностей того,

что критерий примет значение, меньшее k1 или большее k!,

была равна принятому уровню значимости:

P(K<k1 )+P(K>k2 )=a. (*)

Ясно, что критические точки могут быть выбраны бесчис­

ленным множеством способов. Если же распределение кри­

терия симме1'РИЧНО относительно нуля и имеЮ1СЯ основания

(например, для увеличения мощности *» выбрать симмет­

ричные относительно иуля точки-kкр и kKp (kKp > О), то

р (К < -kкР) = Р (К > kKP )'

Учитывая (*), получим

р (К> kKP) = а/2.

Это соотношение и служит для отыскания критических

точек двусторонней критической области.

Как уже было указано (см. § 5), критические точки

находят по соответствующим таблицам.

§ 7. Дополнительные сведения о выборе критической области. Мощность критерия

Мы строили критическую область, исходя из

требования, чтобы вероятность попадания в нее критерия

была равна а при условии, что нулевая гипотеза спра­

ведлива. Оказывается целесообразным ввести в рассмот­

рение вероятность попадания критерия в критическую

область при условии, что нулевая гипотеза неверна и,

следовательно, справедлива конкурирующая.

Мощностью критерия называют вероятность попада­

ния критерия в критическую область при условии, что

справедлива конкурирующая гипотеза. другими словами,

мощность критерия есть вероятность того, что нулевая

гипотеза будет отвергнута, если верна конкурирующая

гипотеза.

Пусть для проверки гипотезы принят определенный

уровень значимости и выборка имеет фиксированный

объем. Остается произвол в выборе критической области. Покажем, что ее целесообразно построить так, чтобы мощность критерия была максимальной. Предварительно

убедимся, что если вероятность ошибки второго рода

.) Определение мощиости дано в § 7.

287

(принять неправильную гипотезу) paBHa~, то мощность равна l-~. действительно, если ~-вероятность ошибки

второго рода, т. е. события «принята нулевая гипотеза,

причем справедлнва конкурирующая:., то мощность кри­

терия равна l--~.

Пусть мощность l--~ возрастает; следовательно, уменьшается вероятность ~ совершить ошибку второго рода. Таким образом, чем мощность больше, тем вероят­

ность ошибки второго рода меньше.

Итак, если уровень значимости уже выбран, то кри­ тическую область следует строить так, чтобы мощность

критерия была .максимальной. Выполнение этого требова..

ния должно обеспечить минимальную ошибку второго

рода, что, конечно, желательно.

3 а м е ч а н и е 1. ПОСКOJIьку вероятиость события «ошибка вто.

рого рода допущена» равна ~. то вероятность противоположного

события «ошибка BТOPQfO рода не допущена» равна 1-~, т. е. мощ­

ности критерия. Отсюда следует, что мощность критерия есть веро­

ятность того, что не будет допущена ошибка второго рода.

Напрнмер, если принять «=0, то будут приниматься все гипотезы,

в том числе и иеправильные, т. е. возрастает вероятность р ошибкн

второго рода.

Как же выбрать « наиболее целесообразно? Ответ на этот вопроо

зависит от стяжести последствнй» ошибок для каЖдОЙ конкретной задачи. Например, если ошибка первого рода повлечет большие по­

тери, а второго родамалые, то следует принять возможно меньшее «.

Если « уже выбрано, то, пользуясь теоремой Ю. Неймана и

Э. Пирсона, изложенной в более полных курсах, можно построитъ

критическую область, для которой ~ будет минимальным и. следова­

тельно, мощность критерия максимальной.

§ 8. Сравнение двух дисперсий нормальных

генеральных совокупностей

На практике задача сравнения дисперсий возни­ кает, если требуется сравнить точность приборов, ин­

струментов, самих методов измерений и т. д. Очевидно,

предпочтительнее тот прибор, инструмент и метод, кото­

рый обеспечивает наименьшее рассеяние результатов

о

измерении, т. е. наименьшую дисперсию.

288

Пусть генеральные совокупности Х и У распределеиы

нормально. По независимым выборкам с объемами, соот­

ветственно равными n 1 и n Z ' извлеченным из этих сово­

купностей, найдены исправленные выборочные дисперсии s~ и s~. Требуется по исправленным дисперсиям при

заданном уровне знвчимости а. проверить нулевую гипо­

тезу, состоящую в том, что геиеральные дисперсии рас­

смзrРJlааеиых совокупностей равны между собой:

Ho:D (Х) = D (У).

Учитывая, что исправленные дисперсии являются

несмещенными оценками генеральных дисперсий

(см. гл. XVI, § 13), т. е.

М [s~] = D (Х), М [sи = D (У),

нулевую гипотезу можно записать так:

Но:М[si]=М[sИ·

Таким образом, требуется проверить, что математи­

ческие ожидания исправленных выборочных дисперсий

равны между собой. Такая задача ставится потому, что

обычно исправленные дисперсии оказываются различными.

Возникает вопррс: з н а ч и м о (существенно) или н е з н а­

ч и м о раз л и чаю т с я и с п р а в л е н н ы е Д и с п е р­

е-и и?

Если окажется, что нулевая гипотеза справедлива,

т. е. генеральные дисперсии одинаковы, то различие ис­

правленных дисперсий незначимо и объясняется случай­ ными причинами, в частности случайным отбором объектов

выборки. Например, если различие исправленных выбо­

рочных дисперсий результатов измерений, выполненных

двумя приборами, ока~алось н.езначимым, то приборы

имеют одинаковую точность.

Если нулевая гипотеза отвергнута, т. е. генеральные

дисперсии неодинаковы, то различие исправленных дис­

персий значимо и не может быть объяснено случайными

причинами, а является следствием того, что сами генераль­

ные дисперсии различны. Например, если различие исправленных выборочных дисперсий результатов изме­ рений, произведенных двумя приборами, оказалось зна­

чимым, то точность приборов различна.

В качестве критерия проверки нулево" гипотезы

о равенстве генеральных дисперсий примем отношение

большей исправленной дисперсии к меньшей, т. е. слу-

чайную величину

F =SUS~.

Величина F при условин справедливости нулевой

по которой найдена меньшая дисперсия. Напомним, что

распределение Фишера-Снедекора зависит только от чи­

сел степеней свободы и не зависит от других параметров. Критическая область строится в зависимости от вида

конкурирующей гипотезы.

Пе рвы й с л у чай. Нулевая гипотеза Ho:D(X)=D(Y).

Конкурирующая гипотеза Н1: D (Х) > D (У).

В этом случае строят одностороннюю, а именно пра­

востороннюю, критическую область, исходя из требова­

ния, чтобы вероятность попадания критерия F в эту область в предположении справедливости нулевой гипо­

тезы была равна принятому уровню значимости:

Р [Р > F ир (а; k1 , k:a)] =а..

Критическую точку F кр (a~ k1, k.) находят по таблице

критических точек распределения Фишера-Снедекора (см. приложение 7), и тогда правосторонняя критическая

область определяется неравенством F > F кр' а область

принятия нулевой гипотезы-неравенством F < Ркр'

Обозначим отношение большей исправленной диспер­

сии к меньшей, вычисленное по данным наблюдений,

через Fнабll. И сформулируем правило проверки нулевой

гипотеЗIiI.

Правило 1. Для того чтобы Пр'и заданном уровне зна­

чимости проверить нулевую гипотезу Ho:D (Х) = D (У)

о равенстве генеральных дисперсий нормальных совокуп­

ностей при коикурирующей гипотезе H1:D (Х) > D (У),

надо вычислить отношение большей исправленной диспер-

u

сии к меньшеи, т. е.

F наБJJ = sUs~,

и по таблице критических точек распределения Фишера­ Снедекора, по заданному уровию значимости а и числам

степеней свободы k1 и ks (k1-число степеней свободы

большей исправленной дисперсии) иайти критическую

точку F иа6JJ (а; k 1 , k.).

200